六年级图形问题综合(奥数)含答案解析.doc

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平面图形计算（一）
经典图形：
1. 任意三角形ABC中，CD=AC，EC=BC，则三角形CDE的面积占总面积的=（为什么？）

2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。（为什么？）

3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为什么？）

4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方2，或者等于斜边的平方4.（为什么？）

例题：
例1． 如右图，三角形ABC的面积是10，BE=2AB，CD=3BC，求三角形BDE的面积。

例2． 如图，已知三角形ABC的面积是1，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。

例3． 如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AE=ED，EF=2BF，求AEF的面积。

例4． 如图，ABCD是个长方形，DEFG是个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AKF与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面积。

例5． 如图，三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。三角形ABC面积是500，求图中阴影部分的面积？

例6． 如图，设正方形ABCD的面积为120，E、F分别为边AB、AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少？

例7． 在如图所示的三角形AGH中，三角形ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH的面积是多少平方厘米？

例8． 如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行于AC，如果三角形AED的面积为12平方厘米，，求三角形DCF的面积。

练习：
1. 已知正方形ABCD的边长是5cm，又EF=FG，FD=DG，求三角形ECG的面积。

2. 正三角形ABC的边长为12厘米，BD，DE，EF，FG四条线段把它的面积5等分，求AF，FD，DC，AG，GE，EB的长。

3. 如图所示是某个六边形公园ABCDEF，M为AB中点，N为CD中点，，P为DE中点，Q为FA中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积之和为900平方米。中间的湖泊面积为361平方米，其余的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？

4. 如图，AE=EC，BD=2DC，AF=3BF，若三角形ABC的面积为270平方厘米，求图中阴影部分的面积。

5. 如下图,正方形的边长为12, 是边上的任意一点,、、、分别是边、上的三等分点,、、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.

6. 如图正方形的边长是4厘米,是3厘米,长方形的长是5厘米,那么它的宽是______厘米.

7. 如图，CE=4EA， BD=3CD，AF=5BF。若三角形ABC的面积为120平方厘米，求图中四个小三角形的面积。

8. DF与平行四边形ABCD的BC交于E点，与AB交于F点。若三角形ABE的面积是97平方厘米，求三角形CEF的面积。

9. 梯形ABCD，AB，CD分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米，三角形COD的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？

图形与面积(一)
一、填空题
1. 如下图,把三角形的一条边延长1倍到,把它的另一边延长2倍到,得到一个较大的三角形,三角形的面积是三角形面积的______倍.

2. 如下图,在三角形中, =8厘米, =6厘米,、分别为和的中点.那么三角形的面积是______平方厘米.

3. 如下图,那么,三角形的面积是三角形面积的______.

4. 下图中,三角形的面积是30平方厘米,是的中点,的长是的长的2倍,那么三角形的面积是______平方厘米.

5. 5. 现有一个5×5的方格表(如下图)每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于______.

6. 下图正方形边长是10厘米,长方形的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是______平方厘米.
7. 如图所示,一个矩形被分成、、、四个矩形.现知的面积是2cm2,的面积是4cm2,的面积是6cm2.那么原矩形的面积是______平方厘米.

8. 有一个等腰梯形,底角为450,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是______平方厘米.
9. 已知三角形的面积为56平方厘米、是平行四边形的2倍,那么阴影部分的面积是______平方厘米.

10. 下图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是______.
二、解答题
11. 已知正方形的面积是50平方厘米,三角形两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形的面积.

12. 如图,长方形中, =24cm,=26cm,是的中点,、分别是、的四等分点, 为上任意一点,求阴影部分面积.

13. 有两张正方形纸,它们的边长都是整厘米数,大的一张的面积比小的一张多44平方厘米.大、小正方形纸的边长分别是多少?

14. 用面积为1,2,3,4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问:图中阴影部分面积是多少?

图形与面积（二）
一、填空题
1. 下图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是______厘米.

2. 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.那么7,2,1三个数字所占的面积之和是______.
3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘米.

4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘米.
5. 在中,,,已知的面积是18平方厘米,则四边形的面积等于______平方厘米.

6. 下图是边长为4厘米的正方形,=5厘米、是______厘米.
7. 如图正方形的边长是4厘米,是3厘米,长方形的长是5厘米,那么它的宽是______厘米.

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8. 如图,一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示,那么这个大矩形的面积是______.
9.
10. 如下图,正方形的边长为12, 是边上的任意一点,、、、分别是边、上的三等分点,、、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.

11. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形的面积是______平方厘米.

二、解答题
12. 图中正六边形的面积是54.,,求阴影四边形的面积.

13. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.

14. 一个周长是56厘米的大长方形,按图35中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长方形面积的比是: ,.而在(2)中相应的比例是,.又知,长方形的宽减去的宽所得到的差,与的长减去在的长所得到的差之比为1:3.求大长方形的面积.

15. 如图,已知,,,.直线将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65.那么三角形面积是______.

（一）答案：
1. 6.如下图,连接,因为,所以,,即.又因为,所以,,这样以来,.
2. 6.已知、分别是和的中点,因此的面积是的面积
的,的面积又是的面积的.又因为
(平方厘米), 所以(平方厘米).
3. .由可知.因为与是同一个顶点,底边在同一条线段,所以这两个三角形等高,则三角形面积与底边成正比例关系,因此.同理可知.这样以来,的面积是的的,即是的面积的.
所以,的面积是的.
4. 5.因为是的中点,所以三角形和三角形面积相等(等底、等高的三角形等积),从而三角形的面积等于三角形面积的一半,即30÷2=15(平方厘米).在与中,,高相等,所以的面积是面积的.即的面积是(平方厘米)
5. 10三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于.
6. 60设正方形的面积为,长方形的面积为,重叠部分的面
积为,则阴影部分的面积差是:.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关,应等于正方形的面积与长方形的面积之差.所求答案:10×10-8×5=60(平方厘米).
7. 24图中的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的,矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看,两个相邻矩形的倍比关系是一致的,是的2倍,那么也应是的2倍,所以的面积是2×6=12,从而原矩形的面积是2+4+6+12=24.
8. 20如下图,从上底的两个端点分别作底边的垂线,则是矩形, (厘米).
因为,所以是等腰直角三角形,则(厘米).根据梯形的
求积公式得:(平方厘米).
9. 14由已知条件,平行四边形的面积是:56÷2=28(平方厘米)如下图,连接
,为平行四行形的对角线,由平行四边形的性质如,
(平方厘米).在与中,为公共底边,平行于,从而边上的高相等,所以,(平方厘米).
10. 97因为长方形的面积等于与的面积和,所以与
重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和,即.
11. 画两条辅助线如下图,根据条件可知,正方形面积是长方形面积的2.5倍.从而
的面积是50÷2.5=20(平方厘米).所以的面积是20÷2=10(平方厘米).
12. 连结,的面积为.把和结合起来考虑,这两个三角形的底、相等,且都等于长方形宽的,它们的高与之和正好是长方形的长,所以这两个三角形的面积之和是: .于是,图中阴影部分的面积为216+108=324.
13. 把两张正方形纸重叠在一起,且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如图:
这个长方形的面积是44平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是
两个正方形的边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三种形式: 44=1×44=2×22=4×11.所以,两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2.于是,两个正方形的边长是(22+2)÷2=12(厘米),12-2=10(厘米).
14. 如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长交底边于,延长交底边于.矩形面
积是上部阴影三角形面积的2倍.矩形是下部阴影三角形面积的2倍.所以矩形的面
积是阴影部分面积的两倍.知 , 因此矩形的面积是大矩形面积的,阴影部分面积是大矩形面积的.阴影部分面积=×10=.

（二）答案：
1. 170.每个小正方形的面积为400÷16=25平方厘米,所以每个小正方形的边长为5cm,因此它的周长是34×5=170厘米.
2. 25. 7,2,1所占面积分别为7.5,10和7.5 .
3. 6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正方形3个,面积为1的三角形5个,面积为1.5的三角形一个,因此围成面积是4×4-3-5-1.5=6.5(平方厘米).
4. 24仿上题,大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和,所得的差就是阴影部分的面积.=16+64-(32+24)=80-56=24(平方厘米)
5. 12如下图,连接,因为,所以;又,所以.因为,所以;因此(平方厘米).
6. 3.2如下图,连接,则(平方厘米).从另一角度看,,于是.=3.2(厘米)
7. 3.2如下图,连接,则的面积是正方形面积的,也是长方形
的面积的,于是长方形的面积等于正方形的面积4×4=16(平方
厘米).(厘米).
8. 243我们用,,,分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.

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因此它们的面积之比,就是宽之比,反之,宽之比,就是面积之比.这样就有:20:16=:36, ;20:16=25:,;20:16=30:,; 20:16=:12, .因此,大矩形的面积是:45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243
9. 60 如下图,连接,则阴影部分就是由四个三角形: ,,和组成.
和的底都有3,高为12,所以.和的底都是4,两条高分别为和则:
=2(+)=2×12=24所以,阴影部分的面积是: =18+18+24=60
10. 4长方形的面积是6×4=24(平方厘米)(平方厘米)
=12-10=2(平方厘米)
又(平方厘米)所以,四边形的面积等于:
=6-2=4(平方厘米)
11. 如图,将正六边形等分为54个小正三角形.根据平行四边形对角线平分平行四边形面积.采用数小三角形的办法来计算面积.面积=3;面积=9;四边形面积=11.上述三块面积之和为3+9+11=23,因此,阴影四边形面积为54-23=31.
12. 如图,涂阴影部分小正六角星形可分成12个与三角形全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形.三形的面积是平方厘米.正三角形面积是由三个与三角形全等的三角形组成.所以正三角形的面积等于(平方厘米). 由于大正方六角星形由12个与正三角形
全等的三角形组成,所以大正六角星形的面积是4×12=48(平方厘米)
13. 设大长方形的宽为,则长为28-.因为,,, 所以,.
,,.由题设可知, ::3 或 ,于是, .大长方形的长=28-8=20,从而大长方形的面积为8×20=160平方厘米.
14. 三角形面积是三角形面积的(15+6)÷7=3(倍),三角形面积是三角形面积的
15÷(5+7)=(倍).所以65-38×等于三角形面积与三角形面积的之差,因此三角形的面积是(65-38×)÷(3-)=10.三角形面积是10×(3+1)=40.
enjoy the trust of 得到...的信任    have / put trust in 信任   in trust 受托的，代为保管的
take ...on trust对...不加考察信以为真  trust on 信赖   give a new turn to    对~~予以新的看法 turn around / round 转身，转过来，改变意见turn back   折回，往回走turn … away 赶走……，辞退……，把……打发走，转脸不睬，使转变方向 turn to… 转向……，（for help）向……求助，查阅， 变成；着手于think through… 思考……直到得出结论，想通think of 想到，想起，认为，对……有看法/想法

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