秋九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1　点和圆的位置关系

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用．
2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
4．了解反证法的证明思想．
复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．

重点
点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．
难点
讲授反证法的证明思路．

一、复习引入
(学生活动)请同学们口答下面的问题．
1．圆的两种定义是什么？
2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？
3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？
4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．
(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．
(3)都等于半径．
(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．
二、探索新知
由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，
则有：点P在圆外⇒d>r；
点P在圆上⇒d＝r；
点P在圆内⇒d<r；
反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．
因此，我们可以得到：
设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，
则有：点P在圆外⇔d>r；
点P在圆上⇔d＝r；
点P在圆内⇔d<r.
这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
下面，我们接着研究确定圆的条件：
(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．
(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？
(老师在黑板上演示)
(1)无数多个圆，如图(1)所示．
(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．
其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．

(3)作法：①连接AB，BC；
②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；
③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
即不在同一直线上的三个点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．

证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段BC的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．
例1　某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．

作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；
(2)作两线段的中垂线，相交于一点O.
则O就为所求的圆心．图略．
三、巩固练习
教材第95页　练习1，2，3.
四、课堂小结
(学生总结，老师点评)
本节课应掌握：
1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则

2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3．三角形外接圆和三角形外心的概念．
4．反证法的证明思想．
5．以上内容的应用．
五、作业布置
教材第101，102页　习题1，7，8.
24．2.2　直线和圆的位置关系(3课时)
第1课时　直线和圆的三种位置关系

(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念．
(2)理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.

重点
理解直线和圆的三种位置关系．
难点
由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．

一、复习引入
(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.

则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；
点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；
点P在圆内⇔d<r，如图(c)所示．
二、探索新知
前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？
(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
(老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
(老师板书)如图所示：

如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图(b)，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图(c)，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到l的距离的三种情况．
(学生分组活动)：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？
老师点评：直线l和⊙O相交⇔d<r，如图(a)所示；

直线l和⊙O相切⇔d＝r，如图(b)所示；
直线l和⊙O相离⇔d>r，如图(c)所示．
例1　如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图，过C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ABC中，
BC＝＝4.
∴CD＝＝2，
因此，当半径为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到直线AB的距离d＝2 cm，所以
当r＝2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r＝4时，d<r，⊙C与直线AB相交．
三、巩固练习
教材第96页　练习
四、课堂小结
(学生归纳，总结发言，老师点评)
本节课应掌握：
1．直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d则有：
直线l和⊙O相交⇔d<r；
直线l和⊙O相切⇔d＝r；
直线l和⊙O相离⇔d>r.
五、作业布置
教材第101页　习题第2题．
第2课时　圆的切线

1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．
2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．

重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．
难点
探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．

活动1　动手操作
要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
活动2　探索切线的判定定理
1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现此问题和上节课所学内容的联系吗？

3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语言描述：
文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．
几何语言描述：如上图，∵OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C.
引导学生观察下面两个图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．

4．讲解教材第98页例1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本模式．
活动3　性质定理
1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．假设半径OA与l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质有________＜________，∴直线l与⊙O________.这就与已知直线l与⊙O相切矛盾，∴假设不正确．因此，半径OA与直线l垂直．
2．学生总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
3．教师引导学生辨别切线的判定定理与性质定理的区别与联系．
切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用．
活动4　巩固练习
1．(1)下列直线是圆的切线的是(　　)
A．与圆有公共点的直线
B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．过圆的直径外端点的直线
(2)如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和⊙O的位置关系是________．
,第(2)题图)　　　　,第(3)题图)
(3)如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．
2．教材第98页　练习第1，2题．
答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接OC，OD；2.略．
活动5　课堂小结与作业布置
课堂小结
1．知识总结：两个定理：切线的判定定理是________；切线的性质定理是________．
2．方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法．
(2)证明切线的方法：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
(3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件．
作业布置
教材第101页　习题24.2第4～6题．
第3课时　切线长定理

了解切线长的概念．
理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．

重点
切线长定理及其运用．
难点
切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．

一、复习引入
1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2．点和圆有几种位置关系？
3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？
老师点评：(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．
(2)(口述)点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.
(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．
问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．
老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
从上面的操作我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
下面，我们给予逻辑证明．

例1　如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线．
求证：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线．
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
因此，我们得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．
(同刚才画的图)设交点为I，那么I到AB，AC，BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
例2　如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就需添加辅助线，如果连接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．
解：连接AO，BO，CO，
∵⊙O是△ABC的内切圆且D，E，F是切点．
∴AF＝AE＝2，BD＝BF＝3，CE＝CD＝1，
∴AB＝5，BC＝4，AC＝3，
又∵S△ABC＝6，

∴(4＋5＋3)r＝6，
∴r＝1.
答：所求的内切圆的半径为1.
三、巩固练习
教材第100页　练习．
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．圆的切线长概念；
2．切线长定理；
3．三角形的内切圆及内心的概念．
五、作业布置
教材第102页　综合运用11，12