山东省烟台市郭城一中八年级数学下册《反比例函数的图像与性质》教案 新人教版.doc

反比例函数的图像与性质
教学目标：
(一)教学知识点
1.进一步巩固作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
(二)能力训练要求
1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力.
2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力.
3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.
(三)情感与价值观要求
让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.
教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.
教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.
教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=与y=-的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.
我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k＞0时，y的值随x的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.
Ⅱ. 新课讲解
1.做—做
[师]观察反比例函数y=，y=,y=的形式，它们有什么共同点?
[生]表达式中的k都是大于零的.
[师]大家的观察能力非同一般呐!
下面再用你们的慧眼观察它们的
图象，总结它们的共同特征.

(1)函数图象分别位于哪几个象限?
(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化
的?能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相
交吗？为什么？
[师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论.
[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.
(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，
函数值y逐渐减小.
(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.
[师]大家同意他的观点吗?
[生]不同意(3)小的观点.
[师]能解释一下你的观点吗？
[生]从关系式y＝中看,因为x≠0，所以图象与y轴不可能能有交点；因为不论x取任何实数，2是常数，y＝永远也不为0，所以图象与x轴心也不可能有交点.
[师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充—下(2).观察函数y＝的图象，在第一象限我任取两点A（x1,y1），B(x2,y2)，分别向x轴,y轴作垂线，找到对应的x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出x1与x2,y1与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x1＜x2,y2＜y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.
同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.
[生]情况都一样.
[师]能不能总结一下.
[生]当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限
内，并且在每一个象限内，y随x的增大而减小.
2.议一议
[师]刚才我们研究了y＝，y＝,y=的图象的性质，
下面用类推的方法来研究y＝-，y＝-,y=-的图象
有哪些共同特征?
[生](1)y=-，y=-，y=-中的k都小于0，它们的图象都位于第二，四象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.
(2)在图象y=-中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，y1>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
[师]通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：
反比例函数y＝的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
3.想一想
(1)在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有什么关系?为什么?
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗?
[师]在下面的图象上进行探讨.

[生]设P(x1,y1)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，与
两坐标轴围成的矩形面积为S1，则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.
∵(x1,y1)在反比例函数y＝图象上，所以y1＝，即x1y1＝k.
∴S1＝｜k｜.
同理可知S2＝｜k｜，
所以S1＝S2
[师]从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，
如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢?

[生]S1＝｜x1y1｜=｜k｜，
S2=｜x2y2｜=｜k｜.
[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2.
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上节课中我们已做过研究.
Ⅲ.课堂练习
P106
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容.
1.反比例函数y＝的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随，值的增大而减小；当k<O时，图象在第二、四象限内，y的值随x值的增大而增大.
2.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例函数是中心对称图形.
4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
Ⅴ.课后作业
习题9.3
Ⅵ.活动与探究
反比例函数图象与三等分角
历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.

任取一锐角∠POH，过点P作OH的平行线，过点O作直线，两线相交于点M,OM交PH于点Q，并使QM=20P，设N为OM的中点.
∵NP=NM＝OP,∴∠1＝∠2=2∠3.
∵∠4=∠3，∴∠1=2∠4.
∴∠MOH＝∠POH.
问题在于，如何确定线段OM两端点的位置，并且保证O，Q，M在同一条直线上?事实上，用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus，公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，角的一边OA与y＝的图象交于点P，以P为圆心；以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接OM得到∠MOB.

(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?
(2)你能说明∠MOB＝∠AOB的理由吗?
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?
解：(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1，),R(a2, )则Q(a1，)，M(a2, ）.
设直线OM的关系式为y＝kx.
∵当x＝a2时，y=
∴=ka2,∴k=.∴y=x.
当x=a1时，y=
∴Q(a1，)在直线OM上.
(2)∵四边形PQRM是矩形.
∴PC=PR=CM.∴∠2＝2∠3.
∵PC=OP，∴∠1＝∠2，
∵∠3=∠4，∴∠1=2∠4，
即∠MOB=∠AOB.
(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方法三等分.