山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册 第二章《二次函数》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学第二章《二次函数》教案 北师大版
课 时
第二章 二次函数 回顾与思考（第一课时）
课 型
复习课
时 间

节 次
第二节
授 课 人

教学
目标
知识与技能：
1.系统复习二次函数的三种表达式，说明它们自身的优势．
2.通过观察二次函数图像， 进一步复习巩固相关性质，观察图像上的点坐标正确使用三式用待定系数法求其解析式．
3．通过观察二次函数及一次函数图像求有关方程的解及不等式的解集问题．
4.通过对二次函数图像的复习，提高了学生数形结合思想在二次函数问题中的应用能力，从而培养学生识图的能力以及分析问题解决问题的能力．
过程与方法：
1.通过训练学生观察二次函数图像，引导学生说出相关结论的过程中，使学生了解自己的知识能力水平，弥补缺漏，纠正错误，完善知识系统和思维系统，提高分析和解决问题能力．
2.通过观察抛物线与直线的交点，引导学生求出方程的解及不等式的解集与交点坐标的关系，使学生充分体会到数形结合思想的重要性．
情感 态度 价值观：
通过二次函数图像的复习，使学生体会到数学图形的对称美，数形结合思想的使用提高了学生识图能力及分析解决问题的能力，培养学生勤于思考，尊重科学的品质
重点
根据二次函数图象提供的信息复习相关性质及待定系数法求其解析式． 根据二次函数图象提供的信息解决方程的根及不等式的解集．
难点
1．根据二次函数图象提供的信息解决方程的根及不等式的解集．
2．识图能力及分析解决问题的能力．
教法、学法指导
启发式，讲练结合
课前
准备
多媒体课件

教学过程：
一、回顾、梳理本章内容
师：今天这节课我们对《二次函数》这一章进行复习，首先我们来看一下以下问题：
（课件出示：）
你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”？
你能用二次函数的值是解决哪些实际问题？
小结一下做二次函数图像的方法．
二次函数的图象有哪些性质？如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？
用具体例子说明如何恰当或有效地利用二次函数的表达式，表格和图像刻画变量之间的关系．
用自己的语言描述二次函数的图像与方程的根之间的关系．
师：这是课本上的“回顾与思考”给我们提出的问题，你能回答的出来吗？现在给同学们5分钟的时间同位之间互相考查一下，同时要注意指正同位的错误观点．现在开始．
学生开始活动．
师：同学们进行完了吗？
生：说完了．
师：下面我们对二次函数每一部分的内容进行具体的复习．
设计意图：使复习内容条理性地出现在学生面前，发挥老师的引导作用．
二、师生互动，深入复习
1、二次函数的定义
师：谁来说一下二次函数的定义？
生：一般地，形如的函数叫做x的二次函数．
师：说的非常完整，其中特别强调以下几点：
①a ≠ 0
②最高次数为2
③代数式一定是整式
同学们在判断一个函数是不是二次函数是一定要抓住这几点，下面请同学们快速的完成下面两道题目，一会我找同学来回答．
多媒体出示：
练习：1. ，， ，,其中是二次函数的有____个．
2.当m_______时,函数是二次函数？
学生完成练习.
师:第一题,谁来回答一下?
生:第一个和第3个是二次函数.第二个的代数式不是整式,第四个x的最高次数不是2次．
师：同学们赞同他的意见吗？
生：赞同．
师：谁再来说一下第二题怎么做？
生：∵该函数是二次函数
∴m+1≠0且 =2
解得：m1=2，m2=-1(舍去)
师：这位同学考虑的非常全面，就要这样去解．下面我们再来一起复习一下二次函数的图像及性质．
2、二次函数的图像及性质
多媒体出示下面的内容：

师：下面我找几位同学来填一下空格里的内容．
学生回答内容的同时，教师利用多媒体依次出示答案：
抛物线
(a>0)
(a<0)
顶点坐标

对称轴

位置
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
开口方向
a>0,开口向上
a<0,开口向下
位置
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
最值

师：同学们对这部分内容的基础知识掌握的不错，下面我们来利用这些知识解决下面几个问题．
多媒体出示：
例2：已知二次函数，
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标．
（2）设抛物线与y轴交于C点，与X轴交于A、B两点，求C，A,B的坐标．
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
师安排学生独立在练习本上完成该题目，并安排三位学生分别板书第（1）问，第（2）问，以及第（3）和第（4）问．
学生板书：
生1板书：解：（1）∵＞0
∴该抛物线的开口向上
×
∵
×
1
×
×

生2 板书：解：（2）当y=0时，0，解得x1=-3,x2=1
当x=0时，y=
所以，C（0，），A（-3,0），B（1,0）
生3板书：解：该抛物线的大致图像是：
(1,0)
所以，（3）x＜-1时，y随的增大而减少，x=-1时，y有最小值，这个最小是-2.
（4）-3＜x＜1时，y<0；x＞1或x＜-3时，y>0．
师组织学生对三位同学的板书进行讲评．
师：这道题目是给出抛物线的解析式来分析其他的性质，下面我们来总结一下确定抛物线的解析式的几种方法．
3、求抛物线解析式的三种方法
课件出示：
1．一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为 :（）．
2．顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为:（）,求出表达式后化为一般形式.
3．交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为:（）求出表达式后化为一般形式.
师一边提问、一边解释、一边课件出示答案．
师：正所谓“学以致用”，我们也不能只是纸上谈兵，同学们在练习本上做一做以下题目，实践一下．
课件出示：
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式．
(1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 ．
师安排三位学生到黑板上板书．
生1板书：解：设该抛物线的解析式为（），由题意可知：
0=c
-2=a+b+c
3=4a+2b+c
a=
解得： b=-
c=0
∴y=x2-x
生2板书：解：设该抛物线的解析式为，由题意可知：
1=a(3-2)2+3
解得 a=-2
∴ y=-2(x-2)2+3
生3板书：解：设该抛物线的解析式为，即，由题意可知：
=3
解得a=-
∴设该抛物线的解析式为y=-x2+x
师：现在我们一起来看看这几位同学做的对不对．
生：都正确．
师：特别是第三题，这一题和其他两道题目的解法有所不同，为了利用“最高点的纵坐标是3”这个条件，这位同学是先设出解析式，然后用公式表示出最大值并令其等于3，从而解出a的值．这种方法用的非常灵活，同学们还有没有其他的做法？
生：我是看题目说“图象经过(0，0)， (12，0) ，”那么该抛物线的对称轴就是直线x=6,那么它的顶点坐标是（6,3），我再设定点式进行求解．
师：这种做法更直接，同学们也已根据条件进行灵活的选用．
4、a，b，c符号的确定
师：下面我们来看一下抛物线（）的a，b，c符号有关的问题.
以提问后课件出示答案的形式引导学生复习一下内容：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上←→a>0
开口向下←→a<0
（2）c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方←→c>0
交点在x轴下方←→c<0
经过坐标原点←→c=0
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧←→a、b同号
对称轴在y轴右侧←→a、b异号
对称轴是y轴 ←→b=0
（4）的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点←→>0
与x轴有一个交点←→=0
与x轴无交点←→<0
师：特别要注意的是这些关系的推导都是相互的．下面我们再来实战一下．
课件出示题目：
１、二次函数 (a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数 (a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数 (a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0

4.二次函数中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限．
师：同学们做完了吗？谁来说一下你的答案和想法．
生1：第一题选B．因为该抛物线开口向下，所以a <0；其对称轴在y轴的右侧，所以a、b异号，即b>0；又因为它与y轴交与负半轴上，所以c<0．
生2：第二题选A．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴在y轴的左侧，所以a、b同号，即b>0；又因为它与坐标轴轴交原点上，所以c=0．
生3：第三题选C．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴是y轴， b=0；又因为它与坐标轴轴交负半轴上，所以c＜0；它与x轴有两个交点，所以△<0．
生4：根据已知条件画出它的大致图像可以看出，这个二次函数图象的顶点必在第四象限．
师：这一位同学的解题思路体现的正是数形结合思想．
5、抛物线的平移
师：接下来我们再来复习一下有关“抛物线的平移”的问题．谁来说一下该类题目的解题思路．
生：有关抛物线的平移问题，必须将抛物线的解析式写成顶点式，然后遵循“左加右减，上加下减”的原则，而且左右平移变化的是二次项，上下平移变化的是常数项．
师：概括的非常好．下面我们就来实践一下：
课件出示：
（1）二次函数的图象向 平移 个单位可得到-3的图象；
二次函数的图象向 平移 个单位可得到的图象．
（2）二次函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数的图象．
（3）由二次函数的图象经过如何平移可以得到函数的图象.
师：同学们做完了没有？谁来说一下？
生1：二次函数的图象向下平移3个单位可得到-3的图象；二次函数的图象向右平移3个单位可得到的图象．
生2：二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数的图象．
生3：化成顶点式是，可以看出它是由先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的．
师：这一类的题目还有两种变式考查，其一是给出平移后的解析式，求原来的解析式；其二是图像不变，移动坐标系，同学们思考一下这两类题目应该怎样解决？
生：我认为这两类题目的解法是一样的，就是“倒过来”．
师：精辟！就是这样的，比如“二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数的图象，求原来的解析式”，那就将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位就行了，得到的答案是……
生：
6、二次函数与一元二次方程的关系
师：最后还有一个重头戏，那就是二次函数与一元二次方程的关系．同学们来看这个表格大家能把他填写完整吗？
生回答表格里所需填写的内容，老师利用课件出示答案：
判别式
二次函数（）

图像
一元二次方程（）的根
＞0
与x轴有两个不同的交点
（，0）
（，0）

x
y
O

有两个不同的解，

=0
与x轴有唯一个
交点(,0)

x
y
O

有两个相等的解=
=

＜0
与x轴没有交点

xx
y
0

没有实数根

师：二次函数的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程的解．我们再来看一下下面各题，同学们现在练习本上作答，一会儿找同学来说．
课件出示：
(1)如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则m= ,此时抛物线与x轴有 个交点.
(2)已知抛物线的顶点在 x轴上,则c= .
(3)一元二次方程 的两个根是，那么二次函数与x轴的交点坐标是 ．
学生独立练习．
师：谁来回答一下？
生1：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时抛物线与x轴有1个交点.
生2：已知抛物线的顶点在 x轴上，就说明改抛物线与x轴只有一个交点，所以，解得c=16.
生3：一元二次方程的解，就是对应的二次函数的图象和x轴交点的横坐标，所以二次函数与x轴的交点坐标是 （-2,0），（，0）．
师：二次函数有关的知识点特别的多，但没想到的是同学们掌握的这么扎实，下面我们来做一道综合性的题目，同学们有没有信心？
生：有．
7、二次函数的综合运用
师：好，那同学们来尝试一下吧！
课件出示：已知抛物线与抛物线的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
学生在练习本上尝试解答．
师：同学们做完了没有？都得到了几个答案？
生1：1个．
生2：2个．
生3：4个．
师：那我们请得到4个答案的同学到黑板前来讲一下．同学们欢迎！
生：我是这样想的已知抛物线与抛物线的形状相同,说明这两个抛物线的a值得绝对值是一样的，所以．又因为顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,所以顶点为(1,5)或(1,-5)，组合起来，抛物线的解析式有以下四种情况：，，，．
师：考虑的已经非常全面了，其他同学还有什么需要补充的吗？
生：最后得到的解析式是不是需要化成一般形式？
师：这个问题提的非常有必要，在一般情况下我们不管是用什么形式求解的抛物线的解析式，最后都要化成一般形式．
设计意图：结合具体的例子回顾本章的内容，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升．
三、课堂小结．
师：复习到这儿，同学们能不能把本章的知识网络结构简单的呈现一下．
小组讨论并拿出自己的作品．
师利用实物投影仪投出学生的作品：
其中的两份作品：
二次函数
定义及其表示方法
图像
三种表达方式
表格法
图像法
解析式法
一般形式：
顶点式：
交点式：
y=ax2+bx+c的图像性质
最值问题
与一元二次方程的关系
（1）

（2）

二次函数
二次函数定义
二次函数的三种表达方法

二次函数的图像

用二次函数解决实际问题
一元二次方程与二次函数的关系
，
，
，
对称轴和顶点坐标

师：同学们对本章的知识点概括的很全面，下面我们再来实践一下吧．
设计意图：通过规范的语言，归纳新知识的框架，回顾本章学习的主要内容．
四、巩固练习
(一)课件演示题组一：
1．在同一个直角坐标系中作出二次函数
，，
的图象，并简要说明它们之间的关系．
设计意图：概念题组；这组题目是在学习概念、性质的基础上，知识的重现及知识的应用，通过学习讨论得以充分巩固．
2．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落在篮框内，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少?
设计意图：考查学生用二次函数解决简单的实际问题，并能灵活应用题中自变量和因变量各自的不同含义有效地解决实际问。加强学生运用二次函数的图象特征和性质，解决一些简单的实际问题，培养学生有条理的思考和表达能力。
(二)课件演示题组二：
3．农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息．
答题要求：
(1)请提供四种信息；
(2)不必求函数的关系式．
设计意图：这一环节便于学生掌握二次函数的图象分布问题，又可以使学生真正体会函数的因变量和自变量之间的关系．
五、布置作业
A类：课本79页《复习题》第1题、第10题；
B类：课本83页《复习题》第18题；
C类：课本84页《复习题》第21题．
六、板书设计
第二章 二次函数
二次函数
二次函数定义
二次函数的三种表达方法

二次函数的图像

用二次函数解决实际问题
一元二次方程与二次函数的关系
，
，
，
对称轴和顶点坐标

七、教后记：
成功之处：
本节课运用二次函数图像，系统复习其相关性质，总结出用数形结合思想解题的一般思路，强化图像的直观性，通过师生共同实践，教学效果非常好．
在教学方法上启发恰当到位，使学生的思维围绕教师的教学思路，充分体现了以教师为主导、以学生为主体的教学理念，整堂课学生积极思考，广泛参与，思维活跃，学生的自主性得到了发挥．学生回答问题到位，师生配合默契，关系融洽效果很好，反映出学生训练有素 ．恰当的使用了多媒体辅助教学手段，板书简捷清晰．
教师在整个教学过程中注重对学生情感的培养，及时激励评价，培养学生的自信心，教态自然亲切．
2、不足之处
在给学生打一份学案就更好了，可以节省一些课堂有效时间，充分总结．
3、再设计
我会为学生设计学案，加快课堂进度．