秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.1 比例线段 第4课时 平行线分线段成比例及其推论教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

22.1 比例线段
第4课时 平行线分线段成比例及其推论
教学目标
【知识与技能】
1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.
2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.
【情感、态度与价值观】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
【难点】
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学过程
一、复习引入
教师多媒体课件出示:
1.求下列各式中x∶y的值.
(1)3x=7y;　(2)y=x;(3)y∶x=4∶7.
2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求(x+y-z)∶(4x+6y+z).
教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正.
二、共同探究,获取新知
师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢?
生:……
教师多媒体课件出示:

已知:如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC于点E,求证:=.
师:你能证明这个问题吗?
学生思考、讨论.
教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB上的垂线段h.

师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?
学生思考后回答:能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比.
师:你是怎样得到的呢?
生:△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h乘积一半,所以==.
师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了?
学生思考后回答:再证出=.
师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢?
生:过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系.
师:很好!这样我们就证出=.
由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?还有哪些比例式也是成立的呢?
学生思考,教师提示.
生甲:=.
生乙:=.
师:对!上面的图形,也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理.
教师提示大家读出书上的推论,并板书:
定理　平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
师:这个定理可推广成一般的形式.
教师多媒体课件出示:
已知:如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC、DF被这三条直线分别截于点A、B、C和D、E、F,求证:=.

师:直线AC、DF被这三条直线所截,不止一种结果.因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢?
学生思考、讨论.
生甲:AC与DF平行.
生乙:AC与DF不平行,但它们在l1与l2间不相交.
生丙:AC与DF相交在l1或l3上.
生丁:AC与DF相交在两条平行线间.
师:下面我们分别就这几种情况进行讨论.先看平行时,怎么证明这个结论呢?
生:根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB=DE,BC=EF,所以AB∶BC=DE∶EF.
师:很好!如果AC与DF不平行且在l1与l2间不相交时,又该如何证明呢?
学生思考,讨论后教师找一生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:过点A作DF的平行线,分别交l2、l3于点E'、F'.

这时有=,而四边形AE'ED和四边形E'F'FE都是平行四边形,所以AE'=DE,E'F'=EF,因而可得=.
其余两种情况类似可证.
师:于是我们得到如下定理:
(教师板书)
平行线分线段成比例定理　两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
三、继续探究,层层推进
师:在这个定理中,当=1时,有=1,即当AB=BC时,有DE=EF,由此你能得到什么结论?
学生口述,教师板书:
平行线等分线段定理　两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等.
四、例题讲解
【例】　如图,在△ABC中,E、F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?

解:(1)∵EF∥BC,
∴=,
∵AE=7,EB=5,FC=4,
∴AF===.
(2)∵EF∥BC,
∴=.
∵AB=10,AE=6,AF=5,
∴AC===,
∴FC=AC-AF=-5=.
五、巩固练习
师:同学们,我们今天学习了不少知识,你们都掌握了吗?现在我来出几道题目帮助大家消化一下.
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(　　)

A.=
B.=
C.=
D.=
【答案】A
2.如图,DE∥BC,AB∶DB=3∶1,则AE∶AC=　　　　. 
【答案】2∶3

第2题图

第3题图

3.如图,DE∥BC,若AB=8,AE∶EC=2∶3,则AD=　　　　. 
【答案】
4.如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,BF的延长线交AC于点H,则AH∶HE=　　　. 
【答案】2∶1

第4题图

第5题图

5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=4,DB=8,AE=3.
(1)求的值;
(2)求AC的长.
【答案】(1)===;
(2)∵DE∥BC,∴==.
又∵AE=3,∴AC=9.
六、课堂小结
师:今天你学习了哪些定理?
学生口述定理.