九年级数学下册 第24章 圆 24.6 正多边形与圆教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级下册数学教案.docx

24.6　正多边形与圆
第1课时 正多边形与圆

【教学目标】
1.理解正多边形的概念.
2.能根据定理通过等分圆的方法画正多边形和用量角器和尺规作图的方法等分圆.
【重点难点】
重点：了解圆与正多边形的关系；掌握用量角器等分圆心角来等分圆,从而得到正多边形和用尺规作圆内接正方形和正六边形的方法.
难点：对正n边形中“n”的接受和理解.
┃教学过程设计┃
教学过程
设计意图
一、创设情境,导入新课
师：让学生从教材上找出正多边形的概念.
生：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
师：出示下列美丽的图案.(见课件)
让学生思考下列问题：
1.这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物体,你能从中找出正多边形吗？
2.你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作一个正多边形？
生：观察、分析、讨论、交流、发表各自见解.

　结合美丽的图片,欣赏生活中正多边形形状的物体,让学生感受到数学来源于生活,并从中感受数学美.
　二、师生互动,探究新知
师：将一个圆分成五等份,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是正五边形吗？
如果是,证明你的结论.如果是六、七……等份呢？

生：小组合作探索分析、总结结论.将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形.
[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结.]
师：以五边形为例,引导学生证明.
已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且＝＝＝＝.
求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
证明：(1)由＝＝＝＝,得________＝________＝________＝________＝________.
∵＝＝3,∴∠1＝∠2.
同理可得∠2＝∠3＝∠4＝∠5.
又因为顶点A、B、C、D、E都在⊙O上,所以五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
生：思考完成填空.
师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.
已知：如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且＝＝＝＝,TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的⊙O的切线.
求证：五边形PQRST是⊙O的外接正五边形.
证明：连接OA、OB、OC,则∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB.
∵TP、PQ、QR分别是以点A、B、C为切点的⊙O的切线,
∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ,
∴∠PAB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB.
又∵＝,∴AB＝BC,
∴△PAB ≌△QBC.
∴∠P＝∠Q,PQ＝2PA.
同理可得∠Q＝∠R＝∠S＝∠T,
QR＝RS＝ST＝TP＝2PA.
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切,
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
生：观察理解证明过程,得出结论.将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
师：根据上述定理,我们可以通过等分圆周的方法画正多边形,请同学们思考：如何用量角器等分圆？
生：小组合作,讨论得出答案.
师：让学生讨论用尺规来等分圆,可以得到哪些正多边形？
生：讨论得出正四、八、十六边形；正六；十二、二十四边形和正三角形.

　　让学生通过等分圆后,观察得出结论,体现一种研究方法——由特殊推广到一般.
　　三、运用新知,解决问题
让学生完成练习第1、2、3题.
　　及时巩固,练习提高.
　　四、课堂小结,提炼观点
引导学生总结本节课的主要内容.

　　五、布置作业,巩固提升
教材习题24.6第1、2、3题.
　　巩固认识,提高应用能力.
┃教学小结┃
【板书设计】
正多边形与圆
1.正多边形的概念：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
3.画正多边形.
24.6　正多边形与圆
第2课时 正多边形的性质
【教学目标】
1.理解正多边形与圆的关系定理.
2.理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质.
3.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.
【重点难点】
重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.
难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆”的理解.
┃教学过程设计┃
　　教学过程
设计意图
　　一、提出问题,导入新课
师：上节课我们学习了正多边形的定义,并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.反过来,是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
　　提出问题,激发学习兴趣.
二、师生互动,探究新知
师：组织学生自己完成以下活动.
1.作已知三角形的外接圆,圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
2.作已知三角形的内切圆,圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
生：作图思考回答.
师：当三角形为正三角形时,它的外接圆和内切圆有什么关系？

生：思考回答.
师：(1)正方形有外接圆吗？若有,外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点.)
(2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？
(3)正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？
生：小组讨论回答.
师：拓展、推理(用多媒体出示右图).

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作⊙O,连接OA、OB、OC、OD、OE.
∵OB＝OC,∴∠1＝∠2.
又∵∠ABC＝∠BCD,∴∠3＝∠4.
∵AB＝DC,∴△OAB≌△ODC.
∴OA＝OD,即点D在⊙O上.
同理,点E在⊙O上.
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O.
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦,所以弦心距相等.因此,以点O为圆心,以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.
师：引导学生归纳.
正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.
它的任意三个顶点确定一个圆,即确定了圆心和半径.
其他两个顶点到圆心的距离都等于半径.
正五边形的各顶点共圆.
正五边形有外接圆.
圆心到各边的距离相等.
正五边形有内切圆,它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离.
照此法证明,正六边形、正七边形、…、正n边形都有一个外接圆和内切圆.
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆.
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于.
师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
师：讲解例题.
例　求边长为a的正六边形的周长和面积.

解：如图,过正六边形中心O作OG⊥BC,垂足是G,连接OB,OC.
由于多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC＝60°,△BOC是等边三角形.
∴C正六边形＝6BC＝6a.
在△BOC中,OG＝BC＝a,
∴S正六边形＝6·.BC·OG＝6·a·a＝a2
因而,边长为a的正六边形的周长和面积分别是6a和a2.
　　采用开展活动,小组讨论的方法,培养学生互助,协作的精神,通过引导学生自主合作,探究验证,培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.

　　三、运用新知,解决问题
师：让学生独立完成教材练习第1、2、3题.
生：独立完成.
　　及时巩固,练习提高.
　　四、课堂小结,提炼观点
在教师的引导下总结本节课的主要内容：
1.正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.
2.正多边形与圆的关系定理.
3.证明点共圆的方法.

　　五、布置作业,巩固提升
教材习题24.6第4～8题.
　　巩固认识,提高应用水平.

┃教学小结┃

【板书设计】 正多边形的性质
1.正多边形的性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆.
2.相关概念：
(1)正多边形的中心、半径；
(2)正多边形的边心距、中心角.