八年级数学上：15.2 乘法公式教案新人教版.doc

15.2乘法公式（第1课时）
——平方差公式
一、教学目标
1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.
2.培养概括能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：运用平方差公式进行计算.
2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.计算：
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
（二）创设情境，导入新课
师：我们知道，整式的乘法有三种，哪三种？单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，哪一种计算起来比较麻烦？
生：（齐答）多项式乘多项式.
师：为什么多项式乘多项式比较麻烦？（稍停）因为多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项.
师：既然多项式乘多项式比较麻烦，我们自然会想到一个问题，什么问题？多项式乘多项式有没有简单一点的方法？或者说，有没有不需要一项一项乘的方法？（稍停）老师要告诉大家，对普通的两个多项式来说，没有简单的乘的方法，你只有老老实实地乘，一项一项地乘，但对某些特殊形式的多项式相乘，倒是有简单的方法，不需要一项一项乘.什么样的多项式相乘不需要一项一项乘？用简单方法又怎么相乘呢？这就是本节课我们要学习的内容.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的板书）
(x+3)(x-3)=x2-9
(m+2)(m-2)=m2-4
(2x+1)(2x-1)=4x2-1
师：（指板书的式子）刚才大家做了这三个题目，从这三个题目，你能发现什么规律？（生思考，要给学生充足的思考时间）
师：（指板书的式子）如果你发现了其中的规律，那么做这种形式的多项式乘多项式，就不需要一项一项乘了.譬如，（板书：(y+4)(y-4)）不用一项一项乘，你能直接说出(y+4)(y-4)等于什么吗？
生：y2-16.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-16）
师：（板书：(a+b)(a-b)）又譬如，(a+b)(a-b)等于什么？
生：a2-b2.（多让几名同学回答，然后师板书：=a2-b2）
师：看来大家是真的发现了规律，那谁又能用自己的话来说一说这个规律？
生……（多让几名同学说）
师：（指板书的式子）从这些等式我们发现了一个规律，什么规律？（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.
（师出示下面的板书）
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.
师：（指板书）请大家把这个结论读两遍.（生读）
师：（指准板书）显然这个结论与这个公式（在(a+b)(a-b)=a2-b2的外面加框）的意思是一样的，只是表达形式不一样，一个文字用表达，一个用式子表达.
师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）这个公式还有一个专门的名字，因为公式的右边是两个数的平方差，所以我们把这个公式叫做平方差公式（板书：平方差公式）.
师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.
师：下面我们就来做几道用平方差公式计算的题目.
（师出示例题）
例 运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)；
(2)(-x-2y)(-x+2y)；
(3)(b+2a)(2a-b)；
(4)(x-4)(-x-4).
师：（板书：解：(1)(3x+2)(3x-2)，并指准）怎么运用平方差公式计算这个式子呢？
（师出示下图）
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

(a +b)( a-b)= a2 -b2
师：（指准上图）我们可以把3x看成a，把2看成b，（指(3x+2)(3x-2)）这样这个式子可以看成是(a+b)(a-b).因为(a+b)(a-b)=a2-b2，所以(3x+2)(3x-2)=
(3x)2-22（板书：=(3x)2-22）.
师：（指准式子）(3x)2-22等于什么？（稍停）等于9x2-4（板书：=9x2-4）.
师：下面我们来看第(2)小题（板书：(2)(-x-2y)(-x+2y)）.
师：（指准(-x-2y)(-x+2y)）用平方差公式，这个式子应该把什么看成a，把什么看成b？（稍停片刻）
（师出示下图）
(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2

( a- b)( a+ b)= a2 - b2
师：（指准上图）我们可以把-x看成a，把2y看成b，（指(-x-2y)(-x+2y)）这样这个式子可以看成是(a-b)(a+b).因为(a-b)(a+b)与(a+b)(a-b)相等，所以(a-b)(a+b)也等于a2-b2，所以(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2（板书：=(-x)2-(2y)2）.
师：（指准式子）(-x)2-(2y)2等于什么？（稍停）等于x2-4y2（板书：=x2-4y2）.
师：下面我们来看第(3)小题（板书：(3)(b+2a)(2a-b)）.
师：（指式子）这个式子怎么用平方差公式计算？（让生思考一会儿）
师：（指准式子）这个式子好像不好直接用平方差公式，怎么办？（稍停）根据加法交换律，可以交换b与2a的位置，所以这个式子等于(2a+b)(2a-b)（板书：=(2a+b)(2a-b)）.
师：（指准(2a+b)(2a-b)）利用平方差公式，这个式子等于什么？（稍停）等于(2a)2-b2（板书：=(2a)2-b2）.
师：结果是4a2-b2（板书：=4a2-b2）.
师：下面我们再看第(4)小题（板书：(4)(x-4)(-x-4)）.
师：（指式子）第(4)小题也与第(3)小题一样，不能直接用平方差公式，需要交换两项的位置.怎么交换两项的位置使式子成为(a+b)(a-b)的样子呢？大家先自己试一试.
（生尝试，师巡视）
师：（指准(x-4)(-x-4)）我们把x与-4这两项交换位置，得到-4+x（板书：(-4+x)）,我们又把-x与-4这两项交换位置，得到-4-x（板书：(-4-x)）.根据加法交换律，x-4=-4+x，-x-4=-4-x，所以这两个式子相等（板书：=）.
师：（指准(-4+x)(-4-x)）利用平方差公式，这个式子等于(-4)2-x2（板书：=(-4)2-x2），结果为16-x2（板书：=16-x2）.
（四）试探练习，回授调节
2.用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y)
= =
= =
(3) (4x-5)(4x+5) (4) (+2m)(-2m)
= =
= =
3.用平方差公式计算：
(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m)
= =
= =
= =
(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a)
= =
= =
= =
4.计算：
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=
=
=
=
（4题订正时需要指出，(y+2)(y-2)可以用多项式乘多项式法则计算，也可以用平方差公式计算，因为用公式计算比较简单，所以我们选择用公式计算，而(y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算）
（五）归纳小结，布置作业
师：（指准板书）本节课我们学习了平方差公式，对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法，我们可以利用平方差公式进行计算.比起用多项式乘多项式的法则进行计算，用平方差公式进行计算有什么好处？
生：（齐答）简单.
（作业：P156习题1(1)(2)(3)(4),P153练习1.2(4)）
四、板书设计
(x+3)(x-3)=x2-9 平方差公式 例
(m+2)(m-2)=m2-4 (a+b)(a-b)=a2-b2
(2x+1)(2x-1)=4x2-1 两个数的和乘以……
(y+4)(y-4)=y2-16

15.2乘法公式（第2课时）
——完全平方公式
一、教学目标
1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算.
2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：运用完全平方公式进行计算.
2.难点：完全平方公式的运用.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的 ，即
(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做 公式.
2.用平方差公式计算
(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)
= =
= =
(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)
= =
= =
= =
3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a2-b2； （ ）
(2)(b+a)(a-b)=a2-b2； （ ）
(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2； （ ）
(4)(b-a)(a+b)=a2-b2； （ ）
(5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （ ）
（二）创设情境，导入新课
师：（板书：(a+b)(a-b)=a2-b2，并指准）上节课我们学习了平方差公式，对两个数的和乘以这两个数的差这种形式的式子，利用平方差公式计算，不需要一项一项地乘，比起用多项式乘多项式法则计算，要简单一些.现在，我们要进一步问：除了平方差公式，还有别的多项式乘多项式的公式吗？答案是肯定的.本节课我们就来学习一种新的公式，叫完全平方公式（板书课题：15.2.2完全平方公式，并擦掉平方差公式）.
（三）尝试指导，讲授新课
师：什么是完全平方公式？先请大家利用多项式乘多项式的法则计算下面两个式子.
4.用多项式乘多项式法则计算：
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
=(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b)
= =
= =
（生计算，师巡视，要给学生充足的计算时间）
师：（板书：(a+b)2）利用多项式乘多项式法则计算这个式子，得到的结果是什么？
生：a2+2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2+2ab+b2）
师：（板书：(a-b)2）这个式子的计算结果又是什么？
生：a2-2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2-2ab+b2）
师：（指两个等式）这两个等式就是完全平方公式（在两个公式外加框）.
师：与平方差公式一样，完全平方公式也可以用语言来说，怎么说呢？
（指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.
师：下面同学们一起跟着老师说，（指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.（生跟着说，如有必要可以再跟着说一遍）
师：（指(a-b)2=a2-2ab+b2）哪位同学来说说这个式子？
生：……（多让几名同学说）
师：（指准(a-b)2=a2-2ab+b2）两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.
（师出示下面的板书）
两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍；
两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.
师：大家把这个结论读一遍.（生读）
师：下面我们就用完全平方公式来计算几道题目.
（师出示例题）
例 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2； (2)(y-)2.
师：（板书：解：(1)(4m+n)2，并指准）利用多项式乘多项式法则可以计算(4m+n)2，现在有了完全平方公式，就不需要一项一项乘了，可以运用完全平方公式来计算.怎么计算？
（师出示下图）
(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2

(a +b)2= a2 + 2 a b+b2
师：（指准上图）我们可以把4m看成a，把n看成b，因为(a+b)2=a2+2ab+b2，所以(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2（板书：=(4m)2+2·4m·n+n2）.
师：（指(4m)2+2·4m·n+n2）这个式子又等于什么？（稍停）等于16m2+8mn+n2（边讲边板书：=16m2+8mn+n2）
师：（板书：(2)(y-)2）下面我们来看第(2)小题.
师：完全平方公式有两个，（指(y-)2）计算这个式子，应该用哪一个公式？
生：……
师：（指(y-)2）计算这个式子，（指(a-b)2=a2-2ab+b2）显然应该用这个公式.运用这个公式，(y-)2等于什么？
生：y2-2·y·+.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-2·y·+）
师：（指y2-2·y·+）这个式子又等于什么？
生：y2-y+.（师板书：=y2-y+）
（四）试探练习，回授调节
5.运用完全平方公式计算：
(1) (x+6)2 (2) (y-5)2
= =
= =
(3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2
= =
= =
6.计算：
(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)
=
=
=
7.选做题：如图，利用图形你能得到公式
(a+b)2=a2+2ab+b2吗？
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了完全平方公式，完全平方公式有两个，（指准公式）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.
（作业：P156习题2(1)(2)(3)(4)4）
四、板书设计
15.2.2完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 例
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数和的平方……
两数差的平方……

15.2乘法公式（第3课时）
——完全平方公式
一、教学目标
1.知道添括号法则，会添括号.
2.会先添括号再运用乘法公式.
3.培养学生的运算能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：先添括号再运用乘法公式.
2.难点：先添括号再运用乘法公式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；
(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .
2.运用公式计算：
(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)
= =
= =
(3) (m-3)(m+3) (4) (x+6y)2
= =
= =
3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a+b)2=a2+b2； （ ）
(2)(a-b)2=a2-b2； （ ）
(3)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）
(4)(a-b)2=(b-a)2. （ ）
4.去括号：
(1)(a+b)-c=
(2)-(a-b)+c=
(3)a+(b-c)=
(4)a-(b+c)=
（二）创设情境，导入新课
师：（板书：(x+2y-3)(x-2y+3)，并指准）怎么计算这个式子？（稍停）利用多项式乘多项式的法则，用x+2y-3的每一项去乘x-2y+3的每一项，这样计算当然是可以的.但是，假如老师要求利用平方差公式和完全平方公式来计算，哪又怎么做呢？（让生思考一会儿）
师：（指式子）要用平方差公式和完全平方公式计算这个式子，会涉及添括号问题（板书：添括号）.本节课我们先学习怎么添括号，然后再回过头来计算这个式子.
（三）尝试指导，讲授新课
师：在初一的时候我们学过去括号（板书：去括号），添括号与去括号是相反的问题，一个是加上括号，一个是去掉括号.
师：譬如，a+(b+c)=a+b+c（边讲边板书：a+(b+c)=a+b+c）这是去括号；反过来a+b+c=a+(b+c)（边讲边板书：a+b+c=a+(b+c)）这是添括号.
师：又譬如，a-(b+c)=a-b-c（边讲边板书：a-(b+c)=a-b-c）这是去括号；反过来a-b-c=a-(b+c)（边讲边板书：a-b-c=a-(b+c)）这是添括号.
师：那么，怎么添括号呢？添括号的方法与去括号的方法是一样的.
师：我们知道怎么去括号，（指准去括号式子）怎么去括号？如果括号前面是正号，去括号后括号内各项都不变符号；如果括号前面是负号，去括号后括号内各项都改变符号.
师：添括号也是这样的，（指准添括号式子）如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
（四）试探练习，回授调节
5.填空：
(1)a+b+c=( )+c；
(2)a-b+c=( )+c；
(3)-a+b-c=-( )-c；
(4)-a-b+c=-( )+c；
(5)a+b-c=a+( )；
(6)a-b+c=a-( )；
(7)a-b-c=a-( )；
(8)a+b+c=a-( ).
（订正时，让生用去括号检查添括号是否正确）
（五）尝试指导，讲授新课
师：知道了怎么添括号，（指(x+2y-3)(x-2y+3)）现在我们回过头来看这道题.（在(x+2y-3)(x-2y+3)前板书：例1 运用乘法公式计算）
师：（指准例1）运用乘法公式计算，这里所说的乘法公式就是平方差公式和完全平方公式.怎么用乘法公式计算这个式子呢？
（以下师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）
师：下面我们再来看一道例题.
（师出示例2）
例2 运用乘法公式计算(a+b+c)2.
（先让生尝试，然后师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）
（六）试探练习，回授调节
6.运用乘法公式计算：
(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)
= =
= =
= =
= =
（七）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了什么？我们学习了用公式计算的一种技巧.（指准例1）这个式子，初一看好像不能用公式计算，但是，如果能对式子进行适当的变形，就可以用公式计算了.在这个题目中，我们是怎么对式子进行变形的？我们通过添括号使式子成为(a+b)(a-b)的样子，这样就可以用公式计算了.例2的道理也是一样.
（作业：P156习题3）
四、板书设计
去括号 添括号 例1
a+(b+c)=a+b+c a+b+c=a+(b+c)
a-(b+c)=a-b-c a-b-c=a-(b+c) 例2