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第二章极限与连续
一、数列的极限
A、数列｛Un｝中的数称为数列的项，Un为数列的一般项或通项。正整数n称为数列的下标。
给定数列｛Un｝，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列｛Un｝可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。
B、已知数列｛Un｝，当n无限增大时，Un无限趋近于某一个常数A，则A为数列｛Un｝的极限。即 Un=A 或Un→A（n→+∞）
①若数列｛Un｝有极限，则称数列｛Un｝收敛，或Un存在
②若数列｛Un｝无极限，则称数列｛Un｝发散，或Un不存在
※有界数列：|Un|≤M（n∈N*，M＞0）
※收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。
二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】
A、x→∞时函数f（x）的极限
a、已知f（x），x→∞时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x→∞时，f（x）的极限。 【双边极限】
记作：f（x）=A 或f（x）→A，（x→∞）
b、已知f（x），x→+∞时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x→+∞时，f（x）的极限。 【单边极限】
记作：f（x）=A 或f（x）→A，（x→+∞）
c、已知f（x），x→-∞时，f （x）无限趋近于某一个常数A，则称当x→-∞时，函数f（x）的极限存在，且称当A为x→-∞时，f（x）的极限。 【单边极限】
记作：f（x）=A 或f（x）→A，（x→-∞）
综上：f（x）=A <=> f（x）=f（x）=A
B、x→x0时f（x）的极限
a、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，x→x0时f（x）无限趋近于某常数A。即当x→x0时f（x）的极限存在，且称A为x→x0时f（x）的极限。
记作：f（x）=A 或f（x）→A，（x→x0）
b、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，x→x0-时f（x）无限趋近于某常数A。即常数A为x→x0时f（x）的左极限。
记作：f（x）=A 或f（x）→A，（x→x0-）或f（x0-0）=A
c、f（x）在x0的某空心邻域内有定义，x→x0+时f（x）无限趋近于某常数A。即常数A为x→x0时f（x）的右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】
记作: f（x）=A 或f（x）→A，（x→x0+）或f（x0+0）=A
综上：f（x）=A <=> f（x）=f（x）=A
三、无穷大量与无穷小量
A、在自变量的某一变化过程中（即在某一趋向下），若f（x）的绝对值无限的增大，则称f（x）为无穷大量。
即limf（x）=∞。
a、 若f（x）恒为正且f（x）无限的增大，则称f（x）为正无穷大。即limf（x）=+∞
b、 若f（x）恒为负且f（x）的绝对值无限的增大，则称f（x）为负无穷大。即limf（x）=﹣∞
※ 一个无穷大量与一个有界变量（即有限函数）之和仍为无穷大量。
※ 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量。
※ 两个正（负）无穷大量之和仍为正（负）无穷大量。【若是一正一负则结果不能确定】
B、极限为零的变量成为无穷小量。（0也是无穷小量）
limf（x）=A <=> f（x）=A+α 其中limα=0
※ 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。
※ 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。
※ 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。
※ 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。
C、无穷大量与无穷小量的关系
在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（不取零时）的倒数是无穷大量。
即limf（x）=∞ 则lim=0
D、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较】
①若α与β为同一变化过程中的两个无穷小量
a、若=0，则称α是比β高阶的无穷小量。
b、若=∞，则称α是比β低阶的无穷小量。
c、若lim=A≠0，（且A≠1）则称α与β为同阶的无穷小量。
d、若=1，则称α是与β等价的无穷小量。 记作：α～β
e、若=A≠0，k＞0，则称α是关于β的k阶无穷小量。
②若在同一极限中，α、β、γ均为无穷小量
a、α～α，即任何一个无穷小量总是和它本身等价。
b、α～β，β～γ，则α～γ。即等价关系具有传递性。
c、α～β，则α•γ～β•γ。即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后，仍为等价无穷小量。
d、α～α1，β～β1,则α•β～α1•β1 。即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积。
四、函数极限的性质与运算法则
A、函数极限的性质（同样适用于数列极限）
a、若极限limf（x）存在，则极限值唯一。【唯一性】
b、f（x）存在，则函数f（x）在x0的某空心邻域内有界。【局部有界性】
c、若f（x）=A 【局部保号性】
①、A＞0（或A＜0），则函数f（x）在x0的某空心邻域内恒有f（x）＞0（或＜0）
②、x0的某空心邻域内恒有f（x）≥0（或f（x）≤0）则有A≥0（或A≤0）
c、 若f（x）=A，若g（x）=Ｂ，且在的某个空心邻域内恒有f（x）≥g（x），则Ａ≥Ｂ
B、函数极限的运算法则
a、limf（x）与limg（x）存在，则lim[f（x）±g（x）]与lim[f（x）•g（x）]存在
若有limf（x）=A，limg（x）=B，lim[f（x）±g（x）]= limf（x）±limg（x）=A+B
b、limf（x）与limg（x）存在，若有limf（x）=A，limg（x）=B
lim[f（x）•g（x）]= limf（x）•limg（x）=A•B
= = （B≠0）
d、 由上a、b运算性质可得如下推论：
① 极限limf（x）存在，C为常数，则有
② 极限limf（x）存在， （n可为正数也可为负数也可以是分数）
※求函数极限的几种方法：
①、多项式与分式函数：消去0因子法（即通过因式分解消去不利因子）
②、有理化：分子分母都乘以相应无理式的共轭因式
③、利用无穷小与有界函数的乘积为无穷小简化（只针对时）
④、无穷小分子法：（给公式的那个~）…
⑤、之后马上就会说的利用两个重要极限。
⑥、最麻烦的那个变量代换（注意趋向）
⑦、不会就用洛必达法则做，以后第四章再说~~
C、极限存在性定理
a、夹逼定理：若在的某空心邻域【要求＞0】内恒有【要求同一趋向下】。 且有==A 则极限存在，且有=A 【对于其他函数极限的情形和数列极限，也有类似结果】
b、单调有界数列必有极限。
五、两个重要极限
A、或 另：|sinx|＜|x| （x≠0时）
B、或或
※几个等价无穷小 【时】

用于简化求极限值的运算
【等价无穷小的代换只适用于乘除，不能用于加减】
六、函数的连续性
A、函数的连续与间断
a、设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，x在处的趋于零时，函数相应的该变量也趋于零。即
即称函数y=f（x）在点处连续并称是函数y=f（x）的连续点。
b、y=f（x）在点的某个邻域内有定义，若y=f（x），当时的极限存在且等于f（）即。即称函数y=f（x）在点处连续，并称是函数y=f（x）的连续点。
※连续即为不间断，连续的条件（证明时会用到）
①、存在 ②、存在 ③ =
c、在某邻域有定义时
有定义时，f（x）在（a，b）内连续，且在点a右连续，在b左连续，则称函数f（x）在[a，b]上连续。
所以，f（x）在处连续f（x）在处既左连续又右连续。
e、 间断点的分类
①、左右极限存在
②、左右极限至少有一个不存在
B、初等函数及分段函数的连续性
a、设f（x）与g（x）在点或区间D上连续，则有、、在点或区间D上均连续。
b、复合函数的连续性
函数f（x）在点连续时，函数符号f与极限符号lim可以交换。即，且其连续性在某一邻域内一致。
c、基本初等函数在其定义域内连续。
初等函数在其有定义的区间内连续。
d、常用的等价无穷小们 （第四页上有，就不再写一遍了）
e、零点定理：在闭区间[a，b]上连续，且，则至少存在一点∈（a，b）使=0
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