中考数学 第19讲 特殊的平行四边形复习教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级全册数学教案.doc

第十九讲特殊的平行四边形
教学目标：
1．理解菱形、矩形、正方形的概念，掌握菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理，并能够综合运用它们进行有关计算与推理证明．
2．灵活运用转化思想将特殊平行四边形问题转化为等腰三角形或直角三角形问题加以解决.
3．在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
教学重点与难点：
重点：理解菱形、矩形、正方形的概念，掌握菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理，并能够综合运用它们进行有关计算与推理证明．.
难点：灵活运用转化思想将特殊平行四边形问题转化为等腰三角形或直角三角形问题加以解决．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，知识梳理
导语1：同学们，初中数分为四大领域，分别为数与代数、空间与图形、统计与概率及实践与综合应用，在空间与图形中包含了四边形的有关知识．同时，我们也知道四边形分为平行四边形和一般四边形，前面我们复习了平行四边形的相关知识．在日常生活中还有很多殊的平行四边形，你还记得有哪些吗？你知道下面各题考察了哪些特殊平行四边形的哪方面的知识吗？先做一做，再与同伴交流．
活动内容：回答下列问题.（多媒体展示）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB = 60°，AB = 3，则对角线BD的长是 ．
2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 ．
3．下列命题是假命题的是（　　）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形
参考答案：1．6；2．20；3．8；4．C．
处理方式：教师用多媒体展示初中数学知识树，并提出相关问题．学生边观看，边思考，边采用抢答的形式回答，回答时教师引导学生分析考点及相关的知识，对菱形、矩形性、正方形质及判定进行复习，完成知识建构．教师顺势导入本节课要复习的内容．
利用多媒体展示：
矩形性质 菱形性质

正方形性质 矩形判定

菱形判定 正方形判定

设计意图：本环节的安排在于让学生对初中数学有个整体的认识，便于体会知识间的内在联系，也有利于学生明确本节知识在整个初中数学中的地位．无论是矩形、菱形判定的回顾，还是性质的梳理，都没有直接回顾知识点，而是让学生在做题中回顾知识点，借助图形的一步步演变，一方面不显得枯燥无味，另一方面，为下面例题中的应用打下坚实的基础．同学间交流查漏补缺，这样做既可以提高课堂效率．
二、考点剖析，应用升华
考点一：矩形的性质与判定
1．如图，矩形ABCD中，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落到点C′处，C′B交AD于点E．
（1）重合部分是什么图形？请说明理由．
（2）若AB = 4，BC = 8，求图中阴影部分的面积．
处理方式：先给学生10秒钟时间理解本题的条件与要求，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键.学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）由折叠轴对称性可知∠EBD＝∠CBD，由AD∥BC可得∠CBD＝∠EDB，等量代换后可得∠EBD＝∠EDB；也可先证明△AEB≌△C’DE；（2）因为AB为△BED中ED边上的高，所以求出ED即可，设ED＝x，则BE＝x，AE＝8－x，在Rt△ABE中，根据勾股定理列方程，求出x后，计算面积即可.
【知识方法思想】知识：本题考查了矩形的性质，翻折变换的知识，等腰三角形和勾股定理的应用.方法：将问题转化成等腰三角形和直角三角形加以解决.思想：转化思想，方程思想.
变式练习：1．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD与宽AB的比值 ．
2．如图，在△ABC中，AC = BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，则四边形ADCF是什么特殊四边形？说明你的理由．
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【参考答案】∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF矩形．
【总结】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
考点二：菱形的性质与判定
1．如图，在菱形ABCD中，AB = 5，对角线AC = 6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为 ．
2．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF + BF的最小值是　 　．

第1题图 第2题图 变式题图
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【第1题解析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．
【参考解答过程】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，
∵AC=6，∴AO=3，∴B0==4，∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，
∴BC•AE=24，AE=．
【总结】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
问题2：【解析】本题主要考察：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【参考解答过程】连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
∵在△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH=AD，
∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=2，
在RT△EHD中，DE===2，∴EF+BF的最小值为2．
【总结】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解本题的关键．
变式练习：如图，四边形ABCD是菱形，O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若∠A = 60°，AB = 2，则阴影部分的面积为 ．
3．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【总结】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定.熟记各种四边形的性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
考点三：正方形形的性质与判定
如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。
（1） 求证：四边形ABCD是正方形；
（2） 当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形。
（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF。
【参考解答过程】（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。
∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。
∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形。
（2）解：当AE=2EF时，FG=3EF。证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。
∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。
∵BC=AD，∴CG=AD。
∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。
【总结】本题考察了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，相似三角形的判定和性质。
设计意图：通过考点解析，让学生体会如何运用特殊四边形相关知识进行解题，掌握解题的方法，同时也体会利用转化思想，往往能使问题变得简单化，解决过程清晰明了．
三、归纳升华，反思提高
这节课我们一起回顾了哪些知识？现在你又有了哪些新的收获？
（教师引导学生总结本节课的知识体系）
设计意图：反思是重要的学习方式，能够帮助学生从整体上理顺知识间的联系，提升解决问题的策略，丰富学生的经验.
四、达标检测，反馈提高
1．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB = 6，BC = 9，则BF的长为（　　）
A．4 B． C．4.5 D．5
2．在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为　 　．
3．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为 ．

第1题图 第3题图
4．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC = 2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 .

第4题图 第5题图
选做题：
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90°，连接CD，BE，依次连接BC，CD，DE，BE的中点M，N，P，Q．判断四边形MNPQ的形状，并证明．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：落实基础，结合激励性评价，检测学生本节课学习的达成度，为后续的复习提升做准备.
七、布置作业，拓展提高
必做题：复习丛书 第114页 第15题．
选做题：复习丛书 第105页 第15题．
设计意图：分层布置作业，让能力不同的每个学生都能各有所得，全面提高．
板书设计:
第十九讲 特殊的平行四边形
基础练习：
考点解析1：
矩形的性质与判定

考点解析2：
菱形的性质与判定

考点解析3：
正方形形的性质与判定

多媒
体展
示区
学生板演区