九年级数学上册 4.2.6一元二次方程的解法(公式法2)教案 苏科版.doc

第七课时：一元二次方程的解法（公式法2）
教学目标
1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况。
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程。
重点：一元二次方程根与系数的关系。
难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值。
教学过程
一、情境创设
1、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
2、方程根的情况
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根；
3、不解方程,判别方程5（x2 -1）－x=0的根的情况______________
二、探索活动
1、不解方程，判别下列方程根的情况
(1)2x2＋3x－4＝0 (2)16y2＋9＝24y
(3)5(x2＋1) －7x＝0
2、总结
可以根据b2-4ac的符号来判断一元二次方程根的情况，
代数式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，
可用符号“△”表示．
根的判别式(△)：
ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2－4ac＞0时，方程有
当b2－4ac = 0时，方程有
当b2－4ac ＜ 0时，方程
根据△的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况．反过来，
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac
即有：
△ ＞０　　
△ ＝０　　
△ ＜０　　
三、例题讲解
1、当k为何值时，关于x的方程x2+(1-2k)x+k2-1=0有两个相等的实数根？
练习
1、不解方程，判别下列方程根的情况
(1)x2＋3x－1＝0　　　　　　 　 (2)x2＋-6x+9＝0
(3)2y2-3y+4=0 (4)x2＋5＝2x
2、当k为何值时，关于x的方程kx2+kx+2-k=0有两个相等的实数根？
此时方程的根是多少呢?
例2．若关于x一元二次方程kx2-(2k+1)x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根，分别求k的取值范围。
解：由定义可知，k≠0
△=[-(2k+1)]2-4k2=4k+1
（1）∵方程有两个不相等的实数根。
∴ △>0 即 4k+1>0 ∴ k>
k≠0 k≠0 k≠0
∴k>且k≠0
（2）∵方程有两个相等的实数根。
∴△=0，即4k+1=0
∴k=
（3）∵方程无实根
∴△<0，即4k+1<0
∴k<
说明：二次项系数是字母时，一定要注意根的判别式是二次项系数≠0的情况下运用的，本例中的k≠0不能忽略。
判断：（1）方程ax2+bx+c=0中，当△＝＞0时，一定有两个不相等的实数根。
（2）若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有两个实数根，则k的范围为k>且k≠0。 （ ）
（3）若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有实数根，则k的范围为k>且k≠0。（ ）
例3.已知关于x的方程,x2-2mx-2m-4=0
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
例4 、 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程b(x2－1)－2ax+c(x2+1)=0有两个等根，试判断△ABC的形状.
四、练习
1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根．求证：这个三角形是直角三角形．
2、已知关于x的方程： 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时：
（1）方程有两个不相等的实数根，
（2）方程有两个相等的实数根，
（3）方程没有实数根，
3、一元二次方程　　　　　　　　　　　　　有两个不等的实数根,则m的取值范围是______________

五、小结
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.

达标检测
1、下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
2、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( 　 )
A.当k=时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤时，方程有实数根
3、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )
A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0
4、若方程有实数根，则的范围是_____________________。
5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
6、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

课后演练：«创造性练习»P.103-105 T.9-15