中考数学 第20讲 圆的有关性质复习教案1 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级全册数学教案.doc

课题：第20讲 圆的有关性质
考试要求：
1.理解圆与圆的有关概念，了解弧、弦、圆心角之间的关系.
2.探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.
3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
教学重点与难点：
重点：理解圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，掌握垂径定理以及它们的逆定理和推论，并能利用它们进行证明和计算．
难点：应用垂径定理、圆周角与圆心角的关系定理进行证明和计算．
教学过程：
一、回眸要点，夯实基础
要求：①时间：5分钟；②先独立填空，然后小组内交流纠错、讲解、补充．
1.圆的有关概念
（1）圆上任意两点间的部分叫弧，______的弧叫优弧，________的弧称为劣弧.
（2）______________________的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
（3）_________________的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边____________的角叫做圆周角.
【老师提醒：①在一个圆中，圆 决定圆的 半径决定圆的 ；
②直径是圆中 的弦，弦不一定是直径．】
2.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是_____ ；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是_________.
3.垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分____________________.
推论：平分弦（不是直径）的直径_____这条弦，并且平分__________________.
【老师提醒：（1）垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用．（2）圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线；（3）垂径定理常用作计算，在半径、弦和弦心距中已知两个可求另外一个．】
4.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．如图所示：AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的弦心距，根据圆心角，弧，弦和弦心距之间的关系定理填空：
（1）如果AB=CD,那么___________, __________, ______________；
（2）如果OE=OF,那么___________, ___________, ______________；
（3）如果=，那么__________, ____________, ___________
老师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合.注意：①该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”；②特别注意一条弦是对应两条弧的.
5.圆周角定理及推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的________,如图，∠ACB=____________；
（2）推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________,直径所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________,所对的弧是__________.
【老师提醒：①在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是 ；②作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线．】
6.确定圆的条件
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .
处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善，让学生适当举例说明，加强对知识的理解，为题组训练奠定基石.
【设计意图】以问题串的方式帮助学生回顾本章的内容，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性．帮助学生更好的掌握本节知识．
二、题组训练，巩固提高
活动内容
【题组一】垂径定理及推论
例1如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
A． CM=DM B．
C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.让学生明白垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质.
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立.
而OM与MD不一定相等，选项D不成立.答案: D.
【跟踪练习】
1.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是　 ．
2.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　 　mm．
3.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为　　　　cm2．
第1题图
第2题图
第3题图
8mm

【题组二】圆周角定理
例2 （2012·湖北襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【 】
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
（友情提示：本题是考查圆周角定理的一个基本题目，利用了分类讨论的数学思想.画出图形后只要掌握住圆周角和圆心角的关系，一般不会出错，但这类题目也是中考命题中高频率的题目.答案：D)
处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.让学生根据题意分析图形，由圆周角定理及圆的内接四边四边形性质易发现成立.在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的圆周角有两个且互为补角.注意运用分类讨论的思想解题.
例3 （2012·广东梅州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.让学生理解圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质．
（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE.
（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB.
（规范学生解题步骤，多媒体出示）
证明：（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角，
∴∠A=∠B．
又∵∠AED =∠BEC，
∴△ADE∽△BCE．
（2）∵AD2=AE•AC，
∴.
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD.
∴∠AED=∠ADC.
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°.
∴∠AED=90°.
∴直径AC⊥BD，∴CD=CB.
【设计意图】判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”.本题结合圆周角定理较易证明第1问，在证明等积式成立时，可将等积式转化为比例式，再证明两三角形相似.
【跟踪练习】
1.如下图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　 　 ．
2.如下图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .
3. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是【 】
第1题图
第2题图
第3题图
A．45° B．85° C．90° D．95°

处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完成上面3题，完成后互相校对你们的结果. 解题后，交流校对，并更正错误.
【答案】：1.0 ° 2. 3.
【题组三】综合应用
例4 （2012·浙江台州）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．

处理方式：先小组合作交流，再小组汇报，生生互动、师生互动，纠错完善.
1：如右图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF.设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得解得∴球的半径为x＋y=10（厘米）.
2：我的方法比他更简单.如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF，则.设OH=x，则=，则由题意得 ，解的.∴球的半径为（厘米）.
处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路，并让一名学生在黑板上板演，然后师生评判纠错完善.
跟踪练习
（2012·枣庄）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【 】
A． B． C． D．
师：相信同学们能独立完成上面的题目，等待你们的精彩展示哟！
【学生活动】认真审题、解答、展示交流．
生1：如右图，连接、，由题意可知=5，即△为等边三角形，∴∠OBC=∠OAC=×60° =30°， ∴cos∠OBC =．
生2：刚才的方法不错，我的方法更妙．如右图，连接CA并延长交圆与点D，在Rt△OCD中，由C（0，5）．∴OC=5 ．又CD=10，故∠ODC=30°．∴∠OBC=30°．∴cos∠OBC =.
师：这两位同学添加不同的辅助线，实现了问题的精彩转化，很棒！
此时教室里不约而同的响起了掌声．
【答案】B
处理方式：先小组合作交流，请同学们独立完成让学生自主完成、讨论交流解题思路，并让一名学生在黑板上板演，然后师生评判纠错完善.
【设计意图】紧扣近年学业考试中圆的重要考点，利用三个题组训练，对圆心角，弧、弦、弦心距及圆周角之间的关系，垂径定理深入分析和探讨，巩固了知识要点，例题和练习题由学生来做来展示，在很大程度上提高了学生复习的积极性，而且容易发现解题过程中出现的错误，对错误印象比较深刻，对提高几何能力和探究能力有帮助，同时训练学生的思维敏捷性和解题的规范性.
三、诱导反思，归纳总结
师：（放幻灯片）下面请同学们看着圆的有关概念和性质知识结构图回顾这节课，你有哪些收获？还有哪些困惑？还想进一步研究的问题是什么？想一想，说一说．

【学生】本节课我的收获有……
我还有一些困惑的地方……
通过刚才的过程，你有什么收获？
1：处理此类问题时，要将生活问题数学化，利用数学知识解决.
2：做题时要勇于探索，比如此题设了未知数，利用列方程（组）的代数方法处理问题.
处理方式：学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．
【设计意图】利用知识结构图的直观作用，让学生积极思考、大胆发言、交流，使学生养成勤于思考、善于总结的良好习惯，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况. 在与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识．
四、限时训练，当堂达标
师：前面同学们合作共进，收获颇丰，是否达到了本课的复习目标呢？请在8分钟内完成！达标检测.
（1、2、3、6为必做题，4、5为选做题）1.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于___________．
2.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为【 】
A．6 B．5 C．3 D．
1题图
2题图
3题图
4题图

3.如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
4.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 度．
5.某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 　 cm．

6.如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
（1）弦长AB=________（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.
处理方式:在学案上自主完成，精力集中、投入专注，象考试一般.
【设计意图】必做题，要求学生在8分钟内完成.选取中考题作为课堂检测，规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力.更能让学生体验解决中考题的快乐和成功感，每一道小题都各有目的，从不同的侧面考查了这章的知识点，从学生的完成情况来看，效果很好，都能在规定的时间内完成，且准确率较高．选做题，是为学有余力的同学准备的，让不同的学生有不同的发展，以便于对学生进行因材施教分类推进，让优生能吃得饱，学得好，能力最大限度的提高.
五、布置作业，课堂延伸
A组：复习指导丛书 117页—118页 第1、2、10、11题．
B组：复习指导丛书 119—120页 第10、12题．
【设计意图】复习课后分层布置作业，让不同程度的学生有不同的收获；一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力,提高应试能力．
板书设计:
第20讲 圆的有关概念和性质
例1

例2

例3
例4

投
影
区

学生板演区