高中数学集合复习教案.doc

【中学数学教案】

集合总复习

教学目的：

1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。
2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。
3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“⊂≠ ”、“⊆”的含义。
4.会判断简单集合的相等关系：
（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。
5.理解交集与并集的概念，熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集，掌握集合的交、并的性质。

教学重点：

1.集合的基本概念及表示方法。
2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。
3.子集的概念、真子集的概念。

教学难点：

1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。
2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。
4.集合的交、并的性质。

教学内容：

一、集合的有关概念：
1、集合的概念：
（1）集合：集合是由一些确定的对象组成的一个整体，简称集。
（2）元素：组成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。
☆。
2、常用数集及记法：
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N。
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。
（3）整数集：全体整数的集合。记作Z。
（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q。
（5）实数集：全体实数的集合。记作R。
3.不含任何元素的集合叫空集，记作。
☆注意：0和不同，0是一个数，可以作为一个集合的元素，而是一个集合。

二、集合的表示方法：列举法，描述法。
☆用列举法表示集合时，元素不能重复，不能遗漏，不计顺序；
☆用描述法表示集合时，书写格式为：M=｛代表元素︱元素的特征性质｝。

三、集合中元素的特性：
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

四、集合之间的关系：
1.子集：
（1）定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
这时我们也说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
☆如果集合A的元素中有一个不是集合B的元素，那么A肯定不是B的子集。
（2）真子集：为子集的特例，集合A是集合B的真子集必须满足：①A是B的子集；②至少有一个B中的元素不属于A，A≠B。
☆A是B的子集有两种情况：①A是B的真子集；②A=B。
2.两个集合相等：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
用式子表示：如果A⊆B，同时B⊆A，那么A=B。
☆A=B是指A和B的的元素完全相同，判断集合A和B相等的方法有两种：①对有限集合，一般利用定义，观察A和B的元素是否完全相同，直接进行判断；②对无限集合，考察A⊆B且B⊆A是否成立。

五、集合的运算：
1.交集：
定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A和B的交集。
记作AB（读作“A交B”），即AB=｛x|xA，且xB｝。
2.并集：
定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A和B的并集。
记作：AB（读作“A并B”），即AB ={x|xA，或xB}。

例1：用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

取值范围是[ ]
A．m＜4 B．m＞4 C．0＜m＜4 　　 D．0≤m＜4

可得0≤m＜4．答 选D．

例3： 已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是[ ]
A．{0，1} B．{(0，1)} C．{1}
分析 先考虑相关函数的值域．
解 ∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}，
∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．

例4： 设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝ [ ]
A．{x|－5≤x＜1} B．{x|－5≤x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}
分析 画数轴表示,B)。答 D。

例5 下列四个推理：①；②;
为 [ ]
A．1 B．2 C．3 D.4
分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答 选C。

例6： 集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________。
分析 A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合。
所以A∩B＝{(1，－1)}．

例7：设A＝{x∈R|f(x)＝0},B＝{x∈R|g(x)＝0},,,则[ ]。
A．C＝A∪(UR) B．C＝A∩(UB) C．C＝A∪B D．C＝(UA)∩B
分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}
＝A∩(UB)．答 选B．说明：本题把分式的意义与集合相结合．

例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．
分析 一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．
另一种方法，画图1－10观察可得．答 填15．

例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B．
分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．

解 ∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}
用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得
U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，
所以 A＝{2，5，13，17，23}，
B＝{2，11，17，19，29}．
说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．

例10 设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．
分析 欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验．
解 由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5．
当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去；
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}
当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．故x＝5应舍去．从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}．
说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．

例11 设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．

需要对A的子集进行分类讨论．

设0∈B，则a2－1＝0，a＝±1，当a＝－1时，B＝{0}符合题意；当a＝1时，B＝{0，－4}也符合题意．
设－4∈B，则a＝1或a＝7，当a＝7时，B＝{－4，－12}不符合题意．
＜－1．
综上所述，a的取值范围是a≤－1或a＝1．

例12 (1998年全国高考题)
设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x[ ]
A．(－∞，2]　 B．[－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．[－1，2]
分析 分别将集合M、N用数轴表示，可知：k≥－1时，M∩答 选B．