上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆的基本性质教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级下册数学教案.doc

24.2.3　圆的基本性质
课 题
24.2.3　圆的基本性质
教 学
目 标

1．使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；
2．使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并学会运用这些关系解决有关问题；
3．培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律．
教
材
分析
重 点
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理的推论；
难 点
从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点．
教 具
电脑、投影仪
教

学

过

程

（一）、创设情景，引入新课
圆是轴对称图形．圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题．今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性？
（二）、探究新知
1.圆的对称性和旋转不变性
平行四边形绕对角线交点O旋转180°后．问： (1)结果怎样？(2)这样的图形叫做什么图形？
（和原来的平行四边形重合． 中心对称图形．）
进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么？ （仍然与原来的图形重合．）
由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：
圆的旋转不变性．即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．
2．圆心角，弦心距的概念．
我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角 ∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如右图
在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．
教师板书：顶点在圆心的角叫做圆心角．
再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦．请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？ （过圆心O作弦AB的垂线．）
在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距．
教师板书：圆心到弦的距离叫做弦心距．
最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系．(引出课题)
（三）、大胆猜想，发现定理
在上图中，再画一圆心角∠COD，如果∠AOB=∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD和弦的弦心距OE，OF，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与CD，弦心距OE与OF的大小关系如何？
学生很容易猜出：=，AB=CD，OE=OF．
教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？
学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？
请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？ （旋转）
下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明= 把∠AOB连同旋转，使OA与OD重合， 我们发现射线OB与射线OC也会重合，为什么？ (因为∠AOB=∠COD 所以射线OB与射线OC重合．)
要证明AB与CD 重合，关键在于点A与点D，点B与点C是否重合．这两对点分别重合吗？ (重合)
你能说明理由吗？
(因为OA=OA′，OB=OB′， 所以点A与点D重合，点B与点C重合)
当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？
学生：和 重合，弦AB与CD重合，OE与OF重合．
为什么OE也与OF重合呢？ (根据垂线的唯一性)
于是有结论：=，AB=CD，OE=OF．
以上证明运用了圆的旋转不变性．得到结论后，引导学生用简洁的文字叙述这个真命题．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等．请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？
在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法． 最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论．
请学生归纳，教师板书．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
剖析定理得出推论 问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）
举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD， .（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）
（四）、例题讲解
例4、(见课本)
例5如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.

例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？
（让学生自主思考，学习和研究几何问题）
（五）、巩固练习
课本第19页练习1、2、3.
（六）、课堂小结
学生自己归纳，老师指导．1.圆的对称性和旋转不变性；2.圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换；3.增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；

布置作业
《练习册》习题

教后记
本节课内容较为简单，学生掌握良好，课上反应热烈。