2015届广东五校高三联考理科数学试题及答案.doc

广东五校2015届高三年级联考试题
数 学 (理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
　　2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设条件p：；条件q：，那么p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．下列命题不正确的是
A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；
B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；
C．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
D．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直.
5．已知函数则下列结论正确的是 （ ）
A. 是偶函数 B. 的值域为
C.是周期函数 D. 是增函数
6．在△ABC中，AB=2，AC=3，，则.
A. B. C. D.
7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （　　）
A． B． C． D．
8．在空间中,过点作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,,恒有,则 （　　）
A．平面与平面所成的(锐)二面角为 B．平面与平面垂直
C．平面与平面平行 D．平面与平面所成的(锐)二面角为

开始

否

是
输出
结束

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9. 复数的值是 ．
10.若数列满足：，
其前项和为，则 ．
11. 执行如图的程序框图，那么输出的值是 .

12. 已知不等式组所表示的平面区域的面积为，则的值为__________.
13．将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)
14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 （为参数），
曲线（为参数）.若曲线、有公共点，
第15题图
O
B
C
A
则实数的取值范围____________．
15．（几何证明选讲）如图，点是圆上的点,
且,则对应的劣弧长为 ．

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
在平面直角坐标系下，已知，，，．
（1）求的表达式和最小正周期；
（2）当时，求的值域。
17．（本题满分12分）
第17题图
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在内的频率，并补全这个
频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组
区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的
平均分；
（Ⅲ）若从名学生中随机抽取人，抽到
的学生成绩在记分，在记分，
在记分，用表示抽取结束后的总记分，
求的分布列和数学期望.
18．（本题满分14分）
如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为
平行四边形，DC平面ABC ,，
已知AE与平面ABC所成的角为,且．
（1）证明：平面ACD平面；
（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的表达式；
（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的大小．
  19．（本题满分14分）
已知数列中，，，其前项和满足，
令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：（）.

20．（本题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

21．（本题满分14分）
已知函数.
(1) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
(3) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
数学（理科）参考答案
一、选择题：（每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
A
C
D
B
A
C
B
二、填空题（每题5分，共30分）
9． 10． 11. 12．1 13．480
14． （ 或 ） 15．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
解: 解：（1）， …………1分
∴,
∴, …………6分
∴的最小正周期为, …………8分
（2）∵∴∴．
∴．所以函数的值域是. …………12分

17．（本题满分12分）
(Ⅰ)设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，
则有，
可得，所以频率分布直方图如右图所示.
………………4分
（求解频率3分，画图1分）
（Ⅱ）平均分为：

． …………7分
（Ⅲ）学生成绩在的有人，在的有人，
在的有人.并且的可能取值是. …………………………8分
则；； ；
；.
所以的分布列为

0
1
2
3
4

………………………………………………………11分
…………………12分

18．（本题满分14分）
解:（１）证明：∵四边形DCBE为平行四边形 ∴，------1分
∵ DC平面ABC ,平面ABC ∴． ----------2分
∵AB是圆O的直径 ∴且
∴平面ADC．
∵DE//BC ∴平面ADC ---------------------------------------3分
又∵平面ADE ∴平面ACD平面----------------4分
（2）∵ DC平面ABC ∴平面ABC
∴为AE与平面ABC所成的角，即＝-------------------5分
在Rｔ△ABE中，由,得------------6分
在Rｔ△ABC中 ∵（）
∴------------------------------------7分
∴（）-----8分
（3）由（2）知
要取得最大值，当且仅当取得最大值，
∵------------------------------------------------------9分
当且仅当，即时，“＝”成立，
∴当取得最大值时,这时△ACB为等腰直角三角形------------10分
解法1：连结CO，DO
∵AC=BC,DC=DC
∴≌ ∴AD=DB
又∵O为AB的中点 ∴
∴为二面角D－AB－C的平面角------------12分
在中 ∵,
∴, ∴=
即当取得最大值时，二面角D－AB－C为60°．------------------------14分
解法2：以点O为坐标原定，OB为x轴建立空间直角坐标系如图示：
则B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,)，
∴,
平面ABC的法向量，-------------------11分
设平面ABD的法向量为
由得
令，则 ∴-------------12分
设二面角D－AB－C的大小为，则
∴,即二面角D－AB－C的大小为60°．------------------------------------14分

19．（本题满分14分）
解：【解】
（1）由题意知即 -------2分
∴ -------3分
-----6分
检验知、时，结论也成立，故． -------7分
（2）由于
--------9分
故
---------11分
． ---------14分

20．（本题满分14分）
（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
(1) 解法1：设椭圆的方程为,
依题意: 解得: ………2分
∴ 椭圆的方程为. ………3分
解法2：设椭圆的方程为，
根据椭圆的定义得，即， ………1分
∵， ∴. ………2分
∴ 椭圆的方程为. ………3分
(2)解法1：设点,，则，
，
∵三点共线, （∴. ……4分
∴,
化简得：. ① ………5分
由,即得. ……6分
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②
同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分
设点，由②③得：，
而，则 . ……………9分
代入②得 ， ……………10分
则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为. ………11分
若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，
…12分
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点. ………13分
∴满足条件 的点有两个. …………14分
解法2：设点,，，
由,即得. …………4分
∴抛物线在点处的切线的方程为，
即. ………5分
∵， ∴ .
∵点在切线上, ∴. ① ……6分
同理， . ② ………7分
综合①、②得，点的坐标都满足方程. ………8分
∵经过的直线是唯一的，
∴直线的方程为， ………9分
∵点在直线上， ∴. ………10分
∴点的轨迹方程为. ………11分
若 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点. ……13分
∴满足条件 的点有两个. ……14分
解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，得. ……4分
设,则. ………5分
由,即得. ………6分
∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分
∵， ∴.
同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分
由解得
∴. ………10分
∵,
∴点在椭圆上. ………11分
∴.
化简得.(*) …………12分
由, ………13分
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ………14分
21．（本题满分14分）
解：(1) f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。。。。。。3分
(2) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.

因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕) 。。。。。8分
(3) 设

令.
,且
.

所以 。。。。。。。。。。。。。。。。14分

·20·