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滚动小专题（五） 三角形的有关计算与证明
三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.

例 (2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.
求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.

【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；
(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可.
【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.
∴∠BCG＝∠CAB＝45°.
又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，
∴△ACF≌△CBG(ASA),
∴CF＝BG，AF＝CG.
(2)延长CG交AB于点H.
∵AC＝BC，CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，H为AB中点.
又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,
∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.
∵E为AC中点，∴AE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEG，
∴△AED≌△CEG(AAS),
∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.
由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.
方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.

1.(2014·长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

(1)求证：△AOE≌△COD；
(2)若∠OCD=30°，AB=,求△AOC的面积.

2.(2014·滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.

3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
(2)求证：BG2-GE2=EA2.

4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.
(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；
(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.

5.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

(1)求证：BE=CF；
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

参考答案
1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE＝AB,∠E＝∠B＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB,∠D＝90°.
∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°.
在△AOE和△COD中，

∴△AOE≌△COD(AAS).
(2)在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，∴OC=2OD.
∵AB＝CD＝，OD2+CD2=OC2，
∴OD2+()2=4OD2,解得OD＝1.
∴OC＝2.
由折叠知：∠BCA＝∠ACO.
∵AD∥BC，∴∠OAC＝∠BCA，
∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝2，
∴S△AOC=·OA·CD=×2×=.
2.图中的所有的等腰三角形有：△DCC′，△DAC′，△ABC′，△BCC′，理由如下：
∵正方形ABCD，
∴CD=AD=AB=BC，
∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.
∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，
∴DC′=DC=AD=AB，
∠DCC′=∠DC′C= (180°-30°)=75°，
即△DCC′是等腰三角形.
∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°.
∵DC′=AD，∴△DAC′为等边三角形.
∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°,
∴△ABC′为等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°,
∴∠ABC′=∠AC′B=(180°-30°)= 75°,
∴∠C′BC=90°-75°=15°，
∠C′CB=90°-75°=15°,
∴∠C′BC=∠C′CB,
∴△BCC′是等腰三角形.
3.(1)BH=AC.
证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,
∠ABC=45°,
∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.
又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA.
∴△DBH≌△DCA,∴BH=AC.
(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.

∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,
∴BG=GC.
∴BG2-GE2=EC2.
∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,
∴△BCE≌△BAE.
∴EC=EA,
∴BG2-GE2=EA2.
4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°.
∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.
又∵CE=DE，∴∠D=∠ECD=30°.
∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.
(2)BD=AE还成立.
证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，

易证△EFB为等边三角形，
∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.
∴∠CFE=∠EBD.
∵CE=DE，∴∠ECD=∠D.
∴△ECF≌△EDB，∴CF=BD.
∵AB=BC，AB-BE=BC-BF，即AE=CF.
∴AE=BD.
5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°.
∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF.
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形.

∴HE=BH，∠BEH=45°.
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，∴DE=BH=HE.
∵BM=2DE，∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC.
②由题意，得∠CAE=45°+×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE.
在Rt△ACM和Rt△ECM中，

∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°.
又∵∠DAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM.
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD=BC.
在△ADE和△CDN中，

∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.

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