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数列易错题分类剖析
江苏省丹阳高级中学 史建军（212300）
数列是高中数学的重要内容之一，因此成为历年高考考查的重点与热点。但有些同学在数列解题过程中，因概念理解不透，审题不严，考虑不周或忽视隐含条件而导致的错误时有发生。为此，本文将数列中的易错题归类剖析，供同学们学习时参考。

1、忽视项数n的起始值导致错误
数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数，而函数的学习中要注意它的定义域，因此，学习数列中也应注意它的定义域，即项数n的起始值问题，否则会导致解题失误。
例1已知数列的前n项和为，当时，，求
错解：当时，，………………………⑴
∴………………………………………⑵
以上两式相减，得，即…………⑶
∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴.
剖析：由于没有注意n的起始值问题致错，事实上，⑴中，⑵中，从而⑶中应当，所以数列从第二项起才是等比数列。显然，所以正确的通项公式为

2、忽视等比数列中的每一项都不为零导致错误
由等比数列的定义知，等比数列中的每一项均不为零，在解题中容易忽视此条件而导致解题失误.
例2若数列的前n项和为，则数列是……………（ ）
A、等比数列
B、等差数列
C、可能是等比数列，也可能是等差数列
D、可能是等比数列，但不可能是等差数列
错解：由，易求得，故选A.
剖析：当时，，此时是等差数列，但不是等比数列，综合以上可知答案应选C.

3、忽视题设条件导致错误
例3四个实数成等比数列，前三项之积为1，后三项之和为，求其公比。
错解：设这四个数为，由题意得：
由⑴得，把代入⑵，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为.
剖析：上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为，则公比为正数。但题设并无此条件，因此导致结果有误。正确解答为：设四个数依次为，则：

由⑴得，把代入⑵，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为或.

4、忽视项数导致错误
例4等比数列的和等于 .
错解：当时，；
当时，
剖析：上述解法忽视求和公式中的项数而致错。事实上，的项数为n+1，故当时，；
当时，

5、忽视成立的条件导致错误
数列的通项与前n项和的关系为，故由求时需分n=1和两种情况讨论，有的同学容易忽视而导致解题失误。
例5若数列的前n项的和为，求.
错解：

剖析：上述解法忽视了公式成立的条件，正确的通项公式为，故数列
从第二项起为等差数列，从而数列从第二项起是等差数列，所以

6、忽视特殊情况导致错误
例6已知各项均不为0的等差数列，求证：
错证：设数列的公差为d，则
∴左边=
=右边.
剖析：上述证明过程因用到，故只有在时成立，忽视了特殊情况，本题需分与两种情况证明（证明过程略）。

7、忽视公比的三个“盲”点导致错误
等比数列中关于公比有三个“盲点”：0，±1，①公比是决定公比的首要条件；②公比是使用等比数列求和公式的前提条件；③公比是一个较为隐蔽的条件。这三个盲点始终伴随着公比，稍有不慎，就会不知不觉地犯错误.
例7⑴设等比数列的前n项和为，若成等差数列，求数列的公比
⑵若是等比数列的前n项的和，试判断是否为等比数列？
错解：⑴由已知，得，由等比数列的求和公式得：
，化简得：
或或.
⑵
，同理
所以成等比数列。
剖析：⑴显然与均不是所求的解。正确解答应分与两种情况讨论。当时，显然题设条件不成立；当时，同上可求得.
⑵事实上，当，m为偶数时，不成等比数列。因此在求解时应考虑分类讨论。
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