向量及三角函数.doc

三角函数、解三角形、平面向量
一、三角函数的图象与性质
例题1、（10年重庆6）已知函数
的部分图象如题（1）图所示，则（ ）
A、
B、
C、
D、
解析：周期 则

例题2（10年四川6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A） （B）
（C） （D）
例题3(10年湖北)已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
解　(1)因为f(x)＝coscos
＝
＝cos2x－sin2x＝－＝cos 2x－，
所以f(x)的最小正周期为＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
试题分析 主要考查综合运用三角公式、三角函数图像和性质进行运算求解的能力．以三角函数的运算和性质为主线，着重对基础知识和基本方法的考查．题目难度不大，重视基础、强调应用．
重点考查 (1)三角恒等变换公式．
(2) 的性质和图像变化等基础知识．
主干知识：
1．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，
三正切，四余弦．
2．诱导公式 和
3.同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tan α＝(cos α≠0)．
4．正弦、余弦、正切函数的性质
定义域 值域 图像 周期性
单调区间 对称中心 对称轴 最值

考点分类
题型一　三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的
应用
例题1、如图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
分析 根据任意角三角函数的定义cos α＝不难得到cosα、cosβ的值，利用同角三角函数可求sinα、
sinβ、tanα、tanβ的值，进而利用和角公式求tan(α＋β)的值．
注意到第(2)问相当于“给值求角”问题，除注意到“角的变换”：α＋2β＝(α＋β)＋β外，还应注意该类问题求解的一般程序．
解　(1)由已知条件及三角函数的定义可知，
cos α＝，cos β＝.
因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝＝.
同理可得sin β＝.因此tan α＝7，tan β＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，
从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝.
本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查考生的运算求解能力．根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标实际上就是α、β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切，剩下的问题就是代入公式计算了．
例题2、 已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 (　　)
A. B. C. D.
解析　tan θ＝＝＝－1，
又sinπ>0，cosπ<0，
∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，∴θ＝，故选D.
题型二　三角函数的图象及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例题1、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示)，求其解析式．
分析：
先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键
点求φ，最后将(0，)代入求A的值
解　设函数的周期为T，
则T＝－＝π，∴T＝π，∴ω＝＝2
又由2×＋φ＝，得φ＝.
∴函数解析式为y＝Asin(2x＋)．
又图象过点(0，)，∴Asin＝，∴A＝，
∴A＝2.∴所求函数的解析式为y＝2sin(2x＋)．
分析提高 （1 )已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.
(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期。
例题2 (10·天津)右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点 (　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析　由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，
∴ω＝＝2.
∴y＝sin(2x＋φ)(x∈R)．
∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．
故将函数y＝sin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．答案 A
例题3、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,
4,8，则f(x)的单调递增区间是________________.
解析　如图x＝3，x＝6是
y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，
∴周期T＝6，
∴单调递增区间为
[6k,6k＋3]，k∈Z.
题型三　三角函数的性质
例1 (09年重庆)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数．
分析：利用诱导公式化简→利用和、差角公式求φ→求f(x)的解析式→利用奇偶性确定m的值．
解　方法一　(1)由coscosφ－sinsinφ＝0
得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos＝0.
又|φ|<，∴φ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝sin.
依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后所对应的函数为g(x)＝sin.
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.
方法二　(1)同方法一．
(2)由(1)得，f(x)＝sin.依题意，＝.
又T＝，故ω＝3，∴f(x)＝sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin.
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立．
亦即sin＝sin对x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos＋cos(－3x)sin
＝sin 3xcos＋cos 3xsin，
即2sin 3xcos＝0对x∈R恒成立．
∴cos＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.
分析提高 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝sin(ωx＋φ)(cos φ＝，sin φ＝)的形式来求．
例题2、 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的图象上一个最高点的坐标为(，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(，－1)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)当x∈[，π]时，求函数f(x)的单调递增区间和零点.
解　(1)依题意得＝－＝，所以T＝π.
于是ω＝＝2.
由解得
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
把(，3)代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，可得sin(＋φ)＝1，
所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝.
综上，f(x)＝2sin(2x＋)＋1.
(2)又∵x∈[，π]，∴≤2x＋≤.
令≤2x＋≤，得≤x≤π.
∴函数f(x)的单调递增区间是[，π]．
令f(x)＝0，得sin(2x＋)＝－，
又∵≤2x＋≤，∴2x＋＝.
故x＝，∴函数f(x)的零点是x＝.
规律方法总结
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．
(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求
解．
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求
解析式
(1)A＝，B＝.
(2)由函数的周期T求ω，ω＝.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高
点或最低点．
4．求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，
进而结合三角函数的性质求解．
(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.
二、三角变换与解三角形
感悟高考 明确考向
(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西
方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝
＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
考题分析 本题以实际问题为背景考查考生的应用意识，建模能力，综合运用正、余弦定理进行运算求解的能力．本题题干较长，名词较多，需将其转化为解三角形问题．
易错提醒
(1)将题干中的数据与三角形中的边、角对应时，易出错．尤其是方位角与三角形的内角进行转换时，易出错．
(2)正弦定理、余弦定理的应用条件把握不准，易用错定理．
(3)运算易出错．
主干知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝.
3．三角恒等式的证明方法
(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．
(2)等式的两边同时变形为同一个式子．
(3)将式子变形后再证明．
4．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
5．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，
cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
6．面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
7．解三角形
(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．
(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．
(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．
(4)已知三边，利用余弦定理求解．
热点分类突破
题型一　三角变换及求值
例1、(1)已知0<β<<α<π，且cos(α－)＝－，
sin(－β)＝，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，
求2α－β的值．
注意角的组合分解
(1)(α－)－(－β)＝；
(2)α＝(α－β)＋β，2α－β＝α＋(α－β)．
(3)
解　(1)∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π，
∴cos(－β)＝ ＝，
sin(α－)＝ ＝，
∴cos＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝1.
∵tan α＝>0，∴0<α<，∴0<2α<π.
又tan 2α＝＝>0，∴0<2α<.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，
∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－.
总结提高 (1)注意角的变换，(α－)－(－β)＝；
(2)先由tan α＝tan[(α－β)＋β]，求出tan α的值，再求tan 2α的值，这样能缩小角2α的取值范围；
(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．
例题2 已知α∈(，π)，且sin＋cos＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cos β的值
解　(1)∵sin＋cos＝，
两边平方得1＋2sin·cos＝，∴sin α＝.
∵α∈(，π)，∴α＝.∴cos α＝－.
(2)∵β∈(，π)，∴α－β∈(－，)．
又sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝＝，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)
＝－×＋×(－)＝－.
题型二　正、余弦定理的应用
例1、已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，
且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B.
(1)求角C；
(2)试求△ABC的面积S的最大值．
分析：题设中的条件等式是△ABC中角、边及外接圆半径R的混合关系式，因此，可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素(边或角)．

解　(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，
两边同乘以2R，
得(2Rsin A)2－(2Rsin C)2＝(a－b)2Rsin B，
根据正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴a2－c2＝(a－b)b，即a2＋b2－c2＝ab.
再由余弦定理，得cos C＝＝，
又0<C<π，∴C＝.
(2)∵C＝，∴A＋B＝.
S＝absin C＝(2Rsin A)(2Rsin B)
＝R2sin Asin B＝－R2[cos(A＋B)－cos(A－B)]
＝R2[＋cos(A－B)]．
∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，
当且仅当A－B＝0，即A＝B＝时，cos(A－B)＝1，
S取到最大值R2.
总结提高 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．本例中将三角形面积S表示为cos(A－B)的形式，利用三角函数的知识求解是关键．
例题2 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别
为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B
＋(2c＋b)·sin C.
(1)求A的大小；
(2)求sin B＋sin C的最大值．
解　(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋
(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以cos A＝－，又0°<A<180°，故A＝120°.
(2)由(1)得sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)．
故当B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.
例题3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则
等于 (　　)
A．3 B. C. D.
解析　S＝bcsin A＝×1×c×sin 60°＝，∴c＝4.
∴a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝1＋16－2×1×4×＝13，
即a＝，
＝＝＝＝＝，故选B.
例题4（10年安徽16题12分） 设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且

（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若，求（其中）．
本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.
解：（I）因为

（II）由可得
① 由（I）知所以
②
由余弦定理知及①代入，得③+②×2，得，所以

因此，c，b是一元二次方程的两个根.
解此方程并由
题型三　正、余弦定理的实际应用
例1 、(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，
x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
思维启迪 （1）结合图形，联想y=A sin ωx的性质→求A、ω的值→确定M、P的坐标→求两点间的距离．
(2)可考虑以∠PMN＝θ的大小为设计标准，即确定θ为何值时，折线段赛道MNP最长．或考虑MN与NP的关系为设计标准．
解　方法一　(1)依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.
当x＝4时，
y＝2sin＝3，
∴M(4,3)，
又P(8,0)，
∴MP＝＝5.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.
设∠PMN＝θ，则0°<θ<60°.
由正弦定理得＝＝，
∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)，
∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)
＝＝sin(θ＋60°)．
∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长.
方法二　(1)同方法一．
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
由余弦定理得MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2.
即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤2，
从而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤.
当且仅当MN＝NP时等号成立．
即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．
探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：
(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．
(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
例题2（10年江苏17题14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=.
(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
解析:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，
。
AD-AB=DB，故得，
解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，

，
（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。
规律方法总结
1．证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．
(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．
(3)运用分析法，证明其等式成立．
2．三角恒等变形的基本思路
(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三
角恒等变换的常用技巧．
“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为
同次”，“化异角为同角”．
(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，
2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况
以已知a，b，A为例
(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，
则无解．
(2)当A为锐角时，如下表：
a<bsin A
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
4.三角形中的常用结论
(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.
(2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C.
(3)a＝bcos C＋ccos B.
5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(a<b<c)
(1)若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．
(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．
(3)若a2＋b2<c2，则△ABC为钝角三角形.
三、平面向量
感悟高考 明确考向
（2010·天津）如图,在△ABC中,AD⊥AB,

解析　设BD＝a，
则BC＝a，作CE⊥BA交BA的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sin B＝＝.在Rt△BEC中，
CE＝BC·sin B＝a·＝，
∴cos ∠DAC＝cos ∠ACE＝.
＝AD·AC·＝.
另解：因为AB垂直AD，所以选取向量为平面基底向量，用它们表示其它向量.

所以

考题分析 本题考查平面向量表示、平面向量的基本定理、线性运算、平面向量的数量积．题目为中档题难度．
主干知识梳理
1．向量的概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意
非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的
单位向量为.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的
一个方向向量．
(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a
方向上的投影．
2．向量的运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，
应熟练掌握其运算规律．
(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向
量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的
差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去
律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且
也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b ⇔a＝λb ⇔x1y2－x2y1＝0；
a⊥b ⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
热点分类突破
题型一　平面向量的数量积及应用
例1 已知|a|＝4，| b |＝3，(2 a－3 b)·(2 a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角； (2)求| a＋b |；
求△ABC的面积.

分析探究
(1)应用向量数量积的变形公式求解，即
cos〈a，b〉＝；
(2)应用公式| a＋b |＝即可求解；
(3)应用公式S＝| a || b |sin〈a，b〉求解，关键是求
sin〈a，b〉的值．
→→
解　(1)由(2a－3 b)·(2 a＋b)＝61，
得4| a |2－4 a·b－3| b |2＝61，
∵| a |＝4，| b |＝3，代入上式得a·b=－6，
∴cos θ＝＝＝－.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
(2)| a＋b|2＝(a＋b)2
＝| a |2＋2 a·b＋| b |2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴| a＋b |＝.

探究提高 (1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝及向量模的公式|a|＝.
(2)在涉及数量积时，向量运算应注意
①a·a＝0，未必有a＝0或b＝0；
②| a·b|≤| a ||b|.
例题2 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，
且
(1)判断△ABC的形状；(2)若，求边c的值.

题型二　有关向量的平行、垂直问题
例1 已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)
且b≠0，定义函数f(x)＝2a·b－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若a∥b，求tan x的值；
(3)若a⊥b，求x的最小正值．
思维启迪
(1)根据已知求f(x)的解析式，再由三角函数的单调性求f(x)的单调递增区间；
(2)由向量平行的充要条件求tan x的值；
(3)a⊥b⇒a·b＝0，得到关于x的三角等式，进而求出x的最小值．
解　(1)f(x)＝2a·b－1＝2(sin xcos x＋cos2x)－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin(2x＋)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)由a∥b，得sin xcos x－cos2x＝0，
∵b≠0，∴cos x≠0.
∴tan x－＝0，∴tan x＝.
(3)若a⊥b，则a·b＝0.∴sin xcos x＋cos2x＝0.
∵b≠0，∴cos x≠0.
∴tan x＋1＝0，即tan x＝－.
∴x＝kπ＋，k∈Z.
∴当k＝0时，x有最小正值.
探究提高 向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．
例题2 设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长为a、b、1，已知向量u＝a(cos B，sin B)，v＝b(cos A，
－sin A)．
(1)如果u⊥v，指出△ABC的形状，并说明理由；
(2)求|u＋v|.
解　(1)由u⊥v知u·v＝0，
即[a(cos B，sin B)]·[b(cos A，－sin A)]＝0，∴cos Bcos A－sin Bsin A＝0，
∴cos(A＋B)＝0，
又∵0<A＋B<π，则A＋B＝，
因此△ABC为直角三角形．
(2)由u＝a(cos B，sin B)，v＝b(cos A，－sin A)知|u|＝a，
|v|＝b，cos〈u，v〉＝＝
＝cos(A＋B)＝－cos C，
|u＋v|2＝u2＋v2＋2u·v＝u2＋v2＋2|u||v|cos〈u，v〉
＝u2＋v2＋2|u|·|v|(－cos C)＝a2＋b2－2abcos C＝1，
∴|u＋v|＝1.
题型三　向量与三角函数的综合应用
例1 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
c＝(－1,0)．
(1)求向量b＋c的长度的最大值；
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．
思维启迪

解　(1)方法一　b＋c＝(cos β－1，sin β)，则
| b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．
∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.
当cos β＝－1时，有|b＋c |＝2，
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
方法二　∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2，
当cos β＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.
所以向量b＋c的长度的最大值为2.
(2)方法一　由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)，
a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α
＝cos(α－β)－cos α.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.
由α＝，得cos＝cos，
即β－＝2kπ±(k∈Z)，
∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，
∴cos β＝0或cos β＝1.
方法二　若α＝，则a＝.又由b＝(cos β，sin β)，
c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝·(cos β－1，sin β)
＝cos β＋sin β－.
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos β＋sin β＝1.
平方后化简得2sin βcos β＝0，
解得cos β＝0或cos β＝1.
经检验，cos β＝0或cos β＝1满足题意．
∴cos β＝0或cos β＝1.
探究提高 向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性．
(1)解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想．
例题2 (2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，
b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
(1)解　因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)
＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.
因此tan(α＋β)＝2.
(2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
得|b＋c|＝
＝≤4.
又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.
(3)证明　由tanα·tanβ＝16得＝，
所以a∥b.
规律方法总结
1．利用数量积研究向量的平行和垂直
设a＝(x1，y1)，a＝(x2，y2)，则
位置关系
向量式
坐标式
a∥b
|a·b |＝|a|·| b |
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0

2.利用数量积研究夹角问题
设〈a，b〉＝θ，则cos θ＝，
数量积的符号
夹角θ的大小或范围
a·b>0
θ为锐角或零角
a·b＝0
θ＝90°
a·b <0
θ为钝角或平角
3.利用数量积求向量的长度(或模)
条件
计算公式
a＝(x，y)
| a |＝＝
A(x1，y1)，B(x2，y2)
＝
练习1．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π.
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与ka－b(k≠0)的长度相等，求β－α.
(1)证明　因为(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a·a－b·b＝|a|2－|b|2＝－＝1－1＝0，
所以a＋b与a－b互相垂直．
(2)解　ka＋b＝(kcos α＋cos β，ksin α＋sin β)，
ka－b＝(kcos α－cos β，ksin α－sin β)，
所以|ka＋b|＝，
|ka－b|＝，
因为|ka＋b|＝|ka－b|，
所以k2＋2kcos(β－α)＋1＝k2－2kcos(β－α)＋1，
有2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)，
因为k≠0，故cos(β－α)＝0.
又因为0<α<β<π，0<β－α<π，
所以β－α＝.
练习2．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．
(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对
边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，
求函数f(A)的取值范围．
解　(1)m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋·cos＋＝sin(＋)＋.
又∵m·n＝1，∴sin(＋)＝.
cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝，
cos(－x)＝－cos(x＋)＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0.
∴cos B＝，又∵0<B<π，∴B＝.
∴0<A<.∴<＋<，<sin(＋)<1.
又∵f(x)＝m·n＝sin(＋)＋，
∴f(A)＝sin(＋)＋.
故函数f(A)的取值范围是(1，)．
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