七年级数学上册 展开与折叠 教案 北师大版.doc

§1.2.2 展开与折叠(二)

教学目标：
(一)教学知识点
1．通过充分的实践，使学生能将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形.
2．了解圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作简单的立体图形.
(二)能力训练要求
经历展开与折叠、模型制作等活动，发展空间观念，积累数学活动经验.
(三)情感与价值观要求
让学生充分经历实践、探索、交流，获得成功的体验，培养学习科学探索精神.
教学重点：
1．将一个正方体的表面沿某些棱展开，展成平面图形.
2．圆柱、圆锥的侧面展开图.
教学难点：鼓励学生尽可能多地将一个正方体展成平面图形，并用语言描述其过程.
教学方法：学生动手实践法.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.提出问题，引入新课
在课本第十页习题1.3中，第1题和第2题都可以根据所给的图形折叠成六棱柱、三棱柱以及四棱柱，但如果给出一个几何体，例如我们最熟知的正方体如果沿某些棱剪开，会得到什么样的平面图形？这样的平面图形有多少种呢？
Ⅱ．讲授新课
［师］将正方体展成一个平面图形，是指正方形的六个面展开后所成的六个正方形中的每一个至少有一条边与其他的正方形的某条边重合即相连.
下面我就将这些纸板做的正方体分发到每个组，以组为单位，按上面的要求将正方体的表面展成平面图形，并在全班展示你们的作品，用语言描述你是如何将一个正方体表面展成平面图形的.
［提示］首先，学生先进行想像，然后动手操作尝试.在操作过程中应思考如下几个问题：
1.你是如何剪的？ 2.下一步该如何办？ 3.这样剪行吗？
学生分组按上面的方法来共同实践、探索交流.教师可加入到学生思考、实践、探索、交流的过程中，从而发现学生思维的闪光点，并鼓励每个组的同学大胆将自己思考、探索的结果展示给大家.
［生］我们都知道，正方体有6个面，12条棱，如果把它展成平面图形，6个正方形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连.因此，我们从它的上底面入手，先将上底面中的四条棱中剪开三条，然后沿着和连着的棱有公共点的侧棱顺次剪下去，到达下底面，然后再将下底面的四条棱中剪开三条，便可得到正方体的平面展开图.
如图，我们给正方体的12条棱进行编号.如果沿着棱②→③→④→⑤→→→⑩剪开，我们就得到展开图(1)；如果沿着②→③→④→⑤→⑨→⑩→展开，就得到展开图(2)；如果沿着②→③→④→⑤→
↘
⑨→⑩展开就得到图(3)；如果沿着②→③→④→⑤→→
↘
⑨展开，就可得到图(4).

［师］这位同学的方法，说明他很爱动脑子，抓住了正方体展成平面图形的特点，即六个正方形中每个正方形至少有一边与其他正方形相连的特点，很好.
［生］老师，刚才的展开图，都是沿着和边④有公共点的边⑤剪开的，如果沿着和边④也有公共点的边⑥剪开后，好像和以上四种展开图差不多.
［师］是的，如果沿⑥继续剪开，正方体的平面展开图经过旋转，平移等都可以得到以上四种展开图，因此，我们在此不考虑由于旋转等造成的相对位置不同，将这种展开方式归于前面一类.
［生］老师，我又发现同样将上底面的②→③→④这三条棱展开，但接下来不沿着和①有公共点的棱⑤剪，而是沿着和①无公共点的侧棱⑦或⑧继续剪至下底面的三条棱，便可得到如下两个平面展开图(图(5)、图(6))

［师］我们可以观察以上六个立方体的平面展开图，它们有规律可寻找吗？
［生］老师，我觉得这六个平面展开图有共同的特性，中间连排的四个正方形恰好是正方体的侧面，而分布侧面两边的两个正方形无论和四个侧面中的哪一个相连，都能是正方体的平面展开图.
［师］这位同学总结的太棒了.接下来，同学们可以看一个例题.
［例1］将下图中左边的图形折叠起来围成一个正方体，应该得到右图中的( )，先想一想，再做一做.

分析：由平面展开图可知，“”所在的正方形和“○”所在的正方形是相对的两个面；而“”所在的正方形和“”所在的正方形是相邻的两个面，因此A、B都不正确.而“”所在的正方形应和“”所在的正方形是相邻的两个面，因此C也是不正确的，故应选D.
答案：D
［师］是不是立方体的平面展开图只有六种呢？同学们可以打开书看课本第十一页的“做一做”的图1—5的第2个图，你能设法得到它吗？同学们可以继续在小组中讨论、交流.
［生］可以得到.我们还像前面那样给正方体的每条棱做同样的编号，如果沿着②→③→④剪开后，再分别沿着⑥→⑨→和⑦剪开，便可得到展开图(7).类似的还可以得到图(8)、(9).

［生］老师，我还有一种展开的方法，刚才好几位同学的展开图中，都是侧面的三个或四个正方形相连，如果让他们两个两个相连结果会如何呢？我剪了六个同样大小的正方形作为正方体的六个面，我将这六个面摆成下面两个图的情形，如图(10)、(11)，然后将它们折叠，结果发现这六个面围成了一个正方体.

［生］我们组也发现这两个图能折叠成一个正方体，而且我们还亲自做了实验，正方体能够展成上面的平面图.只要沿着②→③→④剪开后，再分别沿⑤→和⑦以及⑨剪开便可得到图(10).
［师］大家的想法很妙，能够用逆向思维的方法来处理手中的问题，很了不起.
［生］我们组得到了展开图.
［师］快告诉大家吧，怎么展开的.
［生］沿着②→③→④剪开后，再将⑥→⑩→和⑤剪开，
便得到展开图.
［师］同学们用了逆向思维的方法先假设正方体的平面展开图为⑩，然后再动手试验.大家来看下面一个问题：如图(12)，这个平面图形经过折叠后能否围成一个正方体.
(经过一番思考、讨论)
［生］我觉得不能，因为把一个正方体展开后6个正方形的每一个正方形至少有一边与其他正方形的某边重合，在这个图中，虽然满足了上面的要求，但右上角的正方形和相邻的三个正方形相连的情形是无法折叠起来的，因此不能围成一个正方体.
［师］是不是这样.我们可以用手中的图形操作一下.
［生］是这样的.
［师］那么，老师就有这样一个问题：将正方体的某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开几条棱呢？
(学生经过小组讨论，交流后回答)
［生］需要剪开7条棱，由于正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱(即未剪开的棱)有5条，因此需剪开7条棱.
［生］正方体的平面展开图，我们已经研究出十一种.还有没有其他的？其他的常见几何体如圆柱、圆锥有平面展开图吗？
(小组继续讨论该同学提出的问题)
［生］正方体的平面展开图没有其他的，不考虑由
于旋转等相对位置不同的平面展开图就这十一种.我
认为圆柱、圆锥也有平面展开图，如圆柱可展成图
(13)，圆锥可展成图(14).
［师］回答的很好.你比老师的想像要丰富得多.如果
要是只展开圆柱和圆锥的侧面，会得到什么图形呢？同学们打开课本第十一页，我们一起来完成“想一想”.
(让学生按参考书上图猜想一下，如果按虚线剪开，这里的虚线其实是母线，没必要给学生介绍，但要告诉学生必须沿母线剪开)将图形展开，会得到什么图形；然后操作，老师在和同学做时，要加以指导，最后得出结论：圆柱和圆锥的侧面展开图分别是长方形和扇形.
Ⅲ.课堂练习
左图是正方体的表面展开图，如果将其合成原来的正方体(右图)时，与点P重合的两点应该是( )
A.S和Z
B.T和Y
C.U和Y
D.T和V

分析：由正方体的平面展开图，
经过折叠后(如右图所示)的正方体，
正方形R－O－U－X作为背面，则O－X－Y－Z是底面，S－T－U－R成为上面，则剩余的三个面即为三个侧面，折叠过来后，P刚好与T和V重合.因此应选D.
答案：D
Ⅳ.课时小结
1.经过动手操作，得到了关于正方体的十一种形式的平面展开图，发展了我们的空间观念和语言表达能力.
2.通过想像和操作，得到了圆柱和圆锥的侧面展开图.
Ⅴ．课后作业
1.课本习题1.4及试一试.
2.预习§1.3截一个几何体，准备橡皮泥和小刀.
Ⅵ.活动与探究
将正方体的表面沿某些棱剪开，展开，在一个平面内有多少种不同的展开图？(旋转或翻折后相同的图形算一种)
［过程］课堂上已对正方体的平面展开图做过讨论、研究，但是否它的平面展开图就此十一种，并没有给出一个最终的结果，通过课外继续探讨，可以更好地锻炼学生的空间观念和探求科学的精神.
［结果］共十一种.