九年级数学下册 3.4.1 圆周角和圆心角的关系教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

课题：3．4．1圆周角和圆心角的关系
教学目标：
1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理． 会熟练运用定理解决问题．
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力．
3．在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的能力．
教学重难点：
重点：圆周角定理及其应用．
难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
教学过程:
一、创设情境，导入新课
活动内容：
1．圆心角的定义?(顶点在圆心的角叫圆心角)
2．圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?
如图：∠AOB　　的度数．
3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
处理方式：找三名学生直接回答．题 1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；题2和题3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 再特别向学生强调定理当中的前提条件“同圆或等圆”， 同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等．
设计意图：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系．为本节课的学习做准备．

二、合作学习，探究尝试
活动内容1：
问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?

圆心角 圆周角
处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
设计意图：本环节的设置，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义．问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实是点和圆的位置关系知识点的应用，老师在此应注意知识之间的联系，达到触类旁通的目的．
活动内容2： 练习巩固
如图，指出图中的圆心角和圆周角．
解：圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC
圆周角有∠BAC 、∠ABC、∠ACB
处理方式：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因为半径AO没有延长，所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．
设计意图：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的．
活动内容3：
问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC．这三个角的大小有什么关系?
教师提示：类比圆心角探知圆周角：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等．在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系．
设计意图：利用球员射门学生熟悉的问题引出一条弧所对的圆周角和圆心角之间有一定的关系．
做一做：
如图,∠AOB=80°，（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？
教师提示:（1）思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?

（3）议一议:改变圆心角∠A0B的度数，上述结论还成立吗？
（4）你是如何证明圆周角定理？
处理方式：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题，然后通过类比得出探究圆周角定理的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律．规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理． 问题（1）有三种情况：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外．问题（2） 学生在①操作的基础上猜测得出∠AOB=2∠AC B，猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．接着教师引导学生结合图形用符号语言表示．符号语言： ．问题（4 ）引导学生写出已知求证
已知：如图，∠ACB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角，
求证：．
分析：①．首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系． 让学生到黑板板演．
∵∠AOB是△ACO的外角
∴∠AOB=∠C+∠A
∵OA=OC
∴∠A=∠C
∴∠AOB=2∠C，．
当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部或外部时，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样? 能否转化为①的情况? 学生先独立思考，在此基础上再指导学生进行合作交流．时机成熟后找两名同学上黑板板演，师生共同纠错．
②．当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时，圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
过点C作直径CD．由①可得：
。
∴，
。
③当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
过点C作直径CD．由①可得：，
。
设计意图：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用。本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意逐一渗透．在（一）中注意渗透类比思想，在（二）中注意渗透“分类讨论”思想， “特殊到一般”思想， 让学生进一步体会“猜想，试验，证明”的探究问题一般步骤．

活动内容4：
问题回顾：当球员在B，D，E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系?
处理方式：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理．
理由：连接AO、CO,

∴．
由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等．
设计意图：这里要注意引导学生学以致用，通过作辅助线添加圆心角，把问题转化到定理的直接应用上．还要注意引导学生对得出的结论加以总结，从而得出新的定理．
三、学以致用，巩固提高（投影出示练习题）
1．如图，哪个角与∠BAC相等，你还能找到那些相等的角？
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
3．为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性。
4．船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
第2题图

第1题 第4题
处理方式：先让学生独立完成，教师做巡视，了解学情，然后师生共同校对答案、纠错．通过一组习题来加深学生对圆周角及其定理的理解，提高运用所学知识解决问题的能力．
设计意图：进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力．
四、系统小结，深化目标
活动内容：教师提出问题：通过本节课的学习学到了哪些知识；掌握了哪些数学方法；体会到了哪些数学思想；还有哪些发现与猜想？谈一谈本节课的学习收获吧．
处理方式：学生畅谈自己的收获，教师鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高并作适当评价．只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言． 这节课主要学习了两个知识点：
1．圆周角定义．
2．圆周角定理及其定理应用．
方法：主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法．
设计意图：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结．
五、当堂达标检测（投影出示达标检测题）
1．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A、20° B、40° C、50° D、80°
2．如图，在⊙O中，∠AOB＝50º，则∠ACB＝ º．
　第4题图

3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝ 度．
4．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小
处理方式：学生独立完成后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过当堂达标检测，巩固学生所学知识，使学生将刚刚理解的知识加以应用，并在应用过程中加深理解；使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，又起到查漏补缺的目的．
六、布置作业
必做题：课本习题3.4 第2题。
选做题：课本习题3.4 第4题．
板书设计：
3.4 圆周角和圆心角的关系(1)
一、圆周角的概念
二、圆周角定理

三、圆周角定理推论：

学生板演
投影区域