备战高考数学――名师精编预测题跟踪演练详解系列5.doc

备战09高考数学――名师精编预测题跟踪演练详解系列五
1．（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P在椭圆上，得

由，所以 ………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为
由椭圆第二定义得，即
由，所以…………………………3分
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
③
④
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，，
由，
，
，得
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
③
④

由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记，
由知，所以…………14分
2．（本小题满分12分）
函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设
是曲线在点（）得的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用、、表示m；
（Ⅱ）证明：当；
（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，
求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：…………………………………………2分
（Ⅱ）证明：令
因为递减，所以递增，因此，当；
当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的
最小值为0，因此即…………………………6分
（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是

另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为
于是的充要条件是…………………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得 ③
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
………………………………………………………………8分
令，于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分
综上，不等式对任意成立的充要条件是
①
显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②
有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3．（本小题满分12分）
已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.
解：由已知可得两式相减得
即从而当时所以又所以从而
故总有，又从而即数列是等比数列；
（II）由（I）知
因为所以
从而=
=-=
由上-=
=12①
当时，①式=0所以；
当时，①式=-12所以
当时，
又
所以即①从而

4．(本小题满分14分)
已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①
（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点
（2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.
5．（本小题满分12分）
已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得
③
由①、②、③得

故k的取值范围为
6．（本小题满分12分）
数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.
（2）假设当时不等式成立，即
那么. 这就是说，当时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得

即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故

令
取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因
故成立.
7．（本小题满分12分）
已知数列
（1）证明
（2）求数列的通项公式an.
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴，命题正确.
2°假设n=k时有
则

而
又
∴时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴；
2°假设n=k时有成立，
令，在[0，2]上单调递增，所以由假设
有：即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项：所以

,
又bn=－1，所以