八年级数学一次函数与一元一次方程教案全国通用.DOC

《一次函数与一元一次方程》教学案
单位： 瓦甸初中 年级： 八 设计者：刘华 时间： 09.07.26

课 题
一次函数与一元一次方程
课 型
新课
案 序
第1课时
教学目标
知识技能
1、用函数观点认识一元一次方程．
2、用函数的方法求解一元一次方程．
数学思考
加深理解数形结合思想．
解决问题
1、培养多元思维能力．
2、拓宽解题思路．
3、加深数形结合思想的认识与应用
情感态度
1、经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．
2、培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．
教学重点
1、函数观点认识一元一次方程．
2、应用函数求解一元一次方程．
教学难点
用函数观点认识一元一次方程．
课前准备（教具、活动准备等）
多媒体演示．
教 学 过 程
教学步骤
教 师 活 动
学 生 活 动
设 计 意 图

提出问题，创设情境

教师巡视，对学生出现的问题给予帮助，师生共同归纳：
1、在问题１中，解方程2x+20=0，得x=-10．
2、解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．

3、从“数”的角度看，方程2x+20=0，的解是x=-10；
从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．
学生独立思考问题1、2，并完成画图，相互交流观察与思考的结果。
直接给出问题，便于学生快速进入思考问题的角色，对理解一元一次方程与一次函数之间的关系，创造条件，减少干扰。

导入新课

教师引导学生从特殊例子中寻求一般规律
由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？
师生共同归纳：
1、由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
2、从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值
教师应关注学生是否能从“数”和“形”两个角度去认识一次函数与解一元一次方程。
学生在教师的引导下，通过自主合作，分析思考找出这两个问题中的一般规律

学生认真思考，积极讨论，并展示自己的结论。
通过上述活动，逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系．

例题讲解
教师引导，让学生用方程或函数的方法解决问题。
师生共同完成解答过程：
方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17
解之得：x=6．
方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．
方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．

教师应关注：
1、要让学生知道，解法一、二是从“数”的方面考虑；解法三就是从“形” 的方面考虑；
2、对于解法三，学生能否画图解决。

学生审题

这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．

教师引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．
方法一：
我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．
然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点为（1，0），故可得x=1．

方法二：
我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点（1，3），所以x=1．

教师要关注学生对两条直线交点的坐标的含义是否理解。

学生在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．
通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进儿加深对数形结合思想的认识与理解。

随堂练习
教师要求学生：
1）用一条直线与x轴交点求解；
2）用两条直线的交点求解。

通过这个活动让学生进一步理解一元一次方程与一次函数的关系。
小结和作业
1、本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数值为0，发现解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0的关系。
2、作业
习题14.3第5、8题
学生回顾本节课所学的内容
通过小结明确一元一次方程与一次函数的内在联系。
附板书设计：
§14．3．1 一次函数与一元一次方程
一、一次函数与一元一次方程的内在联系
二、内在联系在图象上的反映
三、例题
四、随堂练习
五、小结和作业

一次函数与一元一次方程
——实录
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来看下面两个问题：
１．解方程2x+20=0
２．在坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象，当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
这两个问题之间有什么联系吗？
我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．
Ⅱ．导入新课
思考：直线y=2x+20与x轴交点的横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？
[师]我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，得x=-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．
从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．

[活动一]
活动内容设计：
由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？
活动设计意图：
通过上述活动，逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系．
教师活动：
引导学生从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．
学生活动：
在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．
活动过程与结论：
规律：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
[师]大家总结得很好！我们来试着看个问题，如何用函数的观点解决它．
[活动二]
[例]一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
[解]方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17
解之得：x=6．
方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．
方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．
从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．

总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．
[活动三]
活动内容设计：
利用图象求方程6x-3=x+2的解．
活动设计意图：
通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．
教师活动：
引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．
学生活动：
在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．
活动过程与结论：
方法一：
我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．
然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．

由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．
方法二：
我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，交点的横坐标即是方程的解．

由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．
Ⅲ．随堂练习
1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．
教师要求学生：1）用一条直线与x轴交点求解，2）用两条直线的交点求解。
[解]１．把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．从函数y=x-1的图象与x轴交点坐标上即可看出方程的解．
由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为（1，0）．∴x=1．

２．我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．由下图可知交点为（2，5）．
∴x=2．

[师]从上面活动及练习可以看出，用一次函数图象解方程未必简单．但是，从函数角度看问题，我们可以发现一次函数与一元一次方程之间的联系，这种数与形的转化与结合在以后学习中有很重要的作用．

教学反思：
本节内容并不多，通过讨论一次函数与方程的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的内容的认识，熟悉数形结合思想。教材还说“这种再认识不是简单的回顾复习，而是居高临下地进行动态分析。 
　　学完课本内容后，让学生课后的练习，其中第2题要求“求函数解析式且画出图象，根据图象回答……”。学生练习本上求解函数解析式，巡视中发现许多学生并没有作出一次函数的图象而直接把已知代入解析式求解，虽然也能答出结果但有悖题意。我赶快提示学生，根据要求答题。几分钟后，检查学生完成的情况，却发现部分学生所画的图象不规范，如没有标出与两坐标轴的交点。还有的学生虽然画出了图象却依然是“把X=2代入……”可见学生对于图象的运用仍然不熟练，本章还有许多利用图象解决实际问题的题，数形结合真是一个难点。