直线与平面垂直.doc

1.2.3　直线与平面的位置关系（2）

教学目标：
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教学重点： 直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点： 直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法： 问题探究，自主发现式

教学过程：
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
1．圆锥的旋转轴OA与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？思考：如何定义一条直线与一个平面垂直？
D1
C1
B
A
C
D
B1
A1

2．平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.那么,在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直? (2)过一点有几个平面与已知直线垂直?
3．在长方体AC1中，棱BB1与底面ABCD 垂直．观察BB1与AB、BC 的位置关系，由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
4. 如何将一张长方形贺卡直立于桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
三、建构数学
1．直线与平面垂直的定义．
如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 记作：l⊥α
直线l 叫做平面的垂线， 平面α叫做直线l 的垂面．
垂线l和平面α的交点称为垂足.

2．在空间： (1) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(2) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

3．点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足之间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

4．直线与平面垂直的判定定理
n
P
m
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言：
图形语言：
简记为：线线垂直线面垂直

5.直线与平面垂直的思考：
由定义：如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线；

四、数学运用
1．例题.
a
b
α
例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a⊥α，a∥b ；
求证：b⊥α .
例2　已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，M、N分别是AB、PC的中点，求证：BC⊥面PAB。

D1
C1
B
A
C
D
B1
A1

练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：AC⊥面BDD1．

A
B
C
D
例3 如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD,CB＝CD，求证：AC⊥BD.

E
2．练习.
（1）下列说法中正确的有 .
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么,这条直线就与这个平面垂直.
②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.
③已知直线l和平面α，若l⊥α，则l和α相交.
④已知直线a在平面α内，若l⊥α，则l⊥α.

P
A
B
l
α
β
（2）如图，已知PA⊥a,PB⊥b,垂足分别为A、B，且a∩b＝l, 求证：l⊥平面PAB．

思考：能否构造出一个三棱锥A—BCD，使它的四个面均为直角三角形？

五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．直线与平面垂直的定义；

2．直线与平面垂直的判定定理；

3. 直线与平面垂直的思考：
由定义：如果一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线；

4. 证明线线垂直通常通过线面垂直来证明；而证明线面垂直则通过线线垂直来证明.
4