双线性变换法设计IIR数字滤波器通信专业.doc
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双线性变换法设计IIR数字滤波器 一、 实验目的 1) 熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和方法。 2) 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。 3) 观察对心电 图信号的实际滤波作用,获得数字滤波的感性认识。 二、 实验原理 在滤波器的设计过程中,逼近是一个重要的环节,所谓逼近就是根据性能指标的要求,对理想特性进行逼近,以求得一个因果、稳定且可实现的传递函数。 目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟,它不仅具有简单而严格的设计公式,而且设计参数已经表格化了。借助模拟滤波器的逼近方法,用模拟域到数字域的某种变换,完成数字滤波器的逼进,这是一类简单而行之有效的方法。 双线性变换法采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T~/T之间,再用z=e转换Z平面上。也就是说,第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T~/T一条横带里;第二步再通过标准变换关系z=e将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,影射关系如图7-1所示。 图 7-1 双线性变换的映射关系 为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上,可以通过以下的正切实现 (7-1) 式中T仍是采样间隔。 当Ω1由-π/T经过0变化到-π/T时,Ω由-,也即映射了整个jΩ轴。将式(7-1)写成 (7-2) 将此关系到解析延拓到整个S平面和S1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,则得 (7-3) 再将s1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面: (7-4) 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为 (7-5) (7-6) 式(7-5)与式(7-6)是s平面与z平面之间的单值映射关系,这种变换都是两个线性函数之比,因此称为双母性变换。 双线性变换式建立起平面与z平面的单值映射关系,由上式我们可以得到模拟频率Ω和数字频率ω之间关系: (7-7) 从上式可知,当时,ω终止在折叠频率ω=π处,整个轴是单值地对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法,它不存在频率混淆问题。 由于S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内,S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外,S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此,稳定的模拟滤波器,经双线性变换后扬得的数字滤波器也一定是稳定的。但是,它的频率变换关系是非线性的。这种非线性关系使得通带截止频率、过渡带的边缘频率 的相对位置发生了非线性畸变。这种非线性畸变可以通过预畸变来校正。用双线性变换设计数字滤波器时,一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式(7-7)的频率预畸变,求得相应参考模拟滤波器的各临界频率。然后设计参考模拟滤波器的传递函数,最后通过双线性变换变换公式来得数字滤波器的传递函数,这们通过双线性变换,正好将这些频率点映射到我们所需的位置上。 图 7-2双线性变换法的频率变换关系、幅度和相位特性的非线性映射 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 a) 确定数字低通滤波器的技术指标:通带截止频率、通带衰减、阻带截止频率、阻带衰减。 b) 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。采用双线性变换法,边界频率的转换关系为 c) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 d) 将模拟滤波器系统函数从S平面转换到Z平面,得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 三、 实验内容 1) 用双线性变换法设计巴特沃斯IIR数字滤波器。设计指标为:通带内频率低于0.2π时,最大衰减小于1dB;在阻带[0.3π,π]频率区间上,最小衰减大于15dB。 2) 以0.02π为采样间隔,绘出数字滤波器在频率z镜[0,π/2]上的幅频响应特性曲线。 3) 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理,产分别绘出滤波前后的波形图,观察总结滤波作用与效果。实际心电图信号打样样本x(n)序列为 [-4,-2,0,-4,-6,-4,-3,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0] 四、 实验步骤 1) 复习有关巴特沃其模拟滤波器内容和用双线性变换法设计IIR数字滤波器内容。 2) 运行程序,并绘出图形,完成实验内容2)和3) 五、 实验子程序简介 1) 确定滤波阶数函数buttord 格式:[N,Wn]=buttrd(Wp,Ws,Rp,Rs) 其中N:满足指标的最低滤波器的阶数; Wn::巴特沃斯自然频率 Rp:通带最大衰减 Rs:阻带最小衰减 Wp、Ws归一化的通带和阻带的边缘频率。 2)确定模拟低通滤波器原型函数buttap 格式:[Z,P,K]=buttap(N) 其中N:满足指标的最低滤皮器阶数 Z:N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的零点 P:N阶归一化巴特沃斯巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的极点 K:N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的增益 3)双线性变换函数bilinear 格式:[NUMd,DENd]=bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM:s域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向量 DEN:s域转移函数分母系数按幂递减排列的行向量 Fs:采样频率 NUMd:z域转移分子系数按幂递减方式排列的行向量 DENd:z域转移分母系数按幂递减方式排列的行向量 4)滤波函数filter 格式:y=filter(b,a,x) 参数:滤波系数 滤波器系数 x:输入序列矢量 y:为滤波后的输出 即滤波器的系统函数为:标准形式中取若输入滤波系数a中时,MATLAB会自动归一化系数:系统给出错信息。 5)绘制幅频特性曲线函数freqz 格式一:[H,W]=freqz(B,A,N) N: 频点数目,参数N好选用2的整数次幂,以便使用FFT进行快速运算,N的缺省值为512。 W:数字滤波器的N点的频率向量,计算所得的N个频率点均匀的分布在[0,]上 H:与W相对应的N点的频率响应向量,计算所得的N个频率点均匀的分布在[0,]上, H:与W相对应的N点频率响应向量 A:,是滤波器系数,即滤波器形式如下: 格式二:freqz(B,A,N) 直接绘制频率响应图,而且返回任何值。 格式三:H=freqz(B,A,W)返回W向量中指定的频率范围内的频率响应。其中,W以弧度为单位在[0,]范围内。 格式四:[H,F]=freqz(B,A,N,Fs) 对在[0,Fs/2]上等间隔采样N点,采样点频率及相应的响应值分别记录在F和H中。 六、思考题 1)用双线变换法设计IIR数字滤波器过程中,变换公式中的T的取值对设计结果有无影响?为什么? 2)计算每个二阶滤波器的输出序列时,如何确定计算点数? 3)如何利用低通滤汉器原型设计其它类型数字滤波器?- 配套讲稿:
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