第3章 微分中值定理及其应用(2).doc

第3章 微分中值定理及其应用 (第二讲泰勒公式、函数极值等)
一．应用麦克劳林公式，按乘幂展开函数。
解：是6次多项式，

计算出：

故
二.当 时，求函数 的阶泰勒公式。
解：

（在和之间）

三.求函数的阶麦克劳林公式。
解:

可表示为
一．当时，证明。
证: 设则
设
则
当 时, , 故单调减少,
即
所以在上单调减少.
当时, ,
因此 , 即
二、当时，证明。
解: 设

即 当时, , 所以为单调增加 ,
即 为增函数,
三．试证方程仅有一个实根。
解: 显然为方程的一个根又
时, 单调增加,
在仅有一个零点.即方程仅有一个实根
五．在上存在二阶导数且，证明：（1）在内。（2）内至少存在一点，使得。
分析:(1)要证在上非零,用反证法更方便,若不然,至少有一个零点,则由的三个零点,可推出有2个零点,从而有一个零点与已知矛盾.
(2)要证,即证方程有解,则取

从而可以证明结论.
证明:(1)反证法:若不然,则在内至少有一点,使得,
于是由已知在,上均满足罗尔定理条件,
因此,必存在,使得
进一步知在区间上满足罗尔定理的条件，
因此，必存在使得，
与已知矛盾。因此在上。
（2）设由已知，
在上连续可导，满足罗尔定理的条件，
因此，至少存在一点使得，
即：,也即
六．，且，试证
（1） 当时，；
（2） 当时，。
分析：对于这种题显然用反证法
证明：（1）设当时 ，任意取一点
由导数的定义知：

将得：
因为当时 ，且

与条件相矛盾 所以假设不成立原命题成立即：
当时，
（2）设当时 ，任意取一点由导数的定义知：

将得：
因为当时 ，
且所以
与条件相矛盾 所以假设不成立原命题成立即：
当时，
一、求函数的极值。
解：点导数不存在，而函数有意义

（）
1
（）

+

最大极值点

极大值：

二．试证明：如果函数
满足条件，那末这函数没有极值。
证明：,由条件，推出,
为二次三项式，
当时，， ，从而为单调增加
当时，， ，从而为单调减少
故无论对怎样的，在总是单调的，
在无极值。
二、 设 （1）讨论在处的连续性。
（2）取何值时取得极值。
解：（1）由连续的定义知：

所以.=
而 . 所以=
所以在处连续
（2）设 要使取得极值 则必须使在处取得极值. 设,
则 , 要使取得极值
则有 ,而 所以 ,
因此, 所以. 所以当等于时，取得极值,由于 即为单调增函数 所以只要取得极值即可。所以当等于时取得极值。

三．利用函数的凹凸性，证明不等式

解：设,对，
由 知是上凹的,
所以对任意
有
即：

四．求函数的拐点。
解： ,

当时，又当时，不存在但注意到时曲线上的对应点为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0，所以点不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为时的点及时的点,经过验证二者都是拐点。

五问及为何值时，点为曲线的拐点？
解：
令得由于，在的领域内，
在的两侧变号，所以，这时对应的
要使为拐点，则 解得：
六．设二阶可导，若，
证明：。
证明：由导数的定义：
,
应用麦克劳林公式将展开得：

因为， ,
所以
（2）设互为反函数，，且均在上存在二阶导数，于是（ ）。
A若则；
B 若则；
C 若则；
D 若则；
分析： 依题意， 为奇函数，图形关于原点对称，对称点处曲线凸凹性相反，即二阶导数异号，因此A正确，故取A，而互为反函数的条件，函数曲线与的凸性关系与其单调性相关，在不明确单调性情况下，无法对C，D做判断。
（5）在内具有二阶导数，严格单调减少，且则（ ）。
A.在和内均有；
B.在和内均有；
C.在内，，在内， ；
D. 在内，，在内，。
分析： 由几何直观考虑，如图，在处，切线为，且曲线上凸，从而知切线在曲线上方，即：，故取A
（6）设在其定义域内具有二阶导数，则在定义域内（ ）。
A.若 ，也必有单调增加；
B.若，也必有曲线是凹的；
C.若，也必有恒为常数；
D.连续。
分析： 由导数讨论函数性质，必须在区间上进行，如假设，在定义域内虽然有但非单调增，只在各自区间上单调增，又如,虽然在其定义域内有显然，由题意，在其定义域内任意点可导，必然连续，故选择D