山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 8.1 轴对称与中心对称复习教案 北师大版.doc

8.1轴对称与中心对称复习教案
复习目标：
1．会通过具体实例识别轴对称图形和中心对称图形．
2．理解轴对称和中心对称的性质．
3．灵活运用轴对称和中心对称的性质进行相关计算或推理．
教学重点与难点：
重点: 轴对称图形、中心对称图形的特点.
难点:利用图形的对称性解决图形的拆叠、旋转等应用.
教法与学法指导：
结合我校九年级学生的“思维水平偏低，思维节奏偏慢”的特点，采用“小步子、低起点、慢节奏”的教学方式，以暴露思维过程、总结题型解法、发展学生思维能力为目标，教学中引导学生学习主要采用以下方法：探索法—让学生在自主学习的活动过程中，积累解决数学问题的经验；讨论法—在学生进行了自主探索之后，让他们进行充分合作交流，在交流中互相促进、共同学习、共同提高；练习法—精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平.
教学准备：
教师准备：设计导学案、制作多媒体课件.
学生准备：完成导学案“知识梳理”部分及“自主训练”部分.
教学过程：
一、创设情境，导入问题
【师】（播放幻灯片-----“生活中的对称图形”.）
【生】（观看幻灯片，感受生活处处存在对称，欣赏对称美.）

【师】同学们，你们看到以上的图片有什么共同特征？
【生】对称.
【师】是的，在我们的生活中处处存在对称，如工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字、建筑、舞台……的设计，它们都体现了对称的美.数学图形的世界也存在很多对称图形，这样的图形有哪些性质？如何应用这些性质解决数学问题？本节课我们再次走进“图形的变换”，了解“轴对称与中心对称”.（教师板书课题----轴对称与中心对称）
设计意图：本节试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字……为材料，判断是否是轴对称图形或中心对称图形，所以先让学生从浏览图片开始，感受生活中的对称，激发学生的学习热情.
处理方式：教师提前做好配乐幻灯片，学生欣赏.
实际效果：学生能够尽快投入到图片的欣赏过程中，特别是“千手观音”的舞台效果让学生感叹对称的美.
二、知识梳理，构建网络
知识梳理：（导学案上展示）
1.轴对称与轴对称图形
（1）轴对称：把一个图形沿______________对折，如果它能够与另一个图形_______，那么这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫做 .
（2）轴对称图形：如果一个图形沿_____________折叠后，__________________________
能够互相重合，这样的图形称为轴对称图形，这条直线叫做_________.
（3）轴对称的性质：①关于两条直线对称的两个图形__________；②对应点连线被对称轴______________；③对应线段或对应线段的延长线（若相交）的交点在___________ 上.
2.中心对称与中心对称图形
（1）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图
形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．
（2）中心对称图形：一个图形绕着某一个点旋转 °后能够与原来的图形 ，
那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．
（3）中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．
3.常见的轴对称图形、中心对称图形
在下面这几个图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦等腰梯形；⑧正五边形；⑨正十边形；⑩圆.轴对称图形有_______________,中心对称图形有_______________.
（答案：1. （1）一条直线，重合，对称轴. （2）一条直线,直线两旁的部分，对称轴.（3）全等，垂直平分，对称轴. 2. （1）180，互相重合，成中心对称，对称中心. （2）180，完全重合，中心对称，对称中心.（3）对称中心，平分. 3. ①②④⑤⑥⑦⑧⑨⑩，③④⑤⑥⑨⑩.）
【师】请同学们结合课前的知识梳理及基础题组训练先明确本课的考试要求，并能和我一起构建本节知识网络.（多媒体展示考试要求及知识网络图）
考试要求：
1．会通过具体实例识别轴对称图形和中心对称图形．
2．理解轴对称和中心对称的性质．
3．灵活运用轴对称和中心对称的性质进行相关计算或推理．
知识网络：
平
移
旋
转
翻
折
旋转中心
旋转角a
a=180°
对应点
对应线段
对应角
中心
对称
对称轴
轴对
称
图 形 的 变 换
轴对
称图形
中心对称
图形

设计意图：考试要求是中考复习的航标，学生有了明确的目标才能更好的进入复习状态.学生对轴对称图形和中心对称图形的判别较熟悉，但对其性质的应用不是很熟练，因此，课前让学生先对有关知识点进行梳理，利于学生进入下一步的问题解决.
处理方式：学生阅读考试要求，依据学生课前对知识点的梳理，和教师共同整理知识网络图,教师多媒体展示.
实际效果：学生对基本定义理解较好，能够举例常见的轴对称图形及中心对称图形，但对轴对称和中心对称的性质基本忘记了.
三、自主训练，回顾基础
【师】（多媒体出示基础题组）请同学们结合知识梳理和考试要求对课前基础题组的完成进行展示.
1．（2012，深圳）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

2.（2012，达州）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是( )

④

③

①

②

3.（2012，丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
A
B
C
D
E
F
4.（2012，武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则AB的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5.(2012，德州)在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．(只要填写一种情况)
6. ( 2012，巴中“变式题”)(1)如图①,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方
形方格纸中有△OAB,请画出与△OAB关于点B成中心对称的图形△BA′O′.
(2)折纸:有一张矩形纸片如图②,要将点D沿某直线翻折1800,恰好落在BC边上的D′处,请在图中作出该直线.

【生】（分别展示各题目的思考过程及依据.）
【生1】第1题考查轴对称与中心对称的定义.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分可以互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.如果一个图形绕一点旋转以
后能与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据以上定义，选择A.
【师】本题考查轴对称图形、中心对称图形的识别，考察了对图形的初步的观察、分析能力.要特别注意题目要求，同时满足两个定义的特征，否则，容易出错.
【生2】第2题与第1题一样，判断A是轴对称图形，B、C、D既是轴对称图形又是中心对称图形.选择A.
【生3】第3题根据中心对称图形的概念：一个图形绕某点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形可知，该小正方形的序号是②. 选择B.
【师】本题考查中心对称图形的含义，要注意与轴对称图形相区别.
【生4】第4题由折叠可知EF=AE=5，BF=3，又因为∠B=90°，根据勾股定理得BE=4，AB=5+4=9，选择C.
【师】本题在于考查轴对称在折叠变换以及勾股定理的应用，折叠变换中要弄清相等的线段和相等的角，勾股定理要抓住公式a2+b2=c2,以及公式的几个变形．
【生5】第5题因为AB=CD，可以加AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形，为中心对称图形．
【生6】也可加AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，是中心对称图形．
【师】因为平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，所以添加条件后能成为这几种图形就可以，答案不唯一．
【生7】（实物投影展示第6题作图①）根据中心对称的性质，对应点所连线段被对称中心平分，所以延长AB到A′，使BA′= BA；延长OB到O′，使BO′= BO；连接A′O′，则△BA′O′与△OAB关于B成中心对称.
【生8】（实物投影展示第6题作图②）根据轴对称的性质，对应点所连线段被对称轴
垂直平分，所以连接DD′，作线段DD′的垂直平分线EF,直线EF就是所求直线.

【师】掌握轴对称及中心对称的性质是准确作图的重要依据.
设计意图：基础题组的训练主要是让学生在课前梳理知识后，有效的进行应用，初步回顾轴对称和中心对称有关的知识，并能够在解决问题的过程中发现自己存在的问题，以更好的发挥小组的合作交流作用，提高课堂效率.第1、2、3、5题重点考查轴对称图形及中心对称图形的概念，第4、6题重点考查轴对称及中心对称性质在计算和操作问题中的应用，这类题是中考的常见题型.
处理方式：让学生在课前完成此题组，解决问题的同时明确本节知识点的考查方式和类型，并能对知识点的考查准确进行表达和展示，提高学生自主学习能力.
实际效果：此题组为基础题组，学生完成的较顺利，正确率较高.其中，操作题的规范性不够.
四、典型例题，提升能力
【师】（多媒体出示典型例题）
（一）动手操作问题
例1 （2012，遵义） 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

【生】（2分钟时间，选择合适的方法确定答案.）
【生1】我选择将一张正方形纸片按照题目要求动手撕图，展开后选择C.
【师】我发现大多数同学都是选择这种方法解决问题，如果你的身边没有纸片可使用，我们应该如何解决此类问题呢？本题实际上考查的知识点是什么？
【生】（1分钟时间讨论交流，说出自己的作法.）
【生2】（实物投影展示）本题的实质是考查如何作轴对称图形.根据题意，我们可以先作图③关于直线AB的对称图形，再作此图关于直线CD的对称图形，即选择答案C.

【师】解决此类问题时，同学们应学会结合空间思维，解析折叠的过程及剪纸的位置，作出对称图形，还要注意图形的对称性，从而易知展开的形状．
跟踪训练1：
（2012，山西）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．
设计意图：本题主要考查了学生的立体思维能力，即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
处理方式：给学生充分的时间，让学生通过动手操作解决问题，提高学生的操作能力.
实际效果：学生在平时解决此类问题时，动手剪纸的较多，这样做不利于学生空间转化能力的培养，教师揭示本题考查知识点的实质后，学生有种茅塞顿开的感觉.
（二）图形折叠问题
例2 如图，已知折叠矩形的一边AD，使得点D落在BC边上的点F处，且AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
【生】（2分钟时间思考并书写解题过程）
【生】（实物投影解题过程）
解：由折叠性质知，
AF=AD=10cm，EF=DE．
设EC=xcm，则DE=（8-x）cm．
在Rt△ABF中，BF==6，
∴FC=BC-BF=10-6=4cm．
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，
∴（8-x）2=x2+42，
∴x=3．
即EC的长为3cm．
【师】解决此类问题时，应注意： ①折叠问题中的对称性，即对应边（角）的相等性； ②求这类问题中的未知线段长，常设所求线段长为x，把其他线段用含x的代数式表示，选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程的思想求解．
跟踪训练2：
1. （2012，达州）将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，则AB的长为 .
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC对折，点D落在D′处，求：（1）线段CF的长；
（2）△AFC的面积．

设计意图： 折叠型问题是中考的热点问题，解决折叠问题的依据实质就是轴对称的性质，即成轴对称的图形全等.在此应让学生明确这一依据，养成“步步有据”的思考习惯，同时要了解此类题常结合勾股定理考查.
处理方式：例2的题型属于常见题型，学生完全能够自主解决，教师只需规范解题过程，在例2之后进行练习，进一步明确解决此类题的常用方法，能够做到举一反三、触类旁通.
实际效果:有了例题的指导，学生能够顺利的解决此类题.
【答案：1. ；2.（1）CF=5，（2）S△AFC=10. 】
（三） 最短距离问题
例3 （2012，青岛）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．
【生】（2分钟时间读题，并思考、交流.）

【师】（引导学生分析）蚂蚁要想到达蜂蜜，它需要走的路线是怎样的？
【生1】蚂蚁先从杯外壁的点A处到杯口，再到杯内的点C处.
【师】若求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，结合图形，转化为数学问题即求什么？
【生2】假设蚂蚁先到杯口的点P处，即求线段AP+CP的最小值.
【师】理解很到位，如何确定此时点P的位置，并计算AP+CP的最小值？
【生3】（实物投影画图展示）先将圆柱形展开，由于点A、C都在MN的同侧，所以，作点A关于MN的对称点B,连接BC,交MN于点P，此时，BC的长就是线段AP+CP的最小值.
【师】很好，请同学们根据这位同学的分析思路进行计算.
【生】（1分钟时间理解并计算.）
【生4】（实物投影展示）根据题意，得BD=12，DC=9，根据勾股定理，得BC=15，所以，蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.
【师】解决“最短距离”问题，往往要先确定是否在同一平面内，如果是立体图形，先将它展开后，再通过作对称点的方法，利用“两点之间线段最短”解决,这类题通常会结合勾股定理进行考查.
C
A
B
E
D
图①
跟踪训练3：
如图①所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A,B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值.
设计意图：两点间的最短距离问题是利用轴对称作图题目的一类代表性问题，也是学生感到比较难理解的问题，例3是一道综合性较强的问题，它综合了圆柱展开图、对称点的作法、勾股定理进行考查.通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措，同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力.
处理方式：此类题是难点内容，学生独立解决此题的能力欠缺，因此，先让学生利用2分钟时间交流、讨论，产生困惑后，教师再引导学生分析例3的思考过程，有了思考上的困惑，才能有求知的欲望.例题之后，学生能够积极投入到跟踪训练的解决过程.
实际效果：例3的综合性较强，学生独立解决例3有些困难，
答案：解：存在，如图②所示，作点D关于AB的对称点F，连接CF，交AB于点E，此时DE+CE的值最小.
连接BF，∵AC=BC, ∠ABC=90°，∴∠CBA=45°.
设DF交AB于G，因为点D，F关于AB对称，
∴BD=BF,DG=FG,
又∵BG=BG, ∴Rt△BGD≌Rt△BGF.
∴∠FBG=45°, BD=BF=BC=1，∠CBF=∠FBG +∠CBA=45°+45°=90°.
∴在Rt△CBF中，CF===,
∴DE+CE的最小值是.
五、归纳总结，形成系统
【师】祝贺同学们顺利完成本节课的复习，你能说一说本课有哪些收获吗？
【生】（从知识点的考查、考题形式、解题方法和技巧上分别进行总结.）
设计意图：复习课不同于新课，中考复习课的主要内容是以往年中考题为背景，引导学生自主复习、总结，善于与老师、同学进行交流，在交流的过程中，对题型进行归纳，总结解题技巧及方法，提升学生的各种学习能力.
处理方式：学生自主归纳，同学间互相补充，并对习题进行反思.
实际效果：基本能够对与本课有关的题型进行归纳、总结，解题的方法与技巧总结还不到位,需要教师进行完善.
六、达标检测，自我评价
1.（2012，青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.

2.（2012，南州）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均与x轴垂直，以O为顶点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的C，E和D，F，则图中阴影部分的面积是_______．

4.如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（　　）

5.（2012，陕西 ）如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为 ．
6.（2012，滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

设计意图：针对课堂的基础训练与典型例题，出示一组达标训练，让学生独立在课上完成，从自测的过程中进行自我评价，利于课下进行查缺补漏.
处理方式：要求学生在10分钟内完成，生生互批.
实际效果：习题的难度适中，课堂时间较紧张，学生不能顺利完成.
答案：1. C；2.B；3.；4. C；
5. 设这一束光与轴交与点，作点关于轴的对称点，过作轴于点．由反射的性质，知这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知．则．由题意得，，由勾股定理，得．所以．

6.解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得，解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0，所以解析式为y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB===4，
因此OM+AM最小值为．
七、布置作业，巩固深化
必做题：复习指导丛书 141页-144页 第1、2、3、4、5、6、7、10、11、13题 ．
选做题：复习指导丛书 142页-144页 第8、12、14题．
预习： 复习指导丛书 第八讲 考点二 平移与旋转 第144页—第146页“巩固训练”以上部分．

板书设计：
第八讲 考点1 轴对称和中心对称
一、动手操作问题：
例1

二、图形折叠问题：
例2

三、距离最短问题：
例3

投
影
区

学生板演处

教学反思：
相对七、八年级的学生来说，第二轮复习阶段的九年级学生已经有了较为扎实的“双基”，思维能力也有了很大程度的提升，数学思想方法的应用也有一定的体验.但对较复杂的综合性问题，尤其压轴题仍然不能深入独立思考直至完美求解，有心理的畏惧、能力的不足和思维方法的缺乏.为解决以上问题，本节课的教学努力做到关注以下几“点”：
1.知识点：教师必须“串联”、适度延伸本节考查的相关知识点，并使学生明确、回顾、熟悉.达到以点带面复习的目的.
2.切入点：以基础训练的题组展示为本课的切入点，学生展示的核心是暴露思维过程，
达到以题带知识的复习目的.
3.生长点：例题的设计适合中等以及中等偏上水平的学生.例题思维过程要把握解题的重点，防止均等用力；如何突破难点就是如何分解学生思维的难点，分解难点就必须巧设问，降低思维的起点，形成思维的梯度，引导学生思维，引导学生全员参与.同时教学中坚持用分析法、综合法分析问题，力求教给学生分析问题的思维方法.
4.落脚点：回归主题，提炼解题方法和数学思想.一节课包含的任务不能贪多，当拓展到一定程度必须回归本节课的具体、主要任务，并通过训练让学生模仿至独立完成.