中考数学一轮复习 第20讲 等腰三角形教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

第20讲:等腰三角形
一、复习目标
1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质 
2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题 
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。
四、教学过程
（一）知识梳理
等腰三角形的概念与性质
定义
有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底
性质
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴
定理1
等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

拓展
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高
等腰三角形的判定
定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)
拓展
(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形
等边三角形
定义
三边相等的三角形是等边三角形
性质
等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______
等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
线段的垂直平分线
定义
经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________
判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上
实质构成
线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合
（二）题型、技巧归纳
考点1等腰三角形的性质的运用
技巧归纳：
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
考点2等腰三角形判定
技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
考点3等腰三角形的多解问题
技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
考点4等边三角形的判定与性质
技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
（三）典例精讲
例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，
并说明理由．

[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．
解： (1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∴△ADE≌△BFE.
(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵∠GDF＝∠ADF，
又∵∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
∴GD＝GF.
由(1)得，DE＝EF，
∴EG⊥DF.
例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．

(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．

例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为(　　)
A．45° B．75°
C．45°或75° D．60°
[解析] 首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．

如图(1)：AB＝AC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图(2)，AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.
∴∠CAB＝∠B＝＝75°，
即此时△ABC底角的度数为75°.
综上，△ABC底角的度数为45°或75°.
故选C.
例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)

（1） （2）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．
（1）=
（2）=
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.
∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
（3）3)1或3.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握等腰三角形的概念、性质与判定、等边三角形、线段的垂直平分线的运用。
（五）随堂检测
1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　　　度.

2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　　　.

3.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　　　.

4.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).
(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.

五、板书设计
等腰三角形
六、作业布置
等腰三角形课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。