上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.2 圆的基本性质教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级下册数学教案.doc

圆的基本性质
课 题
24.2.2　圆的基本性质
教 学
目 标

1．利用圆的轴对称性，通过观察使学生能归纳出垂径定理的主要内容。
2．要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题。
3．运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．
4．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会研究几何图形的各种方法．
5．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．
6．通过例题（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想。
教
材
分析
重 点
圆的轴对称性，及相关概念。
难 点
圆的相关概念的理解。
教 具
电脑、投影仪
教

学

过

程

（一）、复习提问：
1.你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗 ？分别有几条对称轴？
（等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形。）
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
3.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．）
教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
（二）、探究新知
问题1：作⊙O的直径CD，然后沿着CD对折⊙O，会出现什么现象，说明了什么？
（说明圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.）
问题2：在⊙O上取一点A，作AB⊥CD，垂足为E，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
（AE=BE， =，=．）
这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE=BE，=，=
分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合
（连结OA，OB, 并且有OA=OB。两个半圆重合Aaa
；A点 、B点重合；弧 AC、弧 BC重合；弧AD、弧BD重合）
既然AE，BE重合，我们就可以得到 AE=BE； 弧 AC、弧 BC重合，我们就可以得到=；弧AD、弧BD重合，我们就可以得到=。
同样的方法可证明定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理及其推论：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其他三个：（1） 直线过圆心 ；（2） 垂直于弦 ；（3） 平分弦 ；（4） 平分弦所对的优弧 ；（5） 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（三）、例题讲解
例2 已知：如图，在⊙O中，⊙O的半径为5cm,弦AB的长为6cm。
求：圆心 O 到AB的距离。
思路分析：在利用垂径定理及其推论解题时，通常作辅助线构造直角三角形利用勾股定理解题。

讲完例1后，我们考虑一下：半径、弦心距及弦长三者有何关系？
r2=d2+（）2 根据此公式，在l，r，d三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。
例3 1400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题。根据题意作出几何图形AB表示桥拱，AB的圆心为O，半径为R米。经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与AB相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h 关系：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2
补充例题：已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.
（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．
（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7。
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3。
∴。
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力。
（四）、巩固练习
课本第17页练习1、2、3、4.
做练习2可提示：在圆中，解决弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。

（五）、课堂小结
1.圆是轴对称图形；2.垂径定理及其推论 。如果我们把这5个条件的位置换一下，就是说
如果把2）、3）作为题设能得出1）、4）、5）； 如果把1）、3）作为题设能得出2）、4）、5）
如果把2）、4）作为题设能得出1）、3）、5）；如果把2）、5）作为题设能得出1）、3）、4）
（六）作业布置
（必做题）1.习题24.2第3、4、5； 2．《基训》同步；
（选做题）1.已知：在以圆O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于F、G两点，PQ是小圆的直径，PC⊥AB于C, QD⊥AB于D。 求证：AC = BD
2.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．若油面宽AB=600mm，
求油的最大度。
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决。

布置作业
《练习册》习题

教后记
本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。