山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学上册 2.1.2 认识无理数教案 （新版）北师大版.doc

2.1.2认识无理数

1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.探索无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数．
2.通过学生活动准确认识到有理数都可以划成有限小数和无限循环小数，发展学生的抽象概括能力.
3．让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，同时发展学生的估算能力，在数学活动发挥学生的积极作调学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神.
教学重点与难点：
重点：无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.
难点：无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别．
教法与学法指导：本节课是在上一节课对无理数定性分析的基础上，借助于计算器，采用估算等方法，对无理数的产生进行定性的研究.在教学中要强调让学生探究概念形成的过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调小组之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.学生要借助工具多动手、动口、动脑，自主探究，提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位和作用.
课前准备:多媒体课件、计算器.
教学过程：
一、创设情境，导入新课
教师：同学们还记得有理数是如何分类的吗？
整数（如-1，0，2，3，…):都可看成有限小数.
分数 (如-，，，… )：可不可能都化成有限小数或无限小数?

学生：有理数

教师：很好！上节课我们了解到一些数，如a2=2，b2=5中的a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来探究这些数的真面目．
设计意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，这些数既不是整数，也不是分数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.
实际效果：激发学生的好奇心和求知欲，吸引学生注意力，引出本节课题“数怎么又不够用了”.
二、合作探究，发现新知
探究一：计算器探索面积为2的正方形的边长a．（课件展示）
教师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？
学生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.
教师：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？你能不能估计大正方形的边长a在什么范围内？
学生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a＜2.因为12=1，22=4，而a的平方等于2，所以1＜a＜2.
教师：非常好！既然1＜a＜2，那么a是1点几呢？为什么？
学生：（探究后回答）1.4＜a＜1.5．因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a的平方等于2，所以1.4＜a＜1.5．
教师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索.
（学生小组合作，探索交流）
教师：谁能说一下小组探索的结果？
学生：a=1.4142．
教师：恰好是1.4142吗？
学生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间.
教师：还有几位小数？
学生：无数位.它是一个无限小数.
教师：对，大家可以看一下小明同学的探索过程.（展示课件）
边长a
面积S
1＜a＜2
1＜S＜4
1.4＜ a＜1.5
1.96＜S＜2.25
1.41＜ a＜1.42
1.9881＜S＜2.0164
1.414＜ a＜1.415
1.999396＜S＜2.002225
1.4142＜a＜1.4143
1.99996164＜S＜2.00024449

教师：如果继续探索下去，你会有什么发现？
学生：这个数是无限小数而且不循环.
教师：对，事实上，它是一个无限不循环小数.
探究二：计算器探索面积为5的正方形的边长b（课件展示）
教师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b吗？如果能，把探究的结果填入下表.

边长b
面积S
保留整数
＜ b ＜
＜ S ＜
保留十分位
＜ b ＜
＜ S ＜
保留百分位
＜ b ＜
＜ S ＜
保留千分位
＜ b ＜
＜ S ＜
保留万分位
＜ b ＜
＜ S ＜

学生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格.
教师：谁能说一下你能得到什么结论？
学生：b=2.23606…，它也是一个无限不循环小数.
教师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积为2的正方体的棱长.借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…，它也是一个无限不循环小数.
设计意图：借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是一个无限不循环小数，并从中感受无限逼近的数学思想.
实际效果：通过探究让学生真切感受到无理数确实是无限不循环的，为无理数概念打下基础.
议一议（课件展示）：
把下列有理数表示成小数，你发现了什么？
3，，，，．
学生1：3=3.0，=0.8，=，，．
学生2：我发现3，是有限小数，是无限循环小数．
教师：好！上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
像1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，但是又不是循环的,是无限不循环小数.你能给这类数取个名字吗？
生：无理数.
教师：很好，哪位同学给无理数下个定义？
学生：无理数就是无限不循环小数.
教师：好，圆周率π=3，14159265…也是一个无限不循环小数,目前π值已精确计算到了将近65亿位，但是仍然不是一个精确的数值.故π是无理数.像上面研究过的a2=2，b2=5中的a，b是无限不循环小数都是无理数．
教师：理解无理数的概念一定要抓住哪两方面？
学生：一是无限小数；二是不循环小数．
教师：同学们一定要抓住这两点，只要有一点不符合，它就不是无理数.你能举出其他的无理数例子吗？
学生：(学生踊跃的)1.2345678987…，2π等等.
教师：无理数多不多？
学生：多．
教师：在我们生活中除了π以外，还有非常多的无理数.下面我们看例1，你能分清有理数和无理数吗？
设计意图：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.
教学效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性,建立了无理数的概念.
三、例题示范，应用概念
（课件展示）
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-π．
学生：有理数有3.14，，；无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1), -π.
教师：回答得很好，大家鼓励一下.只要你抓住了无理数的两个特征，你就能把它识别出来.
跟踪练习：
1．填空:
0.351，π+1，，, 3.14159, -5.2323332…, - ，1.234567891011…(由相继的正整数组成). 有理数有： ；
无理数有： ．
2．判断下列说法是否正确:
(1)有限小数是有理数； （ ）
(2)无限小数都是无理数； （ ）
(3)无理数都是无限小数； （ ）
(4)有理数是有限小数. （ ）
教师强调:
1．无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．任何一个有理数都可以化成分数形式，而无理数则不能．
例2 （1）设面积为10的正方形的边长为x，x是有理数吗？说说你的理由．
(2)估计x的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计．
（3）如果结果精确到百分位呢？
解：(1)由题意得 x2=10，
因为32=9，42=16，
而 32 <x2<42．
故3<x<4，所以x不是整数，没有一个分数的平方等于10，所以x不是分数．
因为x即不是整数也不是分数，故x不是有理数．
(2) 估计x≈3.2．
(3) x≈3.16．
设计意图：通过例1及练习的讲解，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类，培养学生总结归纳的能力.而例2属于数的估算.，进一步发展学生的思维判断能力.
实际效果：通过师生的共同探究，形成对中学阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.
四、课堂总结，盘点收获
教师：通过本节课的学习你有哪些收获呢？你还存在疑问吗？
学生：我的主要收获是认识了无理数，并且能把无理数与有理数区别开.有理数包括整数和分数，能够化成有限小数或者是无限循环小数,而无理数是无限不循环小数.
教师：还有要补充的吗？
学生：我还学会了π是无理数以及利用估算的方法探索无理数的范围.
教师：大家总结的很全面.以后我们还会学到很多关于无理数的知识,希望同学们继续努力.
设计意图：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成良好的学习习惯，提高学
生的归纳总结能力，进一步发展学生的思维判断能力。
实际效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系．
五、达标检测，矫正评价
1. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为25的正方形 B．面积为的正方形
C． 面积为8的正方形 D． 面积为1.44的正方形
2.面积为16的正方形的边长为________,它是______数，面积为7的正方形边长a的整数部分是______，它是一个______数.
3.如果x2 =3,则x精确到个位是______,精确到十分位是_______.
设计意图：通过提问、板书等过程，反馈学生本节课的掌握情况，并让学生互相批改、纠错，巩固知识，培养学生能力．
六、布置作业，落实目标
1．《数学助学》23页 2.1. 第二课时；
2．预习课本 2.2 平方根 第一课时．
板书设计：
2.1 认识无理数（二）
1．无理数的定义：无限不循环小数 4．例2
2．举例 5．练习
3．例 1

教学反思：
成功之处：通过上节课的学习，学生已经体会到无理数在现实生活中是大量存在的.本节课主要是借助于计算器循序渐进，逐步探究得到无理数的概念，让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识简单化.通过总结对比得到无理数是无限不循环小数，同时学生也体会到了无限接近的思想，发展了估算能力.本节课在教学中重在探索过程，形成师生、生生的互动，特别是教师以组织者、引导者、合作者的身份出现，发展学生的思维，调动了学生主动参与教学活动，从而理解无理数的本质特征——无限不循环小数．
不足之处及努力方向：有一些同学对概念的理解掌握的还不是很好，往往认为分数或小数是无理数，在以后的教学中不断的加以强调．在估算的教学过程中，学生基本上会估算，但涉及到精确值时还有不少学生出现错误，有待纠正强化.另外还要加强对学生动手操作能力、动脑学习数学的良好习惯的培养.