浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 1.2反比例函数的图像和性质教案 浙教版.doc

§1.2反比例函数的图像和性质（1）
一、教材背景分析
到九年级上册一开始就学习“反比例函数”．这样编排的好处是因为反比例函数根据《数学课程课标》与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：其一性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；其二在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力．与原浙教版相比，降低的地方是删去了反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．从编排顺序来看，原来浙教版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中，编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数．本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式．在八年级上册安排了 “图形与坐标”、 “一次函数”， 反比例函数图像对思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件。
二、学习类型与任务分析
①学习结果类型分析
（一）学习结果：会画反比例函数的图像，通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数图象的性质。
（1）反比例函数解析式和图像是数学事实；
（2）反比例函数是数学概念；
（3）用“描点法”画函数图像的一般步骤是数学原理；
（4）用“描点法”画反比例函数图像是数学技能；
（5）从函数解析式到函数图像的画法的数形结合的思想数学思想方法；
（6）根据函数图像性质求自变量与函数的取值范围是数学问题解决。
②学习形式类型分析
（二）学习形式：由于反比例函数的图像是根据反比例函数解析式用描点法得到的这是在原有知识的基础上学习一个水平更高的概念，常常采用发现学习的模式。因此本课采用上位学习形式。
③学习任务分析

画反比例函数图像

解析式(k为常数，k≠0)

反比例函数的图像性质

（三）学习任务：

三、学生情况分析
①学生的起点能力
（1）函数的三种表示方法；
（2）反比例函数的概念；
（3）用描点法画函数图像的一般步骤。
四、教学内容分析
进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳
概括出反比例函数图像的性质。
五、教学目标
1．知识与技能
（1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象
纳概括出反比例函数的性质。
（2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提
升学生对数形结合思想的认识。
2．过程与方法
通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。
3．情感、态度与价值观
由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。
六、教学重点、难点
重点是反比例函数的图象及图像的性质；
难点是由于反比例函数的图像分成两支，给画图带来了复杂性，因此反比例函数的图象特点及性质的探究是难点。
七、教学准备
多媒体，坐标纸。
八、教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计说明

创
设
情
景

以
旧
探
新
创设情景，复习旧知
（多媒体创设情景：图片及问题）：长方形的一边长为4，面积y和另一边长x之间有什么关系？
 此函数的图象是怎样的？如何画出它的图象呢？

设疑激情，导入新课
（多媒体展示第二个问题）：如果长方形的面积为4，一边长x和另一边长y之间又有什么关系呢？
y=4x，y是x的正比例函数。

经过原点的一条直线。过原点（0，0）和（1，4）两点作一条直线，就是它的图象。

xy=4，y=4/x，y是x的反比例函数。
通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。

尝
试
发
现

探
索
新
知 
华罗庚教授曾深刻指出：“数无形，少直观；形无数，难入微”那么，请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？
这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，本节课就让我们一起来实践吧。

同学们还记得作函数图象的步骤吗？
 下面请同学们试着作出反比例函数y=4/x的图象。

（巡视、指导）

现在出现四种不同类型图象，请同学们认真观察、分析，他们画的都正确吗？如果不正确，请指出错在哪里？
（对学生的回答予以恰当的指导并鼓励表扬）

（多媒体演示正确画法：列表、描点、连线）

同学们思考、猜想。

列表，描点，连线。
学生动手画图。

观察、思考。
合作交流，分组讨论。
派代表回答。

因为学生初次遇到非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图过程中，我给学生充足的思考和交流时间。

通过展示几种典型的错误作图，引导学生交流讨论，分析并发现问题、归纳总结出作反比例函数图象时要特别注意的几个问题。
这样设计，通过自我尝试、发现问题、纠正错误的过程，以及学生自主探究、合作交流、反馈评价，培养学生团结

尝
试
发
现

探
索
新
知

议一议
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？图象可能与坐标轴相交吗？为什么？与同伴进行交流。
学生容易总结出：
1、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；
2、列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；
 （选具有代表性的几位同学的作品用投影展示）

3、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用折线。
4、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相交。

（多媒体汇总出4条注意事项）

思考、交流、回答。
协作的情感和勇于探索、创新的精神； 而生动形象的多媒体表现形式，更激发了学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学的兴趣。。

通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，培养了学生思维的灵活性和深刻性。

尝
试
发
现

探
索
新
知
 做一做
请同学们动手用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象。

（多媒体演示正确图象，让学生对照参考）
 想一想
上面是函数y=4/x和y=-4/x的图象，请大家对比着探索他们的异同点？

（根据学生回答情况，引导归纳出：1、反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线组成的，并指出这两支曲线称为双曲线。2、反比例函数y=4/x的图象位于第一、三象限内，而y=-4/x的图象位于第二、四象限内）

应用拓展，加深理解
提出问题：同学们再仔细观察、思考一下，每个函数的图象，是否为对称图形？

（多媒体动画演示：反比例函数的轴对称性和中心对称性）

学生独立完成。

观察回答。

感悟、思考。

 通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。

多媒体演示，既增强了直观性，同时也使同学们从中感悟图形美。

师
生
互
动

层
层
深
入
看一看，找一找
（多媒体展示）
观察反比例函数y=2/x,y=4/x,y=6/x,y=-2/x,y=-4/x,y=-6/x的图象：
你能发现什么共同特征吗？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每一个象限内，随着x 的增大，y的值是怎样变化的？你能说说这是为什么吗？
（巡视、指导）
（根据回答情况，及时鼓励表扬）

想一想，试一试
通过对以上问题的探讨，你能总结出反比例函数y=k/x（k≠0）的图象都有哪些性质吗？

（多媒体表格和文字式展示性质）
 反比例函数y=k/x，当k>0时，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值x值的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

观察分析，合作交流，分组讨论。

小组代表发言。

通过学生对问题（1）和（2）的探索、交流、归纳，概括出反比例函数的性质。

通过学生经历对反比例函数的探索，开动脑筋，发现规律。既梳理了学生的思维，又极大的活跃了课堂气氛，使学生在轻松愉快的探索、交流、合作过程中，自然而然的掌握了反比例函数的图

强
化
新
知

巩
固
提
高
随堂练习，反馈评价
（多媒体出示习题）
1、下列函数中，其图象图象第一、三象限的有_______；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有__________.
（1）y=1/2x （2）y=0.3/x
（3）y=10/x （4）y=-7/100x
2、若y=(a-1)xa是反比例函数，则它的解析式为________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而_________.
变式训练，启迪创新
若点A(7,y1)，点B(5,y2)在双曲线y=2/x上，则y1与y2的大小关系是_______.
在此基础上做变式训练。
（1）若A(-7,y1)，点B(-5,y2)呢？
同一象限按增减，跨越象限怎么办？
（2）若A(7,y1)，点B(-5,y2)呢？
（3）若A(-7,y1)，点B(5,y2)呢？
 (巡视学生做题情况，注意纠正带有倾向性的问题)

动手练习。
象和性质。

这几个练习由浅入深、由易到难，使学生进一步巩固和理解反比例函数的图象及性质。根据学生所做情况，发现问题，及时纠正。

变式训练的设计，从不同的角度对本节课的知识进行巩固，使学生能举一反三、触类旁通。

反
思
小
结

系
统
升
 华 
学生自主总结，畅谈体会和收获：
本节课——
我学会了……
使我感触最深的是……
我感到收获最大的是……
结合学生所述，教师给予指导，对学生的发言及时鼓励；同时用多媒体展示出正比例函数和反比例函数的系统对照表格。

（多媒体展示表格）

正比例函数与反比例函数的对比
函 数
正比例函数
反比例函数
图 象

解析式
y=kx(k≠0)
y=k/x(k≠0)
自变量取值范围
全体实数
x≠0的一切实数
图象的位置
k>0时,在一、三象限
k>0时,在一、三象限
k<0时,在二、四象限
k<0时,在二、四象限
性 质
k>0时,y随x增大而增大
k>0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而减小
k<0时,y随x增大而增大

学生围绕自身感触最大的方面畅谈体会，以获得情感、态度、价值观的升华。

观察、理解、记忆。
以此促进师生心灵的交流，对自己清醒的认识和总结，必然促进自主学习，获得可持续发展的动力。

通过对比使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，有利于理解、记忆和应用。

布
置
作
业

应
用
新
知
1、必做题：
（1）在同一坐标系中，作出函数y=1/x，y=-1/x的图象；
（2）反比例函数y=6/x上有两点A（x1,y1）和B（x2,y2）若x1〉x2，则y1和y2有怎样的关系？
 2、选做题：
在反比例函数y=(-a2-1)/x (a为常数)的图象上有 A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3)三点，则函数值y1、y2、y3的大小关系是________。
 3、探索题：
在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与 S2有什么关系？为什么？

课后有选择的完成
分层布置作业，一是必做题，促进知识的巩固；二是选做题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。
九、教学后记
本节课通过学生自主探索、合作交流，以认知规律为主线，以发展能力为目标，以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态度，促进良好的数学观的形成。
在教学手段上，本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料，又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课堂容量。生动形象的动画演示，动感强、直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法。
在教学过程中，采用开放性的课堂研究形式，给学生广阔的思维空间，培养学生自己发现问题、解决问题的能力，特别是课堂上的变式训练，更激发了学生对学习的挑战意识。
教师始终是学生学习的引导者，学生是以研究者、探索者的角色出现在教学过程中，主体地位得到充分体现，这样使得教学过程成为一个再发现、再创造的认识过程。古人云：“授人鱼，不如授人以渔”因此在教学设计中重视学法渗透，自然地把学习方法结合知识传授给学生，让同学们明白，在数学王国里，成功和机遇永远属于那些勤于思考、勇于探索的人。