数列极限的几种求法毕业设计.doc

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● A 基础理论
○ B 应用研究
○ C 调查报告
○ D 其他

本科生毕业论文（设计）

数列极限的几种求法

二级学院
：
数学与计算科学学院

专 业
：
数学与应用数学
年 级
：

学 号
：

作者姓名
：

指导教师
：

完成日期
：
2013年5月5日

数列极限的几种求法

专业名称：数学与应用数学
作者姓名：
指导教师：

论文答辩小组

组 长：

成 员：

论文成绩：

目录
1 引言 1
2 关于数列极限两种最常见的求法 1
2.1 定义法 1
2.2 两边夹原则 3
3 几种判别数列极限存在的方法 4
3.1 单调有界定理 4
3.2 柯西收敛准则 6
4 利用函数性质求极限 10
4.1 海涅定理 10
4.2 重要极限的应用 12
5 其它方法 14
5.1 施笃兹定理法 14
5.2 级数性质法 17
5.3 定积分定义法 17
5.4 错位法与拆分法 19

数列极限的几种求法

摘 要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明.
关键词：数列;极限;求法
Several Methods of Finding the Sequence limit
Abstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced and some examples are used to explait them.
Keyword：sequence ; limit; solution
1 引言
数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.
2 关于数列极限两种最常见的求法
2.1 定义法
定义2.1.1[4] 设为数列,为实数,若对任给的正数 总存在正整数 使得当时有 则称数列收敛于 实数称为数列的极限,并记作或.

例2.1.2[1] 设证明
证明 因为故(取), ,有

于是 由的任意性知
例2.1.3[6] 用语言证明
证明 设 由于 所以 由二项式定理得

因此
解此不等式得应取
用语言表述即为:即
当时，有
这就说明了
小结 设通过以上例子总结出运用论证法的大致步骤:
任意给定
令
推出
取 再用语言顺述并得出结论.
以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.
2.2 两边夹原则
定理 2.2.1[2] 设收敛数列,都以为极限,数列满足存在正整数 当时有， 则数列收敛，且
例 2.2.2[5] 求极限
解 利用得

从而

又由于
所以有
故
例2.2.3[4] 求极限（北京大学1999年）
解 由题意立即可得

又有　　

同理可得

因此　
小结:运用两边夹原则的关键在于将数列进行适当地放大与缩小,一般是从数列本身结构出发,将其通项放大后得数列,缩小后得数列 并使与的极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用定义法证数列极限时的常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.
但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.
我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?
3 几种判别数列极限存在的方法
3.1 单调有界定理
定理3.1.1[1] 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
注:定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列是有界的,但它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列显然是单调的,但它无界,显然它的极限不存在.
此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如的极限存在,但它不具备有单调性.
例3.1.2[2] 设 求
（华南理工大学1998年）
解 由题意可得, 且
又
所以数列单调减少有下界，从而收敛.不妨设
对两端取极限可得

解得 (舍去)

因此
例3.1.3[9] 证明
证明 令 则显然是严格单调递增的，
又因为

故有上界.因此收敛，另一方面，任意设定 当时，

由此式两端令得

另外，又可看出
故由两边夹法则可知
到目前为止,我们讨论一个数列是否收敛时,总是和一个特定的数列紧密联系在一起的,我们的任务只是验证数列是否以为极限,但事实上如果预先不告诉我们那个,如何从数列本身的特性来判断它是否收敛?另一方面,单调有界原理只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列--单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.
3.2 柯西收敛准则
定理3.2.1[4] 数列收敛的充分必要条件是任给 存在 使得当时,都有

成立.
注:我们令则这时为正整数（当时必有）.于是上式可以改为
这样我们就得到柯西准则的另一种表述形式:

定理3.2.2[7] 数列收敛的充要条件是:任给 总存在正整数 使得时,对一切正整数 都有

成立.
显然,柯西收敛准则的两种表达形式等价,他们各有方便之处.
柯西收敛准则揭示了收敛数列的本质特征,它表明数列收敛时,对于下标充分大的任意两项能相差任意小.
利用柯西收敛准则来判断一个数列是否收敛(也是方法)无需事先知道数列的极限是什么,只需根据数列本身的结构特征,恰当的运用不等式,就能鉴别它的收敛性.
例3.2.3[5]证明数列收敛.
证明 (证法一)设 考虑下式

可见,任给要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有所以由定理4.11便可知收敛.

(证法二)因为

可见,任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数则当时,对一切正整数都有所以由定理4.12知数列收敛.
注:上例表明,运用柯西收敛准则的两种形式(定理4.11和定理4.12)证明一个数列的收敛性,其方法与利用定义法验证数列极限的方法在程序和要求上是类似的.但要注意,由于绝对值不等式和都有两个下标,而所要确定的正整数仅与有关,而与或无关,故在放大或时必须设法把下标或去掉,使最后得到的式子仅含有如下例:
例3.2.4[5] 已知 证明数列
收敛.

证明 设 因为

可见，任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有从而由定理4.11可知收敛.
与此同时,上述柯西收敛准则也经常用来研究数列的敛散性,为此我们又给出:
定理3.2.5[7] 数列发散的充要条件是:存在某个 使得对任何的自然数,必有和,使得
此定理是柯西收敛准则的反面叙述.
例3.2.6[3] 证明数列发散.
证明 由定理并设考虑到

因此,如果 则有
这样对于 不管多大,如果取
则并且

从而发散.
最后,我们强调指出,利用以上定理分析解决数列问题时,必须正确指出使用定理的条件,否则就会出现不必要的错误.如对柯西收敛准则中和式中的 它只与有关,而与及都无关,如果不注意这一条件就会出现错误.
例如,对于数列对任一正整数及确定的正整数 取当时,即时,恒有

但事实上由例6我们知,数列是发散的.
4 利用函数性质求极限
我们已经指出函数极限与数列极限的主要差别在于前者的变量连续地变化,后者的变量离散地变化(跳跃地变化).实际上,无论变量是离散地变化还是连续地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果就都是相同的.基于这个事实,数列极限与函数极限之间应该存在着一定的关系,它们在一定的条件下应能相互转化,能够建立这种关系的就是下面的海涅定理:
4.1 海涅定理
定理4.11[2] 的充分必要条件是：对于任意满足条件 且的数列 有
例4.1.2[7] 求极限
解

由于
由海涅定理我们知

所以原式为

例4.1.3[4] 若,求.（华南师大1997年）
解 先考虑
而极限

所以

小结:海涅定理揭示了变量离散地变化与连续地变化之间的内在关系,即在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转化.海涅定理有着广泛的应用,在解决问题时,根据海涅定理,我们可以把关于函数的极限问题转化为数列的极限问题;也可以把数列的极限问题转化为函数的极限问题.根据归结原则,若函数的极限存在，则同一极限过程的点列必存在且相等.对一些复杂的数列极限,可借助函数极限的方法去求解.因为函数的极限可用洛必达法则,泰勒公式,等价无穷小等很好的公式去求解.
4.2 重要极限的应用
定理4.2.1[4] 两个特殊极限

例4.2.2[7] 求极限
解 记为则令
则

故 从而
例4.2.3[7] 求极限

解 利用等价无穷小得
而
所以

将换为，则当时有于是利用洛必达法则有

故
小结:以上方法是利用重要公式求极限或转化为函数的极限,此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上,对所求式子作适当变形,从而达到求其极限的目的,这种方法灵活,有相当的技巧性.
5 其它方法
5.1 施笃兹定理法
我们所学的施笃兹公式也是求数列极限的一种有利工具,但需要满足一定的条件:若数列单调递增趋于,且（可以为无穷大），那么,有了这样的公式我们在解决一类数列极限时可以简便求出其解.
定理5.1.1[2] 若 严格增大,且无界;
,
则收敛，且.

例5.1.2[5] 设为自然数,求下列各极限:

解 设 则单调递增，
且
又因为

所以由定理有

设 则由知,单调增,且
又因为
所以
注意到仍为型,且满足定理条件

即
故
注: 本题个小题均为型,通过恰当引入 应用定理将问题转化为求的极限,各题中,为求出的极限,均用到二项展开式.
由本题可见,为应用定理,引进后,应检验其是否满足定理条件，并求极限,只有在确定此极限存在(包括为时)方可用定理,若不存在,不能推出不存在,只能证明不能用此定理.
由第二小题可见,在同一题目中,只要定理条件满足,定理可以连续使用.并由此题,结合数学归纳法,立即可得 其中为任意给定的自然数.
例5.1.3[2] 设,试证:存在时,
证明 因为，因此只须证明第一项趋于0，
为了利用，特令,
则可知,且

于是由公式有，

（应用公式）

使用施笃兹公式可解决一类比较复杂的数列极限,然而有些更显复杂的数列,也不满足已有的条件,这时就得另寻他法,我们注意到有时所求数列极限跟数项级数有一定的转化关系,于是我们就可以考虑是否可转化为级数类而求之?下面的例子就说明可以转化为级数的形式.
5.2 级数性质法
例5.2.1[7] 求极限
解 构造级数 用达朗贝尔判别法，
有
从而级数收敛，
由收敛级数的必要条件知
类似于利用级数性质法求数列极限,定积分作为数学分析学重要课程之一,巧妙利用定积分性质对求数列极限也会有很多帮助.
5.3 定积分定义法
定理5.3.1[7] 若函数为区间上的连续函数，则利用定积分求极限
的基本形式为

例5.3.2[2] 求极限（中山大学2010年）
解(积分法) 因为

而是在上的特殊积分和，
又

原式
解(级数法） 设 若 则
记
则

故
例5.3.3[8] 求极限
解

例5.3.4[4] 求极限 （华南师大1997年）
解 因为
所以
以上各种方法都很简便,各种变化都很有自己的规律性,实际上,以上这些方法的使用都少不了一些变化,以下的错位法和拆分法就是最常见的变化方法.
5.4 错位法与拆分法
例5.4.1[3] 求极限
解

例5.4.2[3] 求极限 （华南师大1996）
解 因为
于是

故 原式
结语 本文就数列极限的几种求法进行了初步探讨,从上文可以看出要想求出一些数列的极限,而在题目中没有明显指出极限存在的条件下我们需要先判别数列的存在进而求之,在文中已经介绍了几种判别法,在求解的过程中,先从已知出发跟哪种方法形式比较相近,在使用上面介绍的方法进行求解,这个过程往往并不是一个过程就可以解决的,通常需要几种方法的结合!例如数学归纳法,同时往往一道题也并非就只有一种求解方法,例4.1.3与例5.3.2等就可以使用多种方法进行求找数列极限.必须注意,以上很多实例都相对比较简单,事实上很多关于数列极限的问题都会结合函数极限以及其他问题,因此解决此类问题还需要多加联系加以巩固.

参考文献
[1] 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版[M].北京:高等教育出版社,2009:28-34;2009:52-61.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006（2）：57-62.
[3] 张天德,韩振来.数学分析同步辅导及习题精解[M].天津:天津科学技术出版社,2009(1):64-70.
[4] 叶国菊,赵大方.数学分析学习与考研指导[M].北京:清华大学出版社,2009(1):7-19.
[5] 李惜雯.数学分析要点与解题[M].陕西西安:西安交通大学出版社,2006(3):35-38.
[6] 李学志,陶有德,敖涌.数学分析选讲[M].北京:国防工业出版社,2010[1]:16-18.
[7] 可向东.数学分析的概念与方法[M].上海:上海科学技术文献出版社,1988[1]:121-189.
[8] 孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004[2]:1-2.
[9] 魏立明.一类数列极限求法的研究[J].广西贺州.梧州师范高等专科学校,2004(11):75-77.
[10] 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法[J].河北:邢台师范高专学报,1998(02):3-4.
[11] Hewitt E,Stromberg K R.Real and Abstact analysis-a-modern treament of the theory of functions of real variable[M].New York:Springer,1994.

湛江师范学院本科生毕业设计（论文）开题报告
论文题目
数列极限的几种求法
学生姓名
梁德君
二级学院
数学与计算科学学院
开题日期
2012年12月20日
学 号
2009224501
专 业
数学与计算科学学院
指导教师
邱建军 讲师
1.本课题研究意义及国内外发展状况：

数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础。同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛。虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等。因此通过比较研究，实例对比总结结论以求获得对知识更深的理解就显得极其重要。

2.研究内容：
1、数列极限的定义；
2、数列极限存在的几种判别方法；
3、利用函数性质求数列极限法；
4、其他几种常见的求数列极限的方法。

3.研究方法、手段和研究进度：

（1）方法：资料查询、搜集法、归纳总结法、比较证明法、实例验证法

（2）手段：图书馆资料搜集、网上资料查阅

（3）研究进度：
1、2012年12月-2013年1月图书馆和上网查询相关资料，选择研究方向及确定论文题目；
2、2013年1月-2013年3月查阅相关资料，预定论文提纲在老师的指导下完成论文初稿：
3、2013年3月-2013年4月根据指导老师的修改意见对论文进行修改并上交第二稿；
4、2013年4月-2013年5月按第二稿修改意见和论文撰写规范要求完成并上交论文定稿。
学生（签名）：梁德君

4.参考文献：
[1] 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版[M].北京：高等教育出版社，2009:28-34；2009:52-61.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006（2）：57-62.
[3] 张天德，韩振来.数学分析同步辅导及习题精解[M].天津：天津科学技术出版社，2009(1):64-70.
[4] 叶国菊，赵大方.数学分析学习与考研指导[M].北京：清华大学出版社，2009(1):7-19.
[5] 李惜雯.数学分析要点与解题[M].陕西西安：西安交通大学出版社，2006(3):35-38.
[6] 李学志，陶有德，敖涌.数学分析选讲[M].北京：国防工业出版社，2010[1]:16-18.
[7] 可向东.数学分析的概念与方法[M].上海：上海科学技术文献出版社，1988（1）:121-189.
[8] 孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京：高等教育出版社，2004[2]:1-2.
[9] 魏立明.一类数列极限求法的研究[J].广西贺州.梧州师范高等专科学校，2004(11):75-77.
[10] 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法[J].河北：邢台师范高专学报，1998(02)：3-4.
[11] Hewitt E, Stromberg K R.Real and Abstact analysis—a—modern treament of the theory of functions of real variable[M].New York:Springer,1994.
5.指导教师意见：

指导教师（签名）：
年 月 日
5.二级学院意见：

二级学院（盖章）
年 月 日
说明：开题报告应在教师指导下由学生独立撰写。在毕业论文（设计）开始二周内完成，交指导教师审阅，并接受二级学院和学校检查。

湛江师范学院
本科生毕业设计（论文）答辩记录
论文题目
数列极限的几种求法
学生姓名
梁德君
学 号
2009224501
答辩时间
2013年5月19日
二级学院
数学与计算科学学院
专业
数学与应用数学

答
辩
记
录

答
辩
记
录

问：数列极限的定义是什么？
答：设为数列，为实数，若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，实数称为数列的极限，并记作或.
问：什么叫柯西收敛准则？
答：数列收敛的充分必要条件是任给，存在，使得当时，都有成立。这就是柯西收敛准则。
问：海涅定理讲的是什么？
答：海涅定理讲的是的充分条件是：对于任意满足条件，且的数列有

记录人：
答
辩
小
组
评
审
意
见

小组答辩成绩

答辩小组组长签名

年 月 日
答
辩
委
员
会
审
核
意
见

答辩委员会审核成绩

答辩委员会主席签名
年 月 日
说明：1.答辩成绩为百分制。2.答辩委员会如不同意答辩小组给定成绩，由答辩委员会重新给定，以答辩委员会给定成绩为准。

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47.产权理论分析与财务管理目标的现实选择
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第一章 关于插图
1．1 图号
插图要有图号，格式为“图m-n”。其中m为该插图所在的章号，n为本章中该插图的顺序号，m与n均为阿拉伯数字。每一章的插图独立编号。例如第3章的第4个插图标记为“图3-4”。
1．2 图名（图注）
图名应确切反映该图的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。图名放于图号后，与图号隔两个全角空格。
为便于叙述，不妨将图号与图名并称为“图题”。
1．3 插图的形式
插图一般有四种形式，即手绘图、屏幕抓图、扫描图、文件插图。
来自电子版参考文献的插图，多数是模糊不清的，故建议用手绘图取而代之。
1．3．1 手绘图
手绘图系指在Word中直接用绘图命令绘制的图。该类插图所占磁盘空间最少，系使用最多的一种插图形式，数据流图、结构图、程序框图一般用此法绘制。
绘图所用图例应注意规范。程序框图的选择框要注意标“是/否”或“Y/N”，起始框、终结框注意用圆角矩形（建议使用专门用于画框图的软件Visio画框图）；数据流图的数据线需标数据名称，数据加工与数据存储之间的箭头无数据名称。其他图形的图例参考有关文献。
手绘图时必须一丝不苟，搭结欠量、过量均不合格；图中的文字放入文本框中，框内文字注意横纵居中；线框交界处注意匀称；框内文字的笔划宜完整，不得被线框遮盖；文字、线条不得交叉；图中文字尽可能使用统一的字体、字形、字号，其中字号原则上不大于正文字号（以小半号为宜）。微调线条位置、长短时，可将Alt键和箭头键配合使用。观察线条是否存在搭接问题时，可选用500%的显示比例，否则难以看出搭接问题。
线条、文字等元素输入完毕后，应选中与所绘之图有关的所有线条、文本框，按鼠标右键，选“组合”，将各元素组合在一起。否则，很有可能排版后“东一只胳膊、西一条腿”，甚至“丢胳膊少腿”。
1．3．2 屏幕抓图
此类图系指使用PrtScreen或Alt+PrtScreen键通过剪贴板获得的图像。采用屏幕抓图制作插图时，应“量身定做”，抓图后不要缩放，以免模糊。
1．3．3 扫描图
如使用扫描图片，分辨率要求为300线，颜色模式为灰度，嵌入文中后不要缩放。
1．3．4 文件插图
文件插图系指使用“插入|图片|来自文件…”命令插入的图像。采用文件插图时，尽量不要使用JPG等类型的压缩图片，以免影响打印效果。

1．4 插图的位置
尽量将插图与正文中的相关文字说明置于同一页。放入前一页或后一页，乃不得已而为之（例如图太大等）。
插图一般居中放置；图题位于插图的下方，用宋体5号字，居中放置；图题与插图放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，图题不能位于某一页的页首。一张图一般不得跨页（大的程序框图例外，但需按正规要求标清楚）。
1．5 插图的排版
插图很小时，建议使用环绕排版（四周排版），插图前、图题后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。
第二章 关于表格
论文中的表格一般使用Word的表格功能直接制作，使用Excel制作亦可。
2．1 表号
表格要有表号，格式为“表m-n”。其中m为该表格所在的章号，n为该章中该表格的顺序号，即每一章的表格独立编号。例如第3章的第4个表格标记为“表3-4”。
2．2 表名
表名应确切反映该表的含义，一般为名词性短语，力图简明扼要。表名放于表号后，与表号隔两个全角空格。
为便于叙述，不妨将表号与表名并称为“表题”。
2．3 表格
尽量将表格与正文中的相关文字说明置于同一页，放入前一页或后一页乃不得已而为之（例如表格太大等）。
表格一般居中放置；表题位于表格的上方，用宋体5号字；居中放置；表题与表格放于同一页中，即两者不得跨页。换言之，表题不能位于某一页的页尾。表格本身可以跨页，但次页的表应加一个表头（注意，不是标题，是表头，即表格的首行），或在次页首部加注“（续表）”。
2．4 表格内文字的排版
表格内文字应比正文小半号，一般居中放置，但文字量较大且长短不一时，以左对齐为宜。
表格设计应美观、大方，表格风格尽量一致，推荐使用三线式表格。
表格前、后均应留适当空间，切勿与正文“紧密相连”。

第三章 关于摘要
5．1 格式
中英文摘要各占一页，首行写“摘　　要”／“ABSTRACT” （“摘要”之间空两格，采用三号字、黑体、居中，与内容空一行）；第三行开始写摘要内容，首行空两格（内容采用小四号宋体）。最后单独列一行，写中／英文关键词。关键词一般提供3-5个即可，写于1-2行上，以分号分隔。中文关键词前冠以“关键词：”，靠左；英文关键词前冠以“Key words:”，亦靠左。第二行首个关键字与第一行的首个关键字对齐。
具体要求参见模板。
5．2 内容
课题的意义，工作方法，结果与结论，后续研发建议等。
摘要中不可大段大段地引用正文中的段落。
切忌使用自动翻译工具将中文摘要翻译为英文摘要。
第四章 关于目录
4．1 目录的制作
目录必须由Word自动生成，不得手工输入，以免后患无穷。
制作方法：先使用格式工具栏的第一个图标将各级标题“格式化”，再使用“插入|索引和目录”便可自动生成。
目录生成后，在首行加上“目　　录”二字，采用黑体三号字，居中。
目录只列到三级，一、二、三级标题依次内缩一字，分别采用四号、小四号、五号宋体。
4．2 目录页的位置
目录页位于正文第一页之前。正文首页为论文第一页。
目录右端的页号应对齐。目录页超过一页时，应有页码，一般采用大写罗马