七年级数学上册 有理数的乘方教案 北师大版.doc

有理数的乘方 教学设计
教学设计思想
本节内容是在学生学习了有理数的乘法运算后引入的，旨在简化相同因数的积的形式，同时也是为以后学习数的开方、二次根式等有关内容打基础的，故本节内容具有承前启后的重要作用。引入课题时，教师给学生创设问题情境，鼓励学生积极参与，可以调动学生积极性。讲解时把课堂时间还给学生，把思维空间让给学生，教师创设数学情景让学生去自主的学，不把有理数的乘方的“计算方法”硬塞给学生。
课时安排
2课时
第一课时
教学目标
知识与技能
1．在现实背景中感受有理数乘方的意义．
2．能进行有理数的乘方运算．
过程与方法
通过实际背景感受乘方的意义，探索乘方运算的方法，发展观察、分析、比较、归纳、概括的能力．
情感与价值观
积极参加数学学习活动，增强自主学习、合作学习意识．
教学重点
有理数乘方的意义．
教学难点
1．理解有理数乘方的意义上有困难．
2．合理进行乘方运算．
教学方法
讲练结合，合作探究
教具准备
细胞分裂示意图
投影片四张
第一张：练习（记作§2．10．1 A）
第二张：例1（记作§2．10．1 B）
第三张：例2（记作§2．10．1 C）
第四张：法则（记作§2．10．1 D）
教学过程
Ⅰ．创设情景问题，引入课题
［师］我们知道，每个生物体都是由细胞组成．动物由动物细胞组成，植物由植物细胞组成．活的细胞和生物体一样，也经过生长、衰老、死亡几个阶段．细胞本身的繁殖是以细胞分裂方式进行的．大家来观察一幅某种细胞分裂示意图：（出示“细胞分裂示意图”）

这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．
想一想:经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
［生］1个细胞30分钟后分裂成2个，1个时分裂成4个，1．5小时后分裂成8个，2小时后分裂成16个，……，5小时后，这种细胞由1个能分裂成1024个．
［师］对，1个细胞30分钟后分裂成2个，这是第一次分裂；1小时后分裂成4个，可以写成2×2，这是第二次分裂，1．5小时后分裂成8个，可写成2×2×2，这是第三次分裂，2小时后分裂成16个，也可写成2×2×2×2，这是第四次分裂，依次类推，想一想：5小时要分裂多少次？
［生甲］5小时要分裂10次．
［生乙］老师，我知道了，经过一次细胞分裂，1个可分裂成2个，经过二次分裂，1个可分裂成2×2个，经过三次分裂，1个可分裂成2×2×2个，这样依次类推，经过十次这样的分裂，1个便可分裂成
即1024个．
［师］乙同学分析得很好，经过十次分裂后，1个细胞可以分裂成：=1024个，但10个2相乘写起来挺麻烦的，为了简便，可将 ， 记为210，210表示有10个2相乘，我们把这种运算叫乘方．今天我们就来探讨有理数的乘方．
Ⅱ．讲授新课
［师］在小学中，我们把a×a记作a2，读作a的平方，或a的二次方．想一想：a×a表示什么？
［生］表示边长为a的正方形面积．
［师］对，还把a×a×a记作a3，读作a的立方，或a的三次方．那a×a×a表示什么？
［生］表示棱长为a的正方体的体积．
［师］很好，刚才我们又把 记作210．
一般地，我们有：n个相同的因数a相乘，记作an，即：
这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（Power）．乘方的结果叫做幂（Power）．在an中，a叫做底数（Base numBer）．n叫做指数（exponent）．an读作a的n次方．an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂．

在这儿需要注意：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．
如：在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂．
下面我们做一练习来熟悉这些概念（出示投影片§2．10 A），口答：
1．填空：
（1）（－1）12的底数是_____，指数是_____．
（2）（－3）11表示_____个_____相乘．
（3）（－）5的指数是_____，底数是_____．
（4）7．54的指数是_____，底数是_____．
［生］（－1）12的底数是－1，指数是12．
（－3）11表示11个－3相乘．
（－）5的指数是5，底数是－，
7．54的指数是4，底数是7．5．
［师］很好．那5的底数是什么？指数是什么？
［生］5的底数是5，没有指数．
［师］对吗？
……
［师］在这里需要注意：一个数可以看成这个数本身的一次方．如：5就是51，指数1通常省略不写．大家也可以这样理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．
an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算．
下面通过例题来熟悉有理数的乘方运算．（出示投影片§2．10 B）
［例1］计算：
（1）53； （2）（－3）4； （3）（－）3
分析：乘方就是几个相同因数的积的运算，所以可用有理数的乘法运算来进行乘方运算．
解：（1）53=5×5×5=125．
（2）（－3）4=（－3）·（－3）·（－3）·（－3）=81．
（3）（－）3=（－）·（－）·（－）=－
注意：（1）当底数是负数或分数时，书写时一定要先用小括号将底数括上，再在其右上角写指数．如：（－3）4不能写成－34，（－）3不能写成－3．
（2）在不会引起误解的情况下，乘号也可以用“·”表示．例如：
（－3）×（－3）×（－3）×（－3）×（－3）
可写成：（－3）·（－3）·（－3）·（－3）·（－3）
接下来，我们做一练习来熟悉有理数的乘方运算（出示投影片§2．10 C）
1．计算：
（1）（－1）10； （2）（－1）7； （3）83；
（4）（－5）3； （5）（－0．1）3；（6）（－）4．
2．计算：
（1）102、103、104；（2）（－10）2，（－10）3，（－10）4．
［生］解：（－1）10=1；
（－1）7=－1；83=512；（－5）3=－125；
（－0．1）3=－0．001；（－）4=；
102=100；103=1000；104=10000；
（－10）2=100；（－10）3=－1000；
（－10）4=10000
［师］很好，大家都注意了底数是负数的乘方的表示．下面我们来观察刚才练习题的结果，你能发现什么规律？可互相交流．
［生］正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
［师］对．大家从计算结果中，归纳出乘方运算的符号法则：（出示投影片§2．10 D）
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
很好．大家再想一想：0的任何次幂等于多少？1的任何次幂等于多少？以10为底数的幂有何特点？
［生］由有理数的乘法可以得到：0的任何非零次幂等于0，1的任何次幂等于1．
10的几次幂，在1的后面有几个0．
［师］这位同学总结得非常正确．下面，我们通过课堂练习进一步熟悉有理数乘方的概念及其运算．
Ⅲ．课堂练习
课本P73 随堂练习
1．（1）在74中，底数是_____，指数是_____．
（2）在（－）5中，底数是_____，指数是_____．
答案：（1）7，4；（2）－，5
2．计算：
（1）（－3）3；（2）（－1．5）2；（3）（－）2
解：（1）（－3）3=（－3）·（－3）·（－3）=－27
（2）（－1．5）2=（－1．5）·（－1．5）=2．25
（3）（－）2=（－）·（－）=
3．一个数的平方为16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？
答案：一个数的平方为16，这个数是4或－4．一个数的平方可能是零．0的平方是0．
4．看课本P72~73
5．试一试
设n为正整数，计算：
（1）（－1）2n． （2）（－1）2n+1．
分析：n为正整数时，2n表示偶数，2n+1表示是奇数．所以由乘方的符号法则，即可得出．
解：（－1）2n=1 （－1）2n+1=－1
Ⅳ．课时小结
本节课主要学习了有理数的乘方的意义．有关概念及其有理数乘方运算．通过本节的学习，要明确乘方和加、减、乘、除一样，是一种运算，是求n个相同因数的乘积的运算．乘方实质是一种特殊的乘法运算．幂与和、差、积、商一样，是乘方运算的结果．乘方运算与加减乘除的运算步骤一样，先确定符号，再计算绝对值．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P74习题2．13 １、2、3．
3．1米长的小棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第七次后剩下的小棒有多长？
解：第七次后剩下的小棒有：（）7=××××××=（米）
（二）预习内容：课本P75．准备一张白纸．
Ⅵ．活动与探究
1．如果｜a+1｜+（b－2）2=0，求（a+b）39+a34的值．
过程：让学生通过讨论、探索知道：任何一个数的绝对值是一个非负数；任何一个数的平方也是一个非负数；两个非负数的和等于0，则这两个数都为0．这样：a、b即可解出．
结果：因为｜a+1｜+（B－2）2=0
所以a+1=0，b－2=0
即a=－1，b=2
因此（a+b）39+a34=［（－1）+2］39+（－1）34=1+1=2．
2．用计算器补充完整下表：
31
32
33
34
35
36
37
38
3
9
27
81

从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？3225的个位数是什么数字？为什么？
过程：让学生用计算器填完表后，认真观察，找出规律，根据规律，确定3225的个位数字．
结果：
31
32
33
34
35
36
37
38
3
9
27
81
243
729
2187
6561
从表中发现3的方幂的个位数呈周期性变化，变化周期是4．
因为225=56×4+1，所以3225的个位数是3．
板书设计
§2．10．1 有理数的乘方（一）
一、乘方：

二、例1
例2
三、乘方的符号法则
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业

第二课时
教学目标
知识与技能
1．准确进行有理数的乘方运算．
2．通过实例感受当底数大于1时，乘方的运算结果增长得很快．
过程与方法
感受有理数的乘方与实际问题之间的联系，发展把数学知识与实际问题联系的能力．
情感与价值观
1．通过折纸活动，激发学生学习的兴趣．
2．通过活动来提高动脑、动手的能力，体会数学与现实生活的联系．
教学重点
正确地进行有理数的乘方运算．
教学难点
有理数乘方的意义的进一步理解．
教学方法
讲练相结合，合作探究
教具准备
投影片二张
第一张：练习（记作§2．10 A）
第二张：例题（记作§2．10 B）
教学过程
Ⅰ．复习回顾，引入课题
［师］上节课我们探讨了有理数乘方的意义，谁来叙述什么是有理数的乘方？
［生］求n个相同因数的积的运算叫乘方．
［师］对，n个相同的因数a相乘，可记作an，即
注意：这里的a可以是正数、负数，也可以是0．
在乘方运算中，我们还知道了底数、指数、幂的概念．能用示意图表示幂、底数、指数之间的关系吗？
［生］能．

［师］很好，底数就是指相同的因数．指数是指相同因数的个数．幂就是乘方的结果．
下面我们做一做练习进一步熟悉有理数乘方的意义及其有关概念（出示投影片§2．10 A）
1．填空：
（1）310的意义是_____个3相乘．
（2）平方等于1的数是_____，绝对值等于1的数是_____．
（3）一个数的15次幂是负数，那么这个数的1999次幂是_____．
（4）（－2）6中指数是_____，底数是_____．
（5）平方等于的数是_____，立方得的数是_____．
2．计算：
（1）（－）3; （2）（－5）4．
答案：1．（1）10;（2）±1 ±1;（3）负数 （4）6 －2；（5）±
2．（1）－ （2）625
［师］大家做得很好，我们这节课继续学习有理数的乘方．
Ⅱ．讲授新课
［师］大家拿出准备好的白纸，我们来共同搞个折纸活动．
我们每人手里拿的白纸的厚度大约是0．1毫米，将它对折1次后，厚度应为多少？
注意：要一边折，一边想．
［生］对折1次后，厚度应为2×0．1毫米．
［师］好，那对折2次后，厚度为多少毫米呢？
［生］对折2次后，厚度为0．4毫米．
［师］对，那对折3次呢？
［生］对折3次后，厚度为0．8毫米．
［师］想一想，对折10次后，厚度应为多少毫米呢？
［生］老师，我知道了．上节课谈到细胞分裂时，说1个细胞分裂成2个，经过分裂10次后，1个细胞就可分裂成1024个，那一张纸经过对折10次后，那厚度就应该是一张纸厚度的1024倍．即：0．1×1024=102．4（毫米）．
［师］这位同学能把新旧知识联系起来很好，大家要学习这种“温故而知新”的方法．以便于掌握更多知识．
对折10次后，可知其厚度，那对折20次后，厚度为多少毫米？假如每层楼平均高度为3米，这张纸对折20次后有多少层楼高？大家可以先估算，猜测一下结果．
［生甲］这张纸对折20次后，厚度大约有100多米，约有30多层楼高．
［生乙］不对，哪有那么高，大约只有20多层吧．
（同学们讨论得非常激烈）
［师］好了，到底谁估算得差不多呢？我们来验证．一张纸对折20次后，厚度到底有多少毫米呢？
［生］一张纸对折20次后，厚度应该为：（0．1×220）毫米．
［师］对，对折1次后，其厚度为0．1×2毫米，对折2次后，其厚度为0．1×22毫米……．对折20次后，其厚度为0．1×220毫米，那有多少米呢？来计算一下．
［生］0．1×=0．1×=0．1××
=0．1×1024×1024=104857．6（毫米）=104．8576（米）
［师］对，1张薄薄的纸对折20次后竟有100多米高．它有多少层楼高呢？讨论一下．
［生］大约有35层楼高？
［师］很好，当一张纸对折20次后，其厚度比30层楼还要高．由此可以看出：乘方运算在现实生活中运用较广，因而我们要理解、掌握有理数乘方的意义及其运算．
下面我们看一例题（出示投影片§2．10 B）
［例1］计算：
（1）－（－3）2; （2）－（－2）3；（3）－（－）3; （4）－．
分析：（1）－（－3）2表示（－3）2的相反数．即－（－3）2=－（－3）·（－3）．
（2）－（－2）3表示（－2）3的相反数，即：－（－2）3=－（－2）·（－2）·（－2）
（3）－（－）3表示（－）3的相反数，即：－（－）3=－（－）·（－）·（－）
（4）－表示32除以4的商的相反数．
解：（1）－（－3）2=－（－3）·（－3）=－9
（2）－（－2）3=－（－2）·（－2）·（－2）=－（－8）=8
（3）－（－）3=－（－）·（－）·（－）=－（－）=
（4）－
注意：（1）－（－8）是表示－8的相反数．因为－8的相反数是8，所以－（－8）=8．
（2）－32、（－3）2、－（－3）2有区别：－32表示32的相反数，底数是3；（－3）2的底数是－3；－（－3）2表示（－3）2的相反数，底数是－3；
（3）（－）3与－有区别．（－）3的底数是－，最后结果是幂．而－的结果是商，且分子的底数是2．
（4）由（2）、（3）可知：在乘方运算中，当底数是负数或分数时，一定要把整个负数（连同符号）或分数用小括号括起来．
［师］好，下面我们通过练习来掌握有理数的乘方运算．
Ⅲ．课堂练习
1．计算：（学生上黑板板演）
（1）－（）2; （2）－（－）2; （3）－53; （4）－．
解：（1）－（）2=－
（2）－（－）2=－
（3）－53=－125
（4）－
2．试一试：
一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？
答案：设这个数为x．
（1）当x=±1、0时，x2=｜x｜即：当这个数为±1或0时，这个数的平方与这个数的绝对值相等．
（2）当x＞1或x＜－1时，x2＞｜x｜．即：这个数大于1或小于－1时，这个数的平方大于它的绝对值．
（3）当－1＜x＜0，0＜x＜1时，x2＜｜x｜．即：这个数在大于－1、小于1且不等于0时，这个数的平方小于它的绝对值．
3．读一读．
棋盘上的学问
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋．为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒，……，一直到第64格”．“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”
你认为国王的国库里有这么多米吗？
分析：第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，即22粒，然后是23粒、24粒、25粒、……、264粒．这样，这个棋盘上总共能放1+2+22+23+24+25+…+264（粒），即（265－1）粒．
结果：国王的国库里没有这么多米．
Ⅳ．课时小结
通过本节课的学习，又一次体会到当底数大于1，指数增大时，乘方运算的结果增长得速度很快．进一步加深了对乘方意义的理解．也能正确地进行有理数的乘方运算．
Ⅴ．课后作业
（一）看课本总结有理数的加、减、乘、除、乘方的法则及计算方法．
（二）课本P76习题2．14 1、2．
2．面积为1米2的长方形纸片，第一次裁去一半，第二次裁去剩下的一半，如此裁下去，第八次后剩下纸片的面积是多少？
解：第八次后剩下纸片的面积为：（）8=（米2）
（三）两人准备一副扑克牌．
Ⅵ．活动与探究
初一“数学晚会”上，有10名同学藏在10个大盾牌后面；男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌，如图．

请你说出盾牌后面男、女同学各有几人？
过程：让学生讨论、活动．本题中，由于男生对应表示正数的盾牌、女生对应表示负数的盾牌．因此只要判断每个盾牌前面所写的是正数还是负数就足够了．
结果：这10个盾牌前面所写的数中有4个负数，6人正数．所以盾牌后面有4个女同学，6个男同学．
2．计算：0．1258×87
过程：让学生先观察，不要急于动笔．找出简便方法后再计算．
结果：0．1258×87=0．125×0．1257×87=0．125×（0．125×8）7=0．125×1=0．125
板书设计
§2．10．2 有理数的乘方（二）
一、乘方的意义
例1
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业