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第十七章 振 动

1、 一物体作简谐振动，振动方程为 。求 （T为周期）时刻物体的加速度。
解：由振动加速度定义得

代入

求得时物体的加速度为。
2、 一质点沿ｘ轴作简谐振动，振动方程为（SI）。求：从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向ｘ轴正方向运动的最短时间间隔？

解：用旋转矢量图求解，如图所示
t=0时刻，质点的振动状态为：

可见，t=0时质点在处，向x轴负方向运动。
设t时刻质点第一次达到处，且向x轴正方向运动。
则：
t= t , v>0
t= 0 , v<0
0.02 0.04
-0.04 -0.02

X(m)
（s）

3、一物体作简谐振动，其速度最大值，其振幅 。若t=0时，物体位于平衡位置且向ｘ轴的负方向运动.求：
（1）振动周期T；
（2）加速度的最大值；
（3）振动方程的数值式。
解：设物体的振动方程为
则
（1） 由及 得
物体的振动周期：（s）
（2） 加速度最大值：

（3） 由t=o时,得

解之得：
质点的振动方程为：m

-A
A
X
X1
X2
4、两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动。在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动。试利用旋转矢量法求它们的位相差。
解：设两物体的振动方向为X轴正向，频率为，振幅为A。
某时刻两物体处于如图所示振动状态，由图可见，
X1比X2超前

5、二小球悬于同样长度的线上．将第一球沿竖直方向上举到悬点，而将第二球从平衡位置移开，使悬线和竖直线成一小角度，如图．现将二球同时放开，振动可看作简谐振动，则何者先到达最低位置？
α
l
解：第一球达最低位置需时：
设第二球达最低点（平衡位置）需时：

显然 所以 第一球先到达最低位置。
6、一弹簧振子作简谐振动，求：当位移为振幅的一半时，其动能与总能量的比。
解：设振子振动方程为：
若t0时刻位移为振幅的一半，即
振动速度：
振动动能：
总能量：
则
7、两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为:

求：它们的合振动的振辐及初位相？
解：原振动表达式可化为：
0.06m
0.02m
x
-0.04m
0.04m
A1
A2
A
两振动反向
利用旋转矢量法，如图所示，两振动的合振动为：

振动振幅为0.04m ,初位相为

8、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个简谐振动的位相差为 ．若第一个简谐振动的振幅为 ，求：第二个简谐振动的振幅以及第一、二两个简谐振动的位相差 ？
解：设两振动的振动方程为：
A1
A2
A
X
A2
30º

而合振动方程为
如图所示，由余弦定理得

9、一物体同时参与如下两个互相垂直的简谐振动

式中T为周期，求合成振动的轨道方程。
解：原方程可化为：

显然，合振动的轨道方程为：
（SI）

10、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为:

画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。
解：原方程可化为
π
30
50
A
x
-2/3π

合振动振幅为：

初相为：
合振动方程为： （SI）
11、一个轻弹簧在60Ｎ的拉力作用下可伸长30ｃｍ，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为４kg，待其静止后再把物体向下拉10ｃｍ，然后释放。问：
（１）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
（２）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅Ａ需满足何条件？二者在何位置开始分离？

5
解：小物体振动的回复力由重力和所受支持力提供
（1）若小物体停在振动物体上作谐振动。达最高点时，需回复力Fmax

Fmax<G（小物体的重量）
小物体停在振动物体上作谐振动。

（2）当Fmax>G时，小物体所受重力不足以提供小物体向下的回复力，小物体将离开振动物体。
即： kA≥G
A≥(m)
A≥20cm
在弹簧被压缩20cm处，两物体将分离。

12、上面放有物体的平台，以每秒５周的频率沿竖直方向作简谐振动，平台振幅超过_________ｍ，物体将会脱离平台。（设）
解：由加速度公式 最大值
当≥， 物体脱离平台
即：A ≥

-A
x
A1(t2)
A
A2(t1)
A1(t1)
A2(t2)

13、两质点沿水平轴线作相同频率和相同振幅的简谐振动。它们每次沿相反方向经过同一个坐标为ｘ的点时，它们的位移ｘ的绝对值均为振幅的一半，则它们之间的位相差为______________。
解：设振动方程为
令
得
或
故 它们之间的位相差为
14、一弹簧振子沿ｘ轴作简谐振动。已知振动物体最大位移为， 最大恢复力为，最大速度为，又知ｔ＝０的初位移为0.2ｍ，且初速度与所选ｘ轴方向相反。求：
（１）振动的能量；
（２）振动的表达式。
解：设振动方程为
（1）依题意，，， ，
振动能量
（2）振动表达式为
（SI）
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