七年级数学上册 3.2 一元一次方程的应用教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中七年级上册数学教案.doc

3．2　一元一次方程的应用
第1课时　等积变形、行程等问题

1．会用一元一次方程解决关于等积变形、行程的实际问题．
2．掌握列方程解应用题的一般步骤．
3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．

重点
寻找面积、体积、行程问题中的等量关系．
难点
用“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程．

一、创设情境，导入新知
前面我们学习了一元一次方程及其解法，请同学们思考：我们学习解一元一次方程的目的是什么？(我们学习解方程的目的是为了应用)这一节我们就来学习用一元一次方程解决实际问题．(板书课题)
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：等积变形问题
演示：用力压一块圆柱形橡皮泥，最后橡皮泥变矮了．
刚才的演示与轧钢工厂里的锻压过程完全类似．
问题1：用直径为200 mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300 mm，300 mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢(计算时π取3.14，结果精确到1 mm)?

解析：把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生了变化，但锻造前后的体积是相等的，也就是
　　　　 圆柱体体积＝长方体体积
思考：哪些是已知量？哪些是未知量？在锻造的过程中什么量改变了？哪些量没变？圆柱体体积怎么求？长方体体积又该如何表示？
学生独立思考，再小组讨论找出题目中的相等关系，根据所设未知数列出方程．
解：设应截取的圆柱体钢长为x mm.
根据题意，得3.14×()2x＝300×300×90，
解得x≈258.
答：应截取约258 mm长的圆柱体钢．
探究点二：行程问题
思考：行程问题中“速度(v)、时间(t)与路程(s)”这三者之间的数量关系是什么？
学生讨论回答：(1)路程＝速度×时间(s＝vt)，
(2)速度＝路程÷时间(v＝)，
(3)时间＝路程÷速度(t＝)．
问题2：为了适应经济发展，铁路运输再次提速．如果客车行驶的平均速度增加40 km/h，提速后由合肥到北京1110 km的路程只需行驶10 h．那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
解析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
　　　　 路程＝平均速度×时间
设提速前客车平均每时行驶x km，那么提速后客车平均每时行驶(x＋40) km，客车行驶路程1110 km，所需时间是10 h．根据题意，得10(x＋40)＝1110.
解方程，得x＝71.
答：提速前这趟客车的平均速度是71 km/h.
说明：分析行程问题中的等量关系，还可以借助线段示意图．
交流总结：通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？
(1)弄清题意和题中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题里的未知数；
(2)分析题意，找出相等关系(可借助于示意图、表格等)；
(3)根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
(4)解这个方程，求出未知数的值；
(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称)．
四、应用迁移，运用新知
1．等积变形问题
例1　将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可．
解：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)，
锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2)．
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大．
方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高．
2．行程问题中的相遇问题
例2　小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．

解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900，解得x＝10.
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．
3．行程问题中的追及问题
例3　敌我两军相距25 km，敌军以5 km/h的速度逃跑，我军同时以8 km/h的速度追击，并在相距1 km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程．
解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1，解得x＝8.
答：战斗是在开始追击后8小时发生的．
方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间．
4．行程问题中的环形问题
例4　甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
解析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程－乙走的路程＝400米；(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝400米．
解：(1)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x－240x＝400，解得x＝.
(×360＋×240)÷400＝5(圈)．
答：两人一共跑了5圈；
(2)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x＋240x＝400，解得x＝(分钟)＝40(秒)．
答：40秒后两人第一次相遇．
方法总结：环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长；两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)，甲的行程－乙的行程＝一圈周长．
五、尝试练习，掌握新知
课本P94～95练习第1～3题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课我们学会用一元一次方程解决关于等积变形、行程的实际问题，掌握了列方程解应用题的一般步骤．
七、深化练习，巩固新知
课本P97习题3.2第2、3题．
《·》“课时作业”部分.

第2课时　储蓄、销售问题
第3课时　比例与和、差、倍、分问题

1．理解储蓄问题中本金、利率等数量间的关系，会解决储蓄问题．
2．理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系，会解决销售问题．
3．分析比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系，寻找相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题．

重点
理解储蓄问题中本金、利率等数量间的关系；理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系；分析比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系．
难点
正确分析问题中的等量关系设未知数列方程．

一、创设情境，导入新知
1．通过社会调查，让学生亲历打折销售和银行利息现实情境，了解利润问题中的成本价、卖价和利润之间的关系，银行利息问题中的本金、利息、本息和、年数、年利率和利息税之间的关系，进而能根据现实情境提出数学问题．
2．请举例说明打折、利润、利润率、提价、削价、本金、利息、本息和、年数、年利率、利息税的含义分别是什么？
公式：利润＝销售价－成本价； 利息 ＝ 本金×年利率×年数；本息和＝本金＋利息；利息税＝利息×税率．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：储蓄问题
问题1：王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%.到期后得到本息共23000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
教师指出：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，利息＝本金×利率×年数．本问题中涉及的等量关系有：本金＋利息＝本息和．
引导学生分析：设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后的本息共为23000元．根据本金＋利息＝本息和，由此可得方程：x＋3×5%x＝23000，
解方程，得x＝，x＝20000.
答：当年王大伯存入银行20000元．
通过对上面例题的解答，学生在利率问题中对利率的一些等量关系有了进一步的认识．只要根据题意找出数量关系和关键词，设出未知数列出方程即可迎刃而解．
探究点二：销售问题
问题2：一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元．问这种书包每个进价多少？
教师指出：商品的利润是商品的售价与进价之差，也就是说：利润＝实际售价－进价(或成本)．商品利润率是：利润率＝×100%.打9折后的售价为原价的90%.
引导学生分析：设这种书包每个进价为x元，那么这种书包的标价为(1＋30%)x，对它打9折得实际售价为×(1＋30%)x.根据题意，得
×(1＋30%)x－x＝8.50.
解这个方程，得x＝50.
答：这种书包每个进价为50元．
学生体会：在市场上经常看到类似的“打折销售”、“大酬宾”、“大削价”等广告，实际上都是先升后降．
探究点三：比例问题
问题3：三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应该负担多少元？
教师指出：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于120元．由于共有土地4＋5＋6＝15份，因而120元可由15份分担．据此，得解法如下：
引导学生分析：设每份土地排涝分担费用x元，那么三个作业队应负担费用分别为4x元、5x元、6x元．根据题意，得4x＋5x＋6x＝120，解方程，得x＝8.
4x＝32，5x＝40，6x＝48.
答：三个作业队各应负担32元、40元、48元．
注意：本题中“设每份土地排涝分担费用x元”属间接设未知数法．当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法．
探究点四：和、差、倍、分问题
问题4：某湿地公园举行观鸟节活动，全价票为20元/人，半价票为10元/人，该公园共售出1200张门票，得总票款20000元．问全价票跟半价票各售出多少张？
解析：(1)题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？这些量之间有什么关系？完成下表．
思考：为什么下表中要设全价票为x，可以设半价票为x么？

单张票价
票数量
总票款
全价票

x

半价票

合计

1200
20000
　　(2)根据上表，找出等量关系，设未知数，列出方程，求出方程的解，并检验．
可得等量关系：全价票款＋半价票款＝总票款．
可设全价票售出x张，则半价票售出(1200－x)张．根据题意得
20x＋10×(1200－x)＝20000，解方程，得x＝800.
1200－x＝1200－800＝400.
答：全价票售出800张，半价票售出400张．
四、应用迁移，运用新知
1．求利率
例1　张师傅在银行里用定期一年整存整取的方式存入人民币8000元，到期得到本息8180元，求这项储蓄的月利率(不计利息税)．
解析：本题考查储蓄中的利率问题，利息＝本金×利率×期数．
解：设这项储蓄的月利率为x，根据题意，得8000＋8000×12×x＝8180，解方程，得x＝0.1875%.
答：这项储蓄的月利率为0.1875%.
方法总结：存款利率问题中有很多相关联的量，如本金、利息、利率等，只有知道它们的相互联系才能解决好此类问题．
2．求本金
例2　李明以两种方式储蓄了500元钱，一种方式储蓄的年利率是5%，另一种是4%，一年后得利息23元5角，问两种储蓄各存了多少元钱？
解析：本题考查的是本金问题，题目中有两个待求的未知数，我们可以设出一个，另一个未知数借助题目条件用第一个未知数表示出来．
解：设年利率是5%的储蓄了x元，另一种是4%的储蓄存了(500－x)元，根据题意，得x×5%×1＋(500－x)×4%×1＝23.5.
解这个方程，得x＝350.所以500－x＝150(元)．
答：年利率是5%和4%的储蓄分别存了350元和150元．
方法总结：解决储蓄问题的关键在于对关系式的正确运用，利息＝本金×利率×期数．
3．求成本价
例3　一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
解析：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系：标价×80%＝60，列出方程即可．
解：设这批夹克每件的成本价为x元，则标价为(1＋50%)x元．根据题意，得(1＋50%)x·80%＝60.解得x＝50.
答：这批夹克每件的成本价是50元．
方法总结：按标价8折出售即按标价的80%出售．解题时要依据题意列出相应的等量关系式．
4．求折扣
例4　书店里每本定价10元的书，成本是8元．为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？
解析：本题中的利润为10－8＝2(元)，因为让利10%给读者，所以书店的利润为(1－10%)×2(元)，此时的售价为(10×折扣)元．根据商品利润＝商品售价－商品进价，就能建立起方程．
解：设该书应打x折，根据题意，得
10×－8＝(10－8)×(1－10%)．
解得x＝9.8.
答：该书应打九八折．
方法总结：让利10%，即指利润为原来的90%.解题时要注意理解题目内包含的信息．
5．求原价
例5　某商场节日酬宾：全场8折．一种电器在这次酬宾活动中的利润率为10%，它的进价为2000元，那么它的原价为多少元？
解析：本题中的利润为(2000×10%)元，销售价为(原价×80%)元，根据公式建立起方程即可．
解：设原价为x元，根据题意，得
80%x－2000＝2000×10%.
解得x＝2750.
答：它的原价为2750元．
方法总结：售价＝进价＋利润，售价＝原价×打折数×0.1，售价＝进价×(1＋利润率)．
6．比例问题
例6　某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7∶1∶2∶4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药分别需要多少克？
解析：利用甲、乙、丙、丁四种草药成分的和等于2100克为相等关系列出方程．设其中一份为x克，由甲、乙、丙、丁四种草药的质量比，即可用含x的式子表示出来．
解：设需要甲种草药0.7x克，乙种草药x克，丙种草药2x克，丁种草药4.7x克，根据题意，得0.7x＋x＋2x＋4.7x＝2100.
解得x＝250，所以0.7x＝175，2x＝500，4.7x＝1175.
答：需要甲种草药175克，乙种草药250克，丙种草药500克，丁种草药1175克．
方法总结：比例分配问题中的全部数量＝各种成分的数量值之和．
7．和、差、倍、分问题
例7　某旅行社组织200人到怀集和德庆旅游，到德庆的人数比到怀集的人数的2倍少1人，则到两地旅游的人数各是多少人？
解：设到怀集旅游的人数为x人，则到德庆旅游的人数为(2x－1)人．
根据题意，得x＋(2x－1)＝200.
解得x＝67，则到德庆旅游的人数为2×67－1＝133(人)．
答：到怀集旅游的人数为67人，到德庆旅游的人数为133人．
方法总结：本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，然后列出方程解题．
五、尝试练习，掌握新知
课本P96练习第1、2题、P97练习第1、2题．
《·》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了：
(1)储蓄问题中本金、利率等数量间的关系，会解决储蓄问题；
(2)商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系，会解决销售问题；
(3)比例与和、差、倍、分的量与量之间的关系，会寻找等量关系，列出一元一次方程解简单的应用题．
七、深化练习，巩固新知
课本P97习题3.2第1、4、5、6题．
《·》“课时作业”部分．