春七年级数学下册 9 不等式与不等式组教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中七年级下册数学教案.doc

第九章　不等式与不等式组

1.了解不等式的概念,会从实际问题中建立不等式的数学模型.
2.经历探究的过程,掌握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.
3.经历问题的建模过程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式(组),能在数轴上表示一元一次不等式(组)的解集,并能求一元一次不等式(组)的特殊解,初步体会数形结合思想.
5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.

1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.
2.通过类比一元一次方程(组)学习一元一次不等式(组),充分利用知识的类比进行学习、探索.
3.把不等式(组)的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式(组)解集的理解,使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.

通过对不等式、不等式的解与解集的探究,培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力,也培养学生的合作交流意识和探索精神.

单元开始从一个实际问题引入,体现了现实生活中的不等关系,从认识不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法和一元一次不等式(组)在实际问题中的应用与探索等问题,体现了类比、化归思想在数学中的应用.

【重点】　一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式(组)的应用.
【难点】　
1.不等式的解和不等式组的解.
2.应用不等式(组)解决实际问题.

1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式(组)的相关知识.
2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.
3.在利用不等式(组)解决实际问题时,注意对一些关键词语的理解,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式(组)解的特殊性.

9.1　不等式
9.1.1　不等式及其解集(1课时)
9.1.2　不等式的性质(2课时)
3课时
9.2　一元一次不等式
2课时
9.3　一元一次不等式组
2课时
单元概括整合
1课时

9.1　不等式

1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.
2.理解不等式的性质.
3.运用不等式的性质解简单的不等式.
4.能在数轴上表示不等式的解集.

通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和掌握不等式的性质及其解法.

培养学生积极寻求研究问题方法的意识,培养学生细心探索和善于合作的精神.

【重点】　利用不等式的性质解简单的不等式.
【难点】
1.利用数轴表示不等式的解集.
2.根据实际意义确定不等式的解集.
9.1.1　不等式及其解集

感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.

经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,体会数形结合思想.

培养学生的合作交流意识和探索精神.

【重点】　理解不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.
【难点】　把不等式的解集正确地表示在数轴上.

【教师准备】　课堂教学讨论问题的投影.
【学生准备】　复习方程的有关定义.

导入一:
如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为q cm,小明身高为p cm,小丽站在20 cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大?
[设计意图]　通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系.
导入二:
天平是物理课上常用的一种仪器,如图(1)所示的天平两边托盘上的物体一样重,此时天平平衡,若天平两边托盘上的物体不一样重,就会出现如图(2)(3)所示的情形,此时两天平不平衡.

【问题思考】　我们应如何表示物体A的质量呢?
[设计意图]　通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.
导入三:

如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.
在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,(x+2x)千克小于72千克;当爸爸被翘起时,(x+2x+6)千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?
[设计意图]　借助于生活情境,帮助学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的准备.

一、不等式
　　[过渡语]　生活中不仅有等量关系还有不等量关系,从本课时开始,我们学习新的数量关系:不等量关系.
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50 km,要在12:00之前驶过A地,车速应满足什么条件?
问题1
如果把原题变为:要在12:00正好到达A地,车速应该是多少?
[设计意图]　通过时间和路程的关系,学生很容易算出车速.以这个车速为依据,帮助学生进行下一步的思考.
问题2
如果设车速为x km/h,从时间上看, h和 h是什么关系?
板书总结:<.①
问题3
如果设车速为x km/h,从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A地,那么以这个速度行驶 h的路程和50 km是什么关系?
板书总结:x>50.②
问题4
根据上面的式子,你能总结什么是不等式吗?
总结:像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a- 2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3<4,- 1>- 2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.
　(补充)下列各式:①- 3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕　本题直接考查不等式的定义.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有用不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.故选D.
[设计意图]　在鉴别不等式的过程中,加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.
[知识拓展]　1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.
2.常见的不等号有:①“>”读作“大于”;②“<”读作“小于”;③“≠”读作“不等于”,它没有明确大小关系.
二、不等式的解
　　[过渡语]　虽然不等式①和②表示了车速应满足的条件,但是我们希望更明确地得出x可以取哪些值.上面的不等式中,有哪些数值能够满足或者不满足不等式的条件呢?
思路一
问题1
以不等式②为例,你能说出几个使不等式成立的数值吗?
例如:当x=80时,x>50;当x=78时,x>50.这就是说,当x取某些值(如80,78)时,不等式x>50成立.
问题2
以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?
例如:当x=72时,x<50;当x=75时,x=50.这就是说,当x取某些值(如72,75)时,不等式x>50不成立.
问题3
你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?
总结:与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
思路二
问题1
要使汽车在12:00之前驶过A地,你认为车速应该为多少呢?
问题2
车速可以是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时75.1千米呢?每小时74千米呢?
问题3
以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?
76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.
问题4
“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?
讨论后得出:当x为76,79,80,75.1,90时,也就是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.
总结:我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
三、不等式的解集
　　[过渡语]　除了80和78,不等式x>50还有其他解吗?如果有,这些解应满足什么条件?
〔解析〕　当x>75时,不等式x>50总成立;而当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示,如下图所示.

　　由上可知,在前面问题中,汽车要在12:00之前驶过A地,车速必须大于75 km/h.
问题1
怎样表示不等式的所有解呢?
问题2
什么叫解方程呢?
问题3
什么叫解不等式呢?
总结:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.
[设计意图]　在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思考状态,不知不觉中接受了新知识.
　(补充)如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说不等式x<5的解是x=1,2,3,4,这种说法正确吗?
解:这种说法不正确,因为不等式的解是一个范围内的数,不是在这个范围内的几个数,正确说法是“如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说x=1,2,3,4都是不等式x<5的解”.
[知识拓展]　不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.

不等式的解和解集的区别和联系如下表:
区别
举例:x- 1>2
概念
个数
表示方法
不等式的解
x=4,5……
是一些具体的值
无数个
用等号表示
不等式的解集
x>3
是一个范围
一个
用不等号表示
联系
在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内

1.下面各式是不等式的个数为 (　　)
①- 2<1;②x=1;③a+b;④2a+b>0;⑤a≠3;⑥x+1>y+4.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:用不等号表示不等关系的式子叫不等式,①④⑤⑥是不等式.故选D.
2.下列说法中正确的是 (　　)
A.x=3是不等式2x>1的解
B.x=3是不等式2x>1的唯一解
C.x=3不是不等式2x>1的解
D.x=3是不等式2x>1的解集
解析:x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.故选A.
3.在数轴上表示不等式x<2的解集.
解析:在表示2的点上画空心圆圈,表示不包含这一点.
解:如下图所示.

4.用不等式表示:
(1)a与b的和的3倍是负数;
(2)x的与3的和比5大;
(3)代数式3x+2的值大于1.
解:(1)3(a+b)<0.　(2)x+3>5.　(3)3x+2>1.

9.1.1　不等式及其解集
1.不等式
例1
2.不等式的解
3.不等式的解集
例2

一、教材作业
【必做题】
教材第115页练习第1题.
【选做题】
教材第116页练习第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在下列式子中,不是不等式的是 (　　)
A.2x<1 B.x≠- 2
C.4x+5>0 D.a=3
2.下列说法中,错误的是 (　　)
A.不等式x<5的整数解有无数多个
B.不等式x>- 5的负整数解有有限个
C.不等式2x>- 8的解集是x<- 4
D.- 40是不等式2x<- 8的一个解
3.在- ,- 1,0,,- 3中,能使不等式x+2>1成立的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.“x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为　　　　. 
5.在课后的探究性学习活动中,小明、小丽和小颖三位同学对某个不等式的解集有着不同的说法:
小明说,x=2.5是不等式的一个解;
小丽说,- 2,- 1,0都是不等式的解;
小颖说,不等式的正整数解只有1,2.
请你能根据他们三位同学的描述,写出符合这样条件的一个不等式.(只写出其中一个即可,不必考虑所有情况)
【能力提升】
6.下列说法正确的是 (　　)
A.x=3是不等式x+1>2的解集
B.不等式4x<- 8的解是x<- 2
C.不等式- 6x<18的解集为x<- 3
D.x>是不等式2x- 1>0的解集
7.下列不等式一定成立的是 (　　)
A.2x<6 B.- x<0
C.|x|+1>0 D.x2>0
8.如图所示,天平右盘中每个砝码的质量都是1 g,则图中显示出来的某药品A的质量的范围是 (　　)

A.大于2 g B.小于3 g
C.大于2 g且小于3 g D.大于2 g或小于3 g
9.规定一种新运算:aΔb=a·b- a- b+1,如:3Δ4=3×4- 3- 4+1.请比较大小:(- 3)Δ4　　　　4Δ(- 3)(填“<”“=”或“>”). 
10.先阅读下面的材料,然后解答问题:
要比较a,b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数或零.若差是正数,则a大于b;若差是0,则a等于b;若差是负数,则a小于b.例如:5- 2>0,则5>2;- 6- (- 4)<0,则- 6<- 4;8- 8=0,则8=8.
试比较2x2- 2x+3与x2- 2x- 1的大小.
【拓展探究】
11.某班26名同学到人民公园举行活动.人民公园的门票是:每人5元,一次购票满30张,可以享受优惠:每张少收1元.当领队小明同学准备好了零钱到售票处买26张票时,爱动脑筋的小丽却喊住了小明,提议要买30张票.
(1)如果当时你在现场,你会支持谁?为什么?
(2)如果是23名同学呢?
12.某学校要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费),若自刻,则每张需4元,此外,还需120元空白光盘费.设刻录x张电脑光盘,请用不等式或等式表示:
(1)刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录省钱.
(2)刻录这批电脑光盘,自刻省钱.
(3)刻录这批电脑光盘,到电脑公司和自刻费用一样.
【答案与解析】
1.D(解析:根据不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案.A,B,C是不等式,D是等式.故选D.)
2.C(解析:正确求出不等式的解集,就可以进行判断.A.正确;B.不等式x>- 5的负整数解有- 4,- 3,- 2,- 1,正确;C.不等式2x>- 8的解集是x>- 4,错误;D.不等式2x<- 8的解集是x<- 4,包括- 40,正确.故选C.)
3.C(解析:把已知的5个数代入不等式中,- ,0和能使不等式x+2>1成立,所以能使不等式x+2>1成立的有3个.故选C.)
4.4x+2<0(解析:x的4倍为4x,负数<0,据此列不等式为4x+2<0.)
5.解:本题答案不唯一,例如:x- 3<0.
6.D(解析:因为x=3是不等式x+1>2的一个解,而不是不等式的解集,所以A错;因为x<- 2是不等式4x<- 8的解集,而不是解,所以B错;取一个小于- 3的数代入不等式,例如当x=- 5时,不等式的左边是(- 6)×(- 5)=30>18,所以C错;选项D正确.)
7.C(解析:根据不等式的定义对各选项进行逐一分析即可.A.当x为3或大于3时不成立,故本选项错误;B.当x为0或比0小时不成立,故本选项错误;C.不论x为何值,不等式均成立,故本选项正确;D.当x=0时不成立,故本选项错误.故选C.)
8.C(解析:观察第一幅图易发现A的质量>2 g,再观察第二幅可以发现A的质量<3 g.故A的质量大于2 g且小于3 g.故选C.)
9.=(解析:因为aΔb=a·b- a- b+1,所以(- 3)Δ4=(- 3)×4- (- 3)- 4+1=- 12,4Δ(- 3)=4×(- 3)- 4- (- 3)+1=- 12,所以(- 3)Δ4=4Δ(- 3).)
10.解:因为2x2- 2x+3- (x2- 2x- 1)=2x2- 2x+3- x2+2x+1=x2+4>0,所以2x2- 2x+3>x2- 2x- 1.
11.解:(1)支持小丽.因为30×(5- 1)=120(元),26×5=130(元),130>120,所以小丽的说法更有道理.　(2)如果是23名同学,应该选择购买23张票,理由是30×(5- 1)=120(元),23×5=115(元),120>115.
12.解:因为要刻录x张电脑光盘,所以到电脑公司刻录需8x元,自刻需(120+4x)元.(1)8x<120+4x.　(2)8x>120+4x.　(3)8x=120+4x.

本课时在教学设计时遵从学生的生活经验,从生活情境中抽象出不等量关系的数学问题,帮助学生进一步感受数学与生活的联系,让学生在生活情境体验中进行学习.借助于一元一次方程知识的学习,通过类比思想引导学生学习了不等式、不等式的解及解集等相关定义,使学生在正确理念和恰当方法的指导下进行学习.

在用数轴表示不等式解集的时候,忽略了对空心圆圈表示的含义的强调.补设的例题可以让学生独立去完成,老师没必要详细讲解和示范.

从学生的生活经验看,对教材中情境材料的不等量关系不存在理解困难,因此在教学的过程中,可以淡化不等量关系的计算过程,把重点放在不等式定义的总结、不等式的解和不等式解集的含义上.

练习(教材第115页)
1.解:(1)a>0.　(2)a<0.　(3)a+5<7.　(4)a- 2>- 1.　(5)4a>8.　(6)<3.
2.解:3.2,4.8,8,12是不等式x+3>6的解,- 4,- 2.5,0,1,2.5,3不是不等式x+3>6的解.
3.解:(1)x>3.　(2)x<4.　(3)x>2.

　下列各数中,哪些是不等式x+1<3的解?哪些不是?哪些是方程x+1=3的解?
- 2.5,0,1,2,3.
解:当x=- 2.5时,x+1=- 2.5+1=- 1.5<3,不等式x+1<3成立,
所以x=- 2.5是不等式x+1<3的解.
当x=0时,x+1=0+1=1<3,不等式x+1<3成立,
所以x=0是不等式x+1<3的解.
当x=1时,x+1=1+1=2<3,不等式x+1<3成立,
所以x=1是不等式x+1<3的解.
当x=2时,x+1=2+1=3,左边=右边,方程x+1=3成立,
所以x=2是方程x+1=3的解,不是不等式x+1<3的解.
当x=3时,x+1=3+1=4>3,不等式x+1<3不成立,方程x+1=3也不成立,
所以x=3既不是不等式x+1<3的解,也不是方程x+1=3的解.
[解题策略]　本题主要考查不等式的解的概念.不等式的解是指能使不等式成立的未知数的值.把题中给出的值逐一代入x+1<3,若符合此不等式表示的不等关系,则该值为此不等式的解,反之不是.
9.1.2　不等式的性质

1.理解不等式的性质.
2.依据不等式的性质,会解简单的一元一次不等式.
3.能在数轴上表示不等式的解集.
4.能解简单的一元一次不等式的应用题.

1.借助于等式、一元一次方程的知识,学习不等式的性质和解不等式.
2.通过生活情境理解不等式解的特殊含义.

培养学生主动探索的精神和合作交流的意识.

【重点】
1.不等式的性质和不等式的解法.
2.不等式在生活中的简单应用.
【难点】
1.用数轴表示不等式的解集.
2.理解不等式解集的实际意义.
第课时

理解不等式的性质.

经历通过类比、猜测、验证,发现不等式性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.

体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性.

【重点】　理解并掌握不等式的性质.
【难点】　比较等式性质和不等式性质的区别.

【教师准备】　不等式性质的板书投影.
【学生准备】　复习等式的有关知识.

导入一:
设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体,现用天平称两次,情况如图所示,把▲,●,■这三种物体按质量从大到小排列.

解:设▲,●,■的质量分别为a,b,c,根据图形,可得a+c>2a,2a=3b,故可得c>a>b.即■>▲>●.
[设计意图]　通过这个思维难度不大的情境,需要学生借助于等式的知识进行思考.同时这里也暗含了不等式的性质.
导入二:
对于某些简单的不等式,我们可以直接得出它们的解集,例如不等式x+3>6的解集是x>3,不等式2x<8的解集是x<4,但是对于比较复杂的不等式,例如- 2>,直接得出解集就比较困难.因此,还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样,解不等式需要依据不等式的性质.为此,我们先来看看不等式有什么性质.
[设计意图]　借助于教材中的这段引言,直接提出了两个问题:求不等式的解集不能完全靠观察,还需要靠计算去求得.另一个问题是依据什么去解不等式.这两个问题的提出,为本节课的两个课时的学习指明了方向.

　　[过渡语]　我们知道,等式两边加或减同一个数(或式子),乘或除以同一个数(除数不为0),结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢?
一、探究不等式的性质
问题1
等式有哪些性质?
问题2
用“>”或“<”填空,并总结其中的规律:
(1)5>3,5+2　　　　3+2,5- 2　　　　3- 2; 
(2)- 1<3,- 1+2　　　　3+2,- 1- 3　　　　3- 3; 
(3)6>2,6×5　　　　2×5,6×(- 5)　　　　2×(- 5); 
(4)- 2<3,(- 2)×6　　　　3×6,(- 2)×(- 6)　　　　3×(- 6). 
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数或负数)时,不等号的方向　　　　.当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向　　　　;而乘同一个负数时,不等号的方向　　　　. 
问题3
除以一个数,怎样用乘法去理解?
[设计意图]　除以一个数等于乘这个数的倒数.这问是针对不等式的性质2,3中同时除以一个数的情况设置的.
[处理方式]　学生集中讨论,形成共同的结论和看法.
二、不等式的性质
思路一
问题1
根据前面问题当中的(1)和(2),你总结的不等式的性质是什么?怎样用数学语言去表示?
解:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
符号表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
问题2
根据前面问题当中的(3)和(4),你总结的不等式的性质是什么?怎样用数学语言去表示?
解:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
符号表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
符号表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.
思路二
1.等式的性质.
教师首先与学生一起回忆等式的性质,学生回答等式的性质:
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
[处理方式]　老师帮助学生回忆总结,关注学生术语表达的准确性.
[设计意图]　帮助学生回顾等式的性质的得出过程,类比本节课将要学习的知识,为探索不等式的性质做好准备,并且从学生的已有经验出发,培养学生梳理知识体系的习惯.通过类比等式的性质,探究不等式的性质,体会不等式的性质与等式性质的异同.体会类比的学习方法,积累数学活动经验.
2.不等式性质的推导.
师:让学生自己先确定一个不等式,仿照等式的性质1,在不等式的两边加(或减)同一个整式,看结果有何特点,在小组内讨论并总结出来.
生:先任意确定一个不等式,然后按老师的要求变形,观察思考后在组内交流并总结出不等式的性质1:不等式的两边加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.符号表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
师:让学生再仿照等式的性质2,在不等式的两边乘同一个数,看结果有何特点,交流一下并总结出来.
生:先自己任意确定一个不等式,然后按要求变形,观察特点,交流并总结.
说明:这里教师设计了一个不容易发现的陷阱,很可能会引起学生的争论,这正是教师所期望的,思维快但考虑不周的学生可能会做出类似下面的推导:
因为3<5,3×2<5×2,3×<5×,所以在不等式的两边乘同一个数,不等号的方向不变.而思维缜密的学生会做出类似的反驳:3<5,但3×(- 2)>5×(- 2),所以上面的总结是错的.
师:引导学生做出正确的总结.
生:细致观察发现在不等式的两边乘同一个正数与乘同一个负数结果不同,从而总结出:不等式两边乘同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘同一个负数,不等号的方向改变.
[设计意图]　让学生在争论中发现等式和不等式的性质的不同之处,从而更好地理解不等式的性质3.
总结:
不等式性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
符号表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc.
不等式性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
符号表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc.
三、例题讲解
　利用不等式的性质,填“>”或“<”.
(1)若a>b,则2a+1　　　　2b+1; 
(2)若- y<10,则y　　　　- 8, 
(3)若a<b,且c>0,则ac+c　　　　bc+c.; 
(4)若a>0,b<0,c<0,则(a- b)c　　　　0. 
〔解析〕　(1)因为a>b,将不等式两边都乘2,由不等式的性质2,得2a>2b,再由不等式的性质1,得2a+1>2b+1;(2)因为- y<10,将不等式两边都除以- ,由不等式的性质3,得y>- 8;(3)因为a<b,c>0,将不等式两边都乘c,由不等式性质2,得ac<bc,再由不等式的性质1,得ac+c<bc+c;(4)因为a>0,b<0,所以a- b>0,两边都乘c,而c<0,由不等式性质3,得(a- b)c<0.
〔答案〕　(1)>　(2)>　(3)<　(4)<
　已知a,b,c在数轴上的对应点的位置如下图所示,下列式子中正确的有 (　　)

　　①b- c>0;②a+b>a+c;③bc>ac;④ab>ac.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕　由数轴上a,b,c对应点的位置可知a>0,b>0,c<0,且a>b>c.①因为b>c,所以不等式两边都减去c,不等号方向不变,所以b- c>0,正确;②因为b>c,所以不等式两边都加a,不等号方向不变,所以a+b>a+c,正确;③因为b<a,c<0,不等式两边同乘c,不等号方向改变,所以bc>ac,正确;④因为b>c,a>0,不等式两边同乘a,不等号方向不变,所以ab>ac,正确.故选D.
[知识拓展]　不等式的概念和性质与等式的概念和性质的相同点和不同点.
相同点:不论是等式还是不等式,都可以在它的两边加或减同一个数或代数式,乘或除以同一个正数,而保持符号不变.
不同点:(1)对于等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数,情况是一样的,等式仍然成立;但对于不等式,在它的两边乘或除以同一个正数或同一个负数却大不一样:当两边乘或除以的是正数时,不等号的方向不变,而当两边乘或除以的是负数时,不等号的方向要改变.这是等式没有的性质,它是不等式特有的,在运用不等式的性质时要特别注意这一点.(2)由于不等号“>”或“<”具有方向性,所以叙述不等式的性质时不能像等式那样笼统地说“……仍是不等式”,而应明确表明变形后的不等式中的不等号的方向是改变还是不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个不为0的数时,首先要判断该数的正、负性,再决定变号与否.

不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

1.若a>b,则a- b>0,其根据是 (　　)
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2
C.不等式的性质3 D.以上选项均不对
解析:根据不等式的性质1,不等式两边都减去b,得a- b>0.故选A.
2.若x>y,则下列式子错误的是 (　　)
A.x- 3>y- 3 B.- 3x>- 3y
C.x+3>y+3 D.>
解析:由不等式的性质1,2可知把不等式x>y两边分别减3,加3,除以3,不等号的方向均不变,所以选项A,C,D正确,而由不等式的性质3可知把不等式x>y两边同时乘- 3,不等号方向应改变,所以选项B错误.故选B.
3.若ax<5a的两边同时除以a后变为x>5,则a的取值范围是 (　　)
A.a<0 B.a>0
C.a<0(或a=0) D.a>0(或a=0)
解析:两边同时除以a,不等号方向发生了改变,说明a是负数,即a<0,注意a不能等于0,若a=0,则原不等式不成立.故选A.
4.利用不等式的性质填“>”或“<”.
(1)若a>b,则2a　　　　2b; 
(2)若- 2y<10,则y　　　　- 5; 
(3)若a<b,c>0,则ac- 1　　　　bc- 1; 
(3)若a>b,c<0,则ac+1　　　　bc+1. 
〔解析〕　根据不等式的两边发生的变化和不等式的性质解题.
答案:　(1)>　(2)>　(3)<　(4)<
第1课时
1.探究不等式的性质
2.不等式的性质
性质1
性质2
性质3
3.例题讲解
例1
例2

一、教材作业
【必做题】
教材第117页练习.
【选做题】
教材第120页习题9.1第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列命题正确的是 (　　)
A.若a>b,b<c,则a>c B.若a>b,则ac>bc
C.若a>b,则ac2>bc2 D.若ac2>bc2,则a>b
2.已知实数a,b,若a>b,则下列结论正确的是 (　　)
A.a- 5<b- 5 B.2+a<2+b
C.< D.- 3a<- 3b
3.由x<y得ax>ay的条件是 (　　)
A.a>0 B.a<0
C.a=0 D.无法确定
4.由不等式a- 2>3得a>5,变形的根据是　　　　. 
5.用不等号填空,并说明是根据不等式的哪一条性质.
(1)若x+2>5,则x　　　　3,根据　　　　　　　　; 
(2)若- x<- 1,则x　　　 ,根据　　　　　　　　. 
【能力提升】
6.已知a<b,有下列不等式:①- 1+a<- 1+b;②- 3a- 3<- 3b- 3;③- a+2<- b+2;④- 2a+2<- 2b+2.其中成立的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.若a是实数,且x>y,则下列不等式中,正确的是 (　　)
A.ax>ay
B.a2x<a2y(或a2x=a2y)
C.a2x>a2y
D.a2x>a2y(或a2x=a2y)

8.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示,则下列式子中正确的是 (　　)
A.a- c>b- c B.a+c<b+c
C.ac>bc D.<
9.若a<2,则- 3a+6　　　　0(填“<”“=”或“>”). 
10.已知a>b,比较每组数的大小,并说明理由.
(1)a- 2,b- 2;　　　(2)- a,- b;
(3)m2a,m2b(m≠0).
【拓展探究】
11.当x=　　　　时,不等式5x+6>2x- 12成立.(在横线上填上你认为恰当的一个数即可) 
12.习题课上,老师在黑板上出了一道有关7a与6a的大小比较问题,小文不假思索地回答:“7a>6a.”小明反驳道:“不对,应是7a<6a.”小芳说:“你们两人回答得都不完全,把你们两人的答案合在一起就对了.”你认为他们三人谁的观点正确?谈谈你的看法.
【答案与解析】
1.D(解析:选项A.由a>b,b<c不能根据不等式的性质确定a>c;选项B.当c=0时,ac=bc,即也不能根据不等式的性质确定ac>bc;选项C.当c=0时,ac2=bc2,即同样也不能根据不等式的性质确定ac2>bc2;选项D.ac2>bc2中隐含c≠0,则可以根据不等式的性质在不等式的两边除以不等于0的c2,从而确定a>b.故选D.)
2.D(解析:对A,B,C,D四个选项中的不等式逐一验证,首先看不等式两边进行了什么运算,然后再判断这个运算是否符合不等式的性质,从而得出正确的结论.不等式的性质有三条,分别是:(1)不等式两边加(或减)同一个数或式子,不等号的方向不变,由此确定选项A,B都是错误的;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,由此确定选项C是错误的;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,由此确定选项D是正确的.故选D.)
3.B(解析:根据不等式的性质3:不等式的两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变解答.因为不等式的两边乘a,不等号的方向改变,所以a<0.故选B.)
4.不等式的性质1(解析:根据不等式的性质1,不等式两边加2得a>5.)
5.(1)>　性质1　(2)>　性质3
6.A(解析:因为a<b,所以由不等式的性质2,得a<b,再由不等式的性质1,得- 1+a<- 1+b.已知条件中的不等式中只有①正确.故选A.)
7.D(解析:当a=0时,ax=ay,a2x=a2y;当a≠0时,a2>0,因为x>y,所以a2x>a2y.综上,得a2x>a2y(或a2x=a2y).故选D.)
8.B(解析:本题考查了不等式的性质,掌握不等式的三个性质以及读懂数轴上的数是解题的关键.从图上可知a<b<0<c,所以a±c<b±c,选项A是错的,选项B是对的;选项C应该是ac<bc,错用不等式的性质2;选项D应该是>,错用不等式的性质3.故选B.)
9.>(解析:由a<2,根据不等式的性质3,两边乘- 3,得- 3a>- 6;再根据不等式的性质1,两边加6,得- 3a+6>0.)
10.解:(1)a- 2>b- 2.因为a>b,运用不等式的性质1:两边减2,得a- 2>b- 2.　(2)- a<- b.因为a>b,运用不等式的性质3:两边乘- ,得- a<- b.　(3)m2a>m2b.因为m≠0,所以m2>0,所以运用不等式的性质2:两边乘m2,得m2a>m2b.
11.2(解析:先根据不等式的性质,将5x+6>2x- 12变形得到x>- 6,只要在x>- 6这一范围内任取一个数即可.答案不唯一.)
12.解:他们三人的观点都不正确,因为没有全面考虑a的性质,小文、小明分别是把a看作正数、负数来考虑的,显然都不全面.小芳虽然考虑了a的正、负性,但忽略了a为0的情形.正确的观点是:(1)当a>0时,根据不等式的性质2知7a>6a;(2)当a<0时,根据不等式的性质3知7a