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解决排列组合问题的常用方法

在每年的公务员考试中，听到抱怨最多的就是数量关系模块，有些人面对难题毫无头绪，干脆放弃；也有些人耗费了大量时间，最终也还是没有做对。为此，考仕网（ ）名师彻底解决排列组合问题。

1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例1：六人站成一排，求 甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （）
A.504 B.520 C.480 D.532
答案：A
分析：
法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有P(5.5)种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C(4.1)，还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C(4.1)，剩下的全排列，即有C(4.1)C(4.1)A(4.4)种站法。

2.反面考虑法
法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾） P(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4) =504
例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有多少种（）
A.84 B.98 C.112 D.140
答案：D
解析：法1:
①甲参加，乙不参加，有C(8.5)=56种
②乙参加，甲不参加，有C(8.5)=56种
③甲，乙都不参加，有C(8.6)=28种
则邀请的不同方法有56+56+28=140种
法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C(8.4)=70种
C(10.6) -C(8.4)=140

3.捆绑法
例3：A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。
A.120 B.72 C.48 D24
答案：C
解析:将A、B捆绑一起，与C、D、E一起排，共有种排法，A、B又有种排法，共有种排法。
例4：（河北招警2010-32）从单词“equation”选5个不同的字母排成一排，且含有qu（其中qu相连且顺序不变），共有（）种排法。
A.120 B.480 C.720 D840
答案：B
解析：①从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20，
②再将这3个字母和qu全排列A(4.4)=24
所以共有20×24=480种排法

4.错位排列
错位排列问题：有封信和个信封，每封信都不装在自己的信封里，
比如： 2封信就有1种装法；
3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法；
随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。
应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式，请牢记：
设这个数的错位排列数为，当时，，，
，，…，经过枚举我们可以得到：

例5：甲乙丙丁四个同学站成一队，从左到右数，如果甲不排在第一个位置，乙不排在第二个位置，丙不排在第三个位置，丁不排在第四个位置，那不同的排法有几种？
A.9 B.11 C.12 D24
答案：A

5.间接计数法.(排除法)
例6： 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
A.79 B.71 C72 D76
答案：D
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C(9.3)-8

例7：正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。

6.分配插板
什么时候使用插板法呢？有两个前提：1）相同的东西进行分配；2)每人至少分一个；
例8：（河南政法2010A-41）把9个苹果分给5 个人，每人至少分一个苹果，那么不同的分法有多少种？（）
A.70 B.40 C.50 D60
答案：A
分析: 9个苹果排成一排，形成8个空，插4个挡板，就可以把这9个苹果分成5份，并且每份至少1个，
例9：10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共种。
例10：５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
　错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.
　错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
　正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.
　【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.

7.等价转换
当考试题目和实际问题比较接近时。我们一定要将其转换成我们呢熟悉的等价数学模型
例11：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,的6只路灯，为了节约用电，现要求把其中的两只灯关掉，但不能关掉相邻的两只，也不关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有几种？（）
A.2 B.3 C.4 D5
答案：B
分析：等价转换，假设有4个白球排成一排（中间3个空，不包括端点2个空），将2个黑球插入到白球构成的空中，最后得到的6个球就相当于6只路灯，白球代表亮的，黑球代表关掉的.

8.分组法
例12.  6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?  
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? C(6.2)C(4.2)
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/P(3.3)
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ C(6.3)C(3.2)
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.2)
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
    C(6.3)C(3.2)P(3.3)

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