山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册 4.2 黄金分割教案 北师大版.doc

4.2黄金分割教案

教学目标：
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
教学重点与难点：
重点：了解黄金分割的意义，并能运用.
难点：找黄金分割点和画黄金矩形.
教法与学法指导：
教法：贯彻“自主参与、自主探究、合作交流、自主构建”的教育理念，采用探究性课堂教学开放模式，让学生在自主、合作、探究的浓厚氛围中掌握知识、形成技能、培养情感，充分体现科学性与人文性的统一.
学法：自主探究与小组合作相结合
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、 创设情境，自然引入
同学们认识图片中的人吗？
对了，这就是大师达•芬奇的名作——《蒙娜丽莎》
大家看到这幅画有什么感觉呢？
是不是觉得很美，为什么500年来，大家对她的微笑一直迷恋不已呢？
在这节课中，就让我们去探索这个秘密！

设计意图：从学生熟悉的现实生活出发，唤醒学生对美的感受，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，搭建一个自主体验、合作探究、自主构建的认知平台，提高了学生的学习兴趣，同时也让学生体会到数学来源于生活，服务于生活的道理．
二、交流讨论 探索新知
师：我们曾无数次的参加过升旗仪式，不知你可曾留意红旗上的五角星，它有什么特点呢？
生：……
师：下面我们就来研究这个问题

师：上图是一个五角星图案，我们不妨在图上找出三个点A、B、C，在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？
（学生动手测量并计算）
师：所以我们把这种关系抽象到线段上来，就是我们所要讨论的黄金分割的定义
那么哪位同学能尝试着概括出来呢？
（学生尝试总结互相补充）
师：非常好，概括的很准确，好，现在让我们共同看一下黄金分割的定义：
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
让我们回到本节课开始时的问题

这是缩略图中蒙娜丽莎五官的比例，让我们计算一下
（学生分组测量并计算比值）
师：现在我们知道为什么她的微笑这么动人了！
还有哪位同学能举出你所知道的黄金分割的应用呢？
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
设计意图：通过学生亲自动手操作、计算，亲自经历知识的形成过程，自己发现AC/AB=BC/AC，阅读课本形成概念，培养学生综合运用线段比的能力和探究的能力，同时养成良好的读书习惯.
师：既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
师：你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=≈0.618
∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
设计意图：引导学生探究黄金分割的多种作法，从一般到特殊给予推理验证，培养学生的逻辑推理能力.使知识与技能螺旋式上升，并增强合作交流意识，让学生在合作交流中体验成功与快乐.
3.想一想

古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
师：请大家互相交流.
生：因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
师：在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
设计意图：学生自己发现巴台农神庙的轮廓为黄金矩形，体会黄金分割的文化价值.
三、学以致用，知识反馈
1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？

A
B
C
图2
A
B
C
图1

解：如图1，若AC是BC与AB的比例中项：则AC≈0.618×4cm=2.472 cm；
如图2，若BC是AC与AB的比例中项：则BC≈0.618×4cm=2.472 cm；
∴AC≈1.528 cm
2、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）；
解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为xcm，
根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618（153 + x），解得：x≈6.7
3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长；
解：∵点C、D是AB的黄金分割点，
∴AC=BD≈0.618·AB=0.618，
∴BC≈1—0.618=0.382
∴CD≈0.618—0.382=0.236
答: CD的长约为0.236
设计意图：通过学生反复的练习及时发现问题并及时予以纠正，并在此基础上初步让学生体会因式分解的应用.
四、课堂小结，反思提高
师：紧张而愉快的一节课过去了，相信每个同学都有所收获.下面让我们一起说说本节课的收获以及还存在的疑惑吧！
我发现了生活中......
我学会了......
使我感到最困难的是......
我想进一步研究的是......
设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互学习，共同提高，使学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.
五、达标检测，反馈矫正
1、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适.这个气温约为_______ oC (精确到1 oC).
2、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？
设计意图：通过检测纠错，有针对性的对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时有效的进行反馈，让老师及时、准确的掌握学生的课堂学习效果，为下一节课的学习做好准备．
六、布置作业，课后促学
必做题：课本 第113页 习题4.3 第1题.
选做题：课本 第113页 习题4.3 第3、4题.
板书设计：
4.2 黄金分割
引入

黄金分割
2.作一条线段的黄金分割点

黄金矩形

学生板演区

教学反思：
八年级的学生对事物的感性认识丰富，正在向抽象思维转型，本节课让学生在丰富的实际情境中认识黄金分割并应用黄金分割解决生活中的问题，促使学生从感性向理性发展，从形象思维向抽象思维转型.八年级的学生已具备了一定的学习能力，所以本节课为学生创造了自己读书、自己计算、自己探索、合作交流等机会，促使学生在自主合作的探究中学会如何学习.八年级的学生尚未学习一元二次方程，所以对于黄金比，只要接受事实即可.而对于黄金分割的作图，可以使用三角板和刻度尺，因为他们所学的尺规作图有限，估计接受作图时有困难，所以本节课的难点是黄金分割的作图.
不足之处：有些学生只顾看热闹了，知识掌握不到位，在应用时有些学生较混乱，小组不能兼顾，只能在课下抽点时间辅导了.