天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解.doc

第2章一维随机变量 习题2

一. 填空题：
1.设 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 是 ， 则 用 F (x) 表 示 概
= __________。 解：
2.设 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 为 则
P{ 0<x<1} = _________。 解： P{ 0<x<1} =
3.设 x 服 从 参 数 为 l 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ x = 2 } = P{ x = 3 }，
则 P{ x = 3 }= ___ 或 3.375e-3____。
4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是 ，
常 数 l>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e-l_____。
解：
5 设 随 机 变 量 x 的 分 布 律 是
则 = 0.8 。
解：
令 得

6.若 定 义 分 布 函 数 ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 x 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是
F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (¥ ) = 0 ， F ( + ¥ ) = 1

7. 随机变量，记，
则随着的增大，之值 保 持 不 变 。
8. 设 x ~ N ( 1， 1 )，记x 的概率密度为 j( x ) ，分布函数为 F ( x )，则
0.5 。

9、分别用随机变量表示下列事件
(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件
.“收到呼唤3次” ，“收到呼唤次数不多于6次”
(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.
“长度等于10cm” = ；
“长度在10cm到10.1cm之间” =
(3)检查产品5件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件
.
解:

10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最

X
3
4
5

大号码，则X的分布律为:

二. 计算题：
1、将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别写出的分布律.

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数.求X的分布律；.
X
0
1
2

3、(1)设随机变量X的分布律为：为常数，试确定常数.
解: 因 , 故
(2)设随机变量X的分布律为：，试确定常数.

4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.

X
1
2
3

0.6
0.24
0.16

5、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.
解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件：{汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯}，
由题意
表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故
表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故.
同理

于是x的分布律为
即
x
0
1
2
3
4

0.4
0.24
0.144
0.0864
0.1296

6、自动生产线调整以后出现废品的机率为，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.

x
0
1
2
…
k
…

7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：
(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？

(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？

(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？

8、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率.
(2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.
解：(1){5次独立试验,指示灯发出信号}=
(2){7次独立试验,指示灯发出信号}

9、设某批电子管正品率为，次品率为，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.
解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：，当时，相当于{前 次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子}的事件，
，
10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，
(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？
解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为；
(1)要使，必须，即射击次数必须不小于次.
(2)要使，必须，即射击次数必须不小于次
11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.
解：由二项分布得
现用泊松定理近似计算，,故
12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为
0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？
(利用泊松定理计算)
解：设x为发生事故的次数，则
用泊松定理计算，

13设X服从泊松分布，且已知，求
解：，由，得，

14、. 求离 散 型 随 机 变 量 x 的 分 布 律 为 ， ( k = 1， 2， …)， 的
充 分 必 要 条 件。
解：由
且
且 b > 0

15 设x服从参数l = 1的指数分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0无实根的概率 。
解： 知
故
16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为 且 知 x 在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 A ，B 。
解：由 条 件
即 知 有
又 由 即
解 得 A = ，B =

17、设有函数
试说明能否是某随机变量的分布函数.
解：不 能
因 为 当 时 ， j ( x ) = sin x < 0
故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非 负 。

18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为：
试问他的计算结果是否正确？ 答：不正确

19、在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数.
解：P { 0 < x x } = cx ；

20、设连续型随机变量X的分布函数为

求(1)常数A,B (2) (3)概率密度
解: (1) (2) (3)

21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度：
现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.
解：设使用寿命为x小时

，所求事件的概率：

再求

22、设随机变量X具有对称的概率密度，即为偶函数，，证明：对任意有：
(1) ; (2)
(3)
证明：(1)，令，

又因为：

(2)
证明：

(3)
证明：

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求.
解：
24、设，求(1) (2) (3)
(4) (5)确定c使得
解：(1) (2) (3) (4) (5)
25、一个工厂生产的电子管寿命X(以小时计)，服从参数，的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解:
，故允许最大为31.25

26、公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01米以下设计的，设男子身高x服从的正态分布，即问车门的高度应如何确定？
解：设车门高度为cm，按设计要求，或，
因为，故
查表得 即
设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过0.01。

27、设随机变量X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5

求的分布律.

解:
Y
0
2
8
18

28、设，求(1)的概率密度 (2)的概率密度
(3)求的概率密度
解：(1)设

即
(2)，当时，Y的分布函数，

当时，，Y的概率密度

即
(3)，当时，Y的分布函数

当时，，的概率密度
当时，

29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.
解：由题意I的概率密度为

对于
由于，所以当时，其分布函数，
故的概率密度；

30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 x ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，
求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )
解:
正 方 体 体 积 h = x 3
函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数

h 的 概 率 密 度 为
31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为
求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。
解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ，
当 x 在 ( 0 ， +¥ )上 变 化 时 ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 变 化 ，

于 是 h 的 概 率 密 度 为

32. 已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标 x 服 从 N(m , s2)， 并 规 定 | x m | £ m时 产 品 合 格 ， 问 m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到 95%。 已 知 标 准 正 态 分 布 函 数 Φ (x)的 值 ：Φ (1.96) = 0.975 , Φ (1.65) = 0.95 , Φ (1.65) = 0.05, Φ (0.06) = 0.475 .
解：P{ | x m | £ m} = 0.95，此式等价于 P{mm £ x £ m + m} = 0.9
因 为 x 服 从 N(m , s2 )， 故
P{mm £ x £ m + m} =

查 表 得 m = 1.96s
故 m 取 1.96s 时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到 95%。
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