陕西省石泉县九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24.1.2 垂直于弦的直径
课标依据
探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

一、教材分析
本节内容结合研究圆的轴对称性，得到了垂径定理及有关的结论，其定理及其推论反映了圆的重要性质，是今后证明线段、角相等，以及垂直关系的重要依据，同时也为有关圆的一些计算和作图问题提供了方法和依据。又为以后学习解决实际问题奠定了基础，所以它在教材中处于非常重要的地位。同时这节课还培养了学生的运算能力，逻辑推理能力、抽象思维能力，创造能力，对培养学生探索精神和创新意识都有非常重要意义。 
二、学情分析
多数学生基础较差，对学习几何知识存在畏惧心理；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。 学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
三、教学目标
知识与
技能
理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题；

过程与
方法
经历对垂径定理的探究过程，感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和
方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．

情感态度与价值观
1.通过实际问题转化为数学问题，培养学生勇于探索，锲而不舍的精神。 
2.通过对赵州桥的介绍，培养学生的自豪感。

四、教学重点难点
教学重点
垂径定理及其推论．

教学难点
垂径定理及其推论的应用．

五、教法学法

操作、讲解、自学、练习、合作交流。

六、教学过程设计
师生活动
设计意图
一、情境引入：
1.（赵州桥简介、图片）
2. 直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.
二、探究新知
(一)圆的对称性
沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？
得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
（学生用纸剪一个圆，按教师要求操作，观察，思考，交流，尝试发现结论）.

（二）、垂径定理
完成课本思考
分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？
2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧．
推理验证：可以连结OA、OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系.
分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？
即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.
（学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，尝试得出垂径定理，并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.）
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论)
思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？
2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？
垂径定理的进一步推广
思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来.
归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论.
（三）、垂径定理、推论的应用
完成课本赵州桥问题
分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？
2.结合所画图形思考：圆的半径r、弦心距d、弦长a,弓形高h有怎样的数量关系？
3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:
(学生审题，尝试自己画图，理清题中的数量关系，并思考解决方法，由本节课知识想到作辅助线办法)
三、课堂训练
课本83页练习
（教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价）
四、课堂小结
1. 垂径定理和推论及它们的应用
2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段
五、检测
《学案》P76页巩固练习：1---4题。
六、作业
必做：P83　第 2 题．P89 第8题
选作：《学案》P73页：探究3

通过学生亲自动手操作发现圆的对称性，为后续探究打下基础

通过问题引导学生探究，发现圆的集合定义，初步感知圆

通过该问题引起学生思考，进行探究，发现垂径定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力

为继续探究其推论奠定基础

体会转化思想，化未知为已知，从而解决本题，同时把握一类题型的解题方法，作辅助线方法.

让学生通过练习进一步理解概念，培养学生的应用意识和能力