八年级数学下册 19.1 变量与函数教学设计 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级下册数学教案.doc

19.1变量与函数
教学设计思想：
本节一共分为四个课时，第一、二课时主要是对一些概念的学习与应用，这也是本节的难点，要通过结合一些具体的事例来理解．第三、四课时主要是学习函数的三种表示法、运用函数知识解决实际问题，要注意“数形结合”思想方法的运用．
教学目标：
知识与技能：
能叙述常量、变量、函数以及函数图像的意义；
能叙述函数的表示法、自变量的取值范围及函数值的意义；
发展运用函数知识解决实际问题的能力．
过程与方法：
经历画简单函数的图像的过程提高识图能力．
情感态度价值观：
感受变量与函数是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具．
教学重点：
运用函数知识解决实际问题．
教学难点：
常量、变量、函数以及函数图像的意义．
教学安排：
4课时．
教具：
多媒体
教学过程：
第一课时
（一）问题的提出
现请思考下面几个问题：
（1）汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．
t/时
1
2
3
4
5
s/千米

（2）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？
（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l （单位：cm）？
（4）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？
（5）如图，用10m长的绳子围成长方形．试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律．设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S？

这些问题反映了不同的事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y……）的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）．有些量的数值是始终不变的，例如上面问题中的速度60（单位：千米／时），票价10（单位：元）……绳长10（单位：m）以及长方形的长宽之和5（单位：m），我们称它们为常量（constant）．在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．
提问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？
引导学生观察发现：是量的数值变与不变．
应该让学生注意到在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个．常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）．
（二）思考
具体指出上面的各问题中，哪些量是变量，哪些量是常量．
让学生从定义出发指出问题中的变量与常量．
剖析概念
常量与变量必须存在于一个变化过程中．判断一个量是常量还是变量，需着两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．
（三）练习
举出一些变化的实例，指出其中的常量与变量．（充分发挥学生的主体作用，畅所欲言）．
（四）小结
小结对变量与常量意义的理解．
（五）板书设计
变量
问题
两个概念：变量、常量
思考
练习
第二课时
（一）问题的讨论
11.1.1的每个问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？
在问题（1）中，观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值，例如t=1，则s=60；t=2，则s=120……t=5，则s=300．
问题（2）中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值，例如早场x=150，则y=l 500；日场x=205，则y=2 050；晚场x=310，则y=3 100．
问题（3）中，通过试验可以看出：每当重物质量m取定一个值时，弹簧长度l就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每lkg重物使弹簧伸长0．5 cm，那么当m=1时，l=10．5．当m=10时，l等于多少？
问题（4）中，你容易算出：当S=10 cm2时，r=_______cm；当S=20cm2时，r=_______cm．每当S取定一个值时，r随之确定一个值．你能得出：两者的关系为r=_______.
问题（5）中，我们可以根据下表中给出的数值确定长方形一边的长，得出另一边的长，计算长方形的面积，填表并探索变量间的关系．
长x/m
4
3
2.5
2
宽（5－x）/m

面积S/m2

每当长方形长x取定一个值时，面积S就随之确定一个值，S=_________.
引导学生观察发现：对于变量的每一个值，另一变量都有唯一的值与它对应．所以两个变量的关系又可叙述为：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．即一种对应关系．
（二）归纳
上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就________.
在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间上面那样的关系．
（三）观察
（1）下图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？
中国人口数统计表
年份
人口数/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
剖析概念
理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系．判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据．
可以认为：前面问题（1）中，时间t是自变量，里程s是t的函数，t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=_____……同样地，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x 的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=1999时，函数值y=________．
提醒学生注意：判断两个变量是否存在函数关系，不要只从能否存在（或写出）函数关系式入手，这只是表示函数的一种方法（解析法），而应严格按其定义来判定．
从上面可知，许多问题中的变量之间都存在函数关系．
（四）探究
（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：

填表
x
1
3
－4
0
101
y

显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？
（2）在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果．
x
1
2
3
0
－1
y
3
5
7
1
－1
所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含x的式子表示y）．
（五）例题
例1  一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L／km．
（1）写出表示y与x的函数关系的式子．
（2）指出白变量x的取值范围．
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解：（1）行驶里程x（单位：km）是自变量，油箱中的油量y（单位：L）是x的函数，它们的关系为y=50－0.1x．
（2）仅从式子y=50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能取负数，并且行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50L，即0.1x≤50．
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500．
（3）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数
y=50－0.1x在x=200时的函数值．将x=200代入
y=50－0．1x，得y=50－0.1×200=30．
汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．
注意确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．
（六）练习
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．
2．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．
（七）小结
引导学生总结本节的主要知识点．
（八）板书设计
函数
问题的讨论
例题
练习
第三课时
有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如也能画图表示则会使函数关系更清晰．
正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，其中自变量x的取值范围是x>0．我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．
自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点（x，S）呢？
计算并填写下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S

如图，在直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出，然后连接这些点，所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示x=2时，S=4．

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图的曲线即函数S=x2 （x>0）的图象．
我们需要注意的三点是：（1）函数图象上的点P（x，y）与函数自变量x及对应函数值y的关系：图象上的每个点的横坐标x与纵坐标y一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值，反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图象上．（2）函数图象上任意一点P（x，y）中的x和y满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x和y的值组成的点（x，y）一定在函数的图象上．（3）判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点的坐标（x，y）代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图象上，否则这个点就不在函数图象上．
（一）观察
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？

可以认为，气温T是时间t的函数，上图是这个函数的图象．由图象可知：
（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）；
（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态；
（3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少；
（4）如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温的变化规律．
（二）例题
例2  下面的图象（如图所示）反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．

根据图象回答下列问题：
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？，
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
分析：小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间内先后停留在菜地与玉米地．
解：（1）由纵坐标看出，菜地离小明家1.1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分．
（2）由横坐标看出，小明给菜地浇水用了10（即25－15）分．
（3）由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9（即2—1.1）千米；由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12（即37—25）分．
（4）由横坐标看出，小明给玉米地锄草用了18 （即55－37）分．
（5）由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米；由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25（即80—55）分，平均速度是0．08千米／分．
例3  在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：
（1）y=x+0.5；        （2） （x>0）．
解：（1）y=x+0.5．
从上式可以看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…

－0.5
0.5
1.5
2.5

…
根据表中数值描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大．
（2）（x>0）．
列表（计算并填写表中空格）：
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
6
…
y
…

6

3

2

1.5

…
根据表中数值描点（x，y）并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．

从函数图像可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，随之减小．
（三）归纳
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．
（四）思考
（1）下图是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系（暂不考虑水量变化对压力的影响）？

（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线（如图所示）表示y是x的函数？为什么？

（提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值．）
（五）练习
1．（1）画出函数y=2x－1的图象；
（2）判断点A（－2．5，－4），B（1，3），C（2．5，4）是否在函数y=2x－1的图象上．
2．下图是北京与上海在某一天的气温随时间变化的图象．

（1）这一天内，上海与北京何时温度相同？
（2）这一天内，上海在哪段时间比北京温度高？在哪段时间比北京温度低？
3．（1）画出函数y=x2的图象．
（2）从图象中观察，  当x<0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？
（六）小结
引导学生总结本节的主要知识点．
（七）板书设计
函数的图像（一）
问题的讨论
例题
归纳
思考
练习
第四课时
我们已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．
（一）思考
从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？
（1）解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析法．例如：y=x+1，等，其优点是简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质，不足之处就是有些函数关系，不能用解析式表示．（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．其优点是能明显地呈现出自变量与对应的函数值．不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律．（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．其优点是形象直观，能清晰呈现函数的一些性质，不足之处是所画的图象是近似的、局部的，从图象上观察的结果也是近似的．针对这三种方法找同学分别举出实例加以说明．
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
（二）例题
例4 一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
y/米
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25
（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；
（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米．
分析：记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，我们现在需要从这些数值找出这两个变量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式，画出函数图象，进而预测水位．
解：（1）由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，这样的变化规律可以表示为
y=0.05t+10  （0≤t≤7）.
这个函数的图象如图所示．

（2）再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时y=0．05t+10的函数值，从解析式容易算出
y=0.05×7+10=10.35．
从函数图象也能估出这个值．
2小时后，预计水位高10.35米．
（三）归纳
由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化．
（四）练习
1．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
2．用解析式法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．
（五）小结
引导学生总结本节的主要知识点．
（六）板书设计
函数的图像（二）
思考问题
例题
练习