九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用第1课时 二次函数的应用（1）教案（新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

21.4 二次函数的应用
第1课时 二次函数的应用（1）

【知识与技能】
经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.
【过程与方法】
经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
【情感态度】
通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.
【教学重点】
会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.
【教学难点】
从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.

一、情景导入，初步认知
问题：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？
要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题.
【教学说明】通过几个实际情景设置悬念，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究：在第21.1节的问题中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
根据题意，可得，
S=x(20-x)
问题：①这是一个什么函数？
②要求最大面积，就是求 的最大值.
③你会求S的最大值吗？
将这个函数的表达式配方，得
S=-(x-10)2+100(0＜x＜20)
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，

它的顶点坐标是（10,100），所以，当x=10时，函数取最大值，即
S最大值=100（m2)
此时，另一边长=20-10=10（m)
答：当围成的矩形水面边长都为10m时,它的面积是最大为100m2.
你能总结此类题目的解题步骤吗？
【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.
【教学说明】由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法，对于一般式，要求掌握配方法的同时，也能利用基本结论，对于顶点式，要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值.
三、运用新知，深化理解
1.教材P37例2.
2.求下列函数的最大值或最小值.
（1）y=2x2-3x-5；
（2）y=-x2-3x+4.
【分析】由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.
解：（1）二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2＞0，
因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.
因为y=2x2-3x-5=2(x-)2-，
所以当x=时，函数y=2x2-3x-5有最小值是-.
（2）二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点，即函数有最大值.
因为y=-x2-3x+4=-(x+)2+，
所以当x=-时，函数y=-x2-3x+4有最大值是.
3.要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?

【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值.
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.
围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.
配方得y＝-2(x－5)2＋50
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.
因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.
所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大.
4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.如果设矩形的一边AB=xm，那么当x为多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？

5.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值.

解：（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此
AE=AC-DF=8-y.
（2）由DE∥BC，得，
即，
所以，y=8-2x，
x的取值范围是0＜x＜4.
（3）S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8所以，当x=2时，S有最大值8.
【教学说明】应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题21.4”中第1、2题.

在教学中一定要注意学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范围；求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围.