八年级数学下册 第17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中八年级下册数学教案.doc

17.2 .1 配方法
课 题
17.2 一元二次方程的解法—配方法
教 学
目 标
1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；
2．会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
教 学
设 想
1．教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
2．当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。
教 学 程 序 与 策 略
一、认识解方程
提问，板演 (观察学生怎么解决)。
为以后认识一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）做铺垫。
1.开平方法：形如。
2.①先把移项得；
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根。
二、新课教学
1.引例（当a=1时）解方程.
观察与思考，小组讨论：领悟配方法解方程的数学思想。
2.例1 用配方法解下列一元二次方程
（1）；
（2）。
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解决的二次项系数是1的一元二次方程。
教 学 程 序 与 策 略
（补充）例 用配方法解方程2x2＋12x+9=0。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤。
课堂练习（课件展示）
3．课本课内练习1、2
学生完成解题后出示答案。
4．增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程：
（1）；
（2）。
三、课堂小结
问：这一节课学习了什么？
四、布置作业
习题17.2第1、2、3题
教后反思录

17.2.2 公式法
知识与技能目标
1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；
2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力．
过程与方法目标
1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；
2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点．
情感态度与价值观
1.通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；
2.培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．
重点和难点
重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；
难点：对一元二次方程的一般式进行配方，推导一元二次方程求根公式．
教具准备
多媒体课件
教学过程
一、创设情境，导入新课
问题 思考如何用配方法解下列方程？

二、探究归纳，讲解新课
让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？
用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)化二次项系数为1；
(2)移项；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
让学生仿照问题(1)，讨论尝试求解问题(2)；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．
探索
我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
用配方法来解一般形式的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得
，
移项，得
，
配方，得
，
即
．
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得
，
即 ．
所以 ，
即 ．
上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
从上面的结论可以发现：
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．
思考 当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？

三、实践应用，讲解例题
例1 解方程：。
解:将方程化为一般式，得＋4x－2＝0，
则a=1 ， b=4 ， c=-2。
∵
∴。
原方程的解是x1＝-2＋,x2＝-2-.
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a、b、c的值；(2)算出b2-4ac的值；(3)代入求根公式求出方程的根．
例2  运用公式法解下列方程：
(1) ； (2)。
解：(1)
，
。

，
。
例3 解方程：x²+x-1=0（精确到0.001） 。

四、交流反思
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
(b2-4ac≥0)．
利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．
2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b2-4ac的值．当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数解；当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数解；当 b2-4ac＜0时，方程没有实数解．
3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．
五、布置作业
1.课内练习
2.预习下节课内容
六、教学后记
1.要创造性地使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．
2.要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度．

17.2.3 因式分解法

一、教学目标
（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力及探索精神．
（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程.
2. 教学难点：将一元二次方程“降幂”得到两个一元一次方程.
3．教学疑点：理解“或”的含义．
三、教学步骤
（一）明确目标
学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的解法——因式分解法．
（二）整体感知
所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后得到（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
如果两个因式的积为零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积也就等于零．
“或”有下列三层含义
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．例1  解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可变形为x（x＋2）＝0……第一步
∴  x＝0或x＋2＝0……第二步
∴  x1=0，x2=-2．
教师提问、板书，学生回答．
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）：对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
例2  用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0，
得x＋5＝0或x-3＝0．
∴  x1＝-5，x2＝3．
教师板书，学生回答，总结因式分解的步骤：（1）方程化为一般形式；
（2）方程左边因式分解；（3）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
练习：课本中的练习．
第一题学生口答，第二题学生笔答，板书．
体会步骤及每一步的依据．
例3 （1）解方程：3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．
∴  x-2＝0或3-x＝0．
∴  x1＝2，x2＝3．
教师板书，学生回答．
此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．
（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.
解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
∴  5x-4＝0或x＋8＝0．
x1=,x2=-8.
学生练习、板书、评价，教师引导、强化．
练习：解下列关于x的方程
3．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
学生练习、板书．教师强化，引导，训练其运算的速度．
（四）总结、扩展
因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
四、布置作业
1．教材习题第5题
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具体情况具体分析．
3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

五、板书设计