八年级数学勾股定理教案(1)苏科版.doc

勾股定理(1)
一、引入探究
师：请同学们在方格纸上三角形ABC外，画一个以AC为一边的正方形，画一个以BC为边的正方形；再求出这两个正方形的面积。（如图1--1）
一名学生上黑板画图，教师巡视、指导。学生画好后
图1--2
E
D
F
图1--1
图2--1
G
师：怎样画以AB为边的正方形呢？（学生思考，部分学生窃窃私语）试一试！
师：哪位同学愿意上来画？（少数同学欲举手，但还犹豫）
师：请×××上黑板画一下；
教师巡视中发现：许多同学画“以AB为边的正方形”时，正方形的另外两个顶点不是格点，使求面积发生困难。
师：请同学们思考：以AB为边的正方形的另两个顶点是不是格点？为什么？
如图1--2，作△ADE≌△BCA，则AE＝AB，AE⊥AB，同样可作△EGF≌△ADE，得到EF＝AE，EF⊥AE，连结BE，四边形AEFB就是以AB为边的正方形，所以，它另外两个顶点E、F一定是格点．
学生遇到困难，教师及时点拔、指导，这是学生自主学习过程中不可忽缺的，也是学生自主探究活动取得实效，教师应做的工作。
师：如图2--1，P、Q是两格点，你能快速画出以PQ为一边的正方形吗？试一试！请×××上黑板画．
教师巡视，指导有困难的学生画图
师：请同学们思考：怎样求出图1中，以AB为一边的正方形的面积？
由于不知道边长，学生“冷场”
师：请每组前后两桌四位同学为一小组讨论，然后我们一起交流！
课堂气氛活跃、热烈起来。约一分钟后有学生举手，教师和他进行了个别交流，随后举手的同学又有一些。
师：请同学们来交流思路与方法。
生甲：我用割补法。
师：请把你的方法用图展示一下。
生甲走上讲台，教师用展示平台投影出该生的示意图（如图3）。
师：实际上，该同学是用横、竖网格线将正方形分割成四个直角三角形加中间一个小正方形（如图3），非常漂亮。
学生赞叹
生乙：我用补形法，在正方形各边上补一个直角三角形在形外，变成一个大的正方形。
图2--2
图4
图3
师：请把你的方法用图展示一下。
生乙走上讲台，教师用展示平台投影出该生的示意图（如图4）
师：实际上，该同学是用横、竖网格线（过原正方形的顶点）将正方形补成一个大正方形（如图4），原正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积的差。非常漂亮！结果是多少？
生丙：等于25
师：图2--2中，以PQ为一边的正方形的面积等于多少？
生：等于4××4×2＋22＝20
师：图1中，三个正方形的面积有什么关系？
二、定理探索

图5
师：请同学们在图5中，考察各直角三角形周围的三个正方形的面积之间的关系。
学生独立操作，教师巡视．
师：同桌的同学相互讨论一下，（约半分钟后）谁来讲一讲考察结果？（有许多同学举手）请×××同学……
生甲：大正方形减小正方形等于第三个正方形
生乙：两个小正方形相加等于大正方形
生丙：两个小正方形面积相加等于大正方形面积
……
师：同学们都发现了其中的关系，×××讲得最好；由此你能说出这些直角三角形三边之间的关系吗？
生甲：两边平方和等于第三边的平方
生乙：两直角边的平方和等于斜边的平方
师：你真棒！这就是在数学史上具有里程碑意义、非常著名的勾股定理（板书课题），即：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（投影）但这仅仅是在几个直角三角形（有具体数值）中发现的，在任意一个直角三角形（斜边为c、两直角边为a、b）中是否仍成立（a2＋b2＝c2）呢？（投影）
师；……（简介勾股定理的历史及我国古代数学家对勾股定理的贡献）
师：请同学们用课前准备好的四个全等的直角三角形在桌面上拼图，围成一个正方形可以吗？
教师巡视
师：比一比，谁的图形漂亮？
教师继续巡视
师：谁愿把自己拼（围）得到的优美图案与大家共享？
同学们纷纷举手．
师：同学们自由上台展示（可一起上台）
教师拿出课前准备的“双面胶”供学生在黑板上粘贴。
图6
图7

师：如图6、图7的图案真漂亮，图7还是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽呢！请同学们计算一下图6的大正方形面积．
学生思考、演算
生甲：面积为c2＋2ab
师：介绍一下算法．
生甲：中间小正方形的面积为c2，再加四个直角三角形的面积就行了．
师：还有什么不同方法呢？
生乙：大正方形的边长就是a＋b，所以大正方形的面积就等于（a＋b）2
师：很好！两位同学的结果，形式不一样．但同一图形的面积值是相等的．由此你可得出什么结果？
生甲：c2＋2ab＝（a＋b）2
师：能简化吗？
生甲：能，结果是c2＝a2＋b2
同学：哇！就是勾股定理哎．
学生的脸上流露出欣喜、愉悦的表情．这就是成就感！是教师课堂教学的最大成功．
师：刚才我们通过图5的面积计算，验证了勾股定理；能否在图7中，通过面积计算，验证勾股定理？
……
图7中，大正方形的面积＝c2或4（ab）＋（a－b）2．步骤类似于图5中的验证过程．
师：至此，我们已用两种方法证明了勾股定理，从勾股定理的发现到今，已有了400多种证明方法，同学们课后有兴趣可查阅有关资料．

三、应用举例、练习（略）
注：本方案后面的定理应用举例、练习都没能进行，下课了！

谈课堂教学中学生活动的实效性
本案例-----勾股定理的探索研究，是许多公开课、大型教研活动中，选取的课题．传统的教学设计，都是用四个全等的直角三角形拼图、求面积、归纳、抽象获得结论，这种活动是很有效的，学生动手制作全等直角三角形、拼图，观察、思考、计算图形面积（且用了两种方法），调动了学生的各种感觉器官，学生兴趣高涨，记忆深刻。
苏科版课程标准本，八年级数学（上册）中，设计了“在网格上探求以直角三角形的各边为边长的三个正方形面积之间关系”的情境，让学生充分经历了定理的产生过程，试图充分呈现知识发生、发展的过程，理念非常新，一改勾股定理教学的传统面孔，使人耳目一新．通过教学实践，我认为几个问题要处理好：
1、画图费时、费力．如案例图1--1中画以AB为边的正方形，有难度，说明另两顶点是格点，是本方案取得实效的关键；否则，怎么获得准确面积值？近似的画图、度量、计算、猜想，怎么培养学生严谨的数学思维？数学上总不能“像什么就是什么”吧，少了“为什么”的思考就不是数学了。不经大脑理性思考的猜想是瞎想，不经大脑理性思考的发言是信口开河，而这往往在许多公开课上都受到上课教师的表扬，这是曲解了课堂人文关怀的意义，在一定程度上强化了学生好大喜功的表现欲，致使现在一些学生内心浮躁，思维缺乏深度，这也是为什么有些公开课场面漂亮、气氛热烈，课后作业却不会做的原因所在。所以选用这种方案就一定要舍得在画图方法及道理上花时间，讲清楚（包括后面用割、补法求正方形的面积）．教师要讲解画法及道理，涉及到正方形的判定，但正方形的判定还没有学过，妥当否？我认为只要讲清两边为什么垂直且相等就行，事实上，学生有对正方形感性认识的基础，是不难理解的。
2、这种方案如此费时费力，意义何在？我也困惑，直接用四个全等的直角三角形拼图、求面积、归纳、抽象获得结论．是否可行？我想按新课程理念，在活动中获取知识（做中学）是对的，在培养学生的探究能力、和自主学习的习惯上是有效的，判断课堂活动的合理性和必要性，应以学生是否获得“实效”为标准，这里的“实效”应包括：活动情境催化了新知识的产生，通过活动促进了新知识的发展，活动启迪了学生的思维，活动为教学难点突破搭建了台阶，活动丰富了学生数学（思维）内涵和素养．苏科版的这种方案从具体个例的研究，通过不完全归纳获得猜想，再用传统方法予以证明，旨在让学生充分经历知识发生、发展的过程，学生的活动操作性强，思维含量高．因此，我认为是可行的，有效的．至于课堂安排内容末完成的问题，我认为一节课上，经历了案例中这一系列的活动、归纳、猜想及证明，构建成勾股定理，只要每一步、每一环都是实实在在且有效，内容已够丰富．定理的应用完全可在下一节课进行，本节课就作为数学活动课又何妨？
3、本方案运用得好就像上所说的，处理得不好很容易流于形式，比如：有的教师课堂上也让学生画一画，但回避画法及依据，也让学生探究，但由于图形不准确（关键是所画正方形的顶点不都在格点上），求面积时，割补法用不上，只能去量边长（近似值），也让学生猜想（是教师的反复暗示下的学生曲意迎合与信口开河），这种低级（小学生都会）的、无实效（缺乏数学理性思维）的“探究活动”就是形式、走过场，是骗人（外行）的．所以我认为数学课不应太关注课堂数学活动的形式及气氛，而要注重活动的数学内涵，关注活动的实效性．