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线性递推关系数列极限的求法杨雄，袁新全（娄底职业技术学院 公共课部，湖南 娄底 417000）摘要：首先，探讨 Fibonacci 数列通项比的极限，并推广到一般线性递推关系通项比的极限，然后，根据条件 p+q=1 及通项比极限，求得具有一般线性递推关系式数列极限公式，可以直接用此极限公式解决一些极限问题，最后，探讨分式线性关系数列极限的求解，发现也可以推导出其求极限的公式。在探讨各类线性递推关系数列极限的求解方法时，给出了具体求极限的案例进行分析，为极限的学习和教学提供参考。关键词：数列极限；线性递推关系；求解极限中图分类号：O211.4文献标志码：A高等数学中微积分的开篇是数列的极限内容，数列中非常熟悉的是等差和等比数列，它们是广泛典型数列的特例，即是由常系数线性递推关系所给出的数列，等差数列是后项减前项等于常数，等比数列是后项比前项等于常数，这些关系就是递推公式。数列中有一著名的案例斐波那契数列，它的递推公式是任意连续三项中，第 3 项是前两项的和，即 an+2=an+1+an，只要满足一定的条件，就可以推出整个数列。因此，此类像斐波那契数列具有常系数线性递推公式的数列内容比较重要，为了更深入理解此类数列，本文对此类数列极限计算的问题进行探讨，为极限的教学及学习提供参考。1线性递推关系 an+2=an+1+an相关命题及其证明命题 1 1 设 a，b跃0，x1跃0，x2=a+bx1，xn=a+bxn-1，n=2，3，则有lim xn=a+4b+a2姨2。证明 首先，由等式 xn=a+bxn-1及 xnxn-1=axn-1+b 可得xn+1-xn=bxn-1-xnxn-1xn=bxn-1-xnaxn-1+b=xn-1-xnabxn-1+1，n=2，3，因为有 xn跃a，则有 xn+1-xn约11+a2bxn-1-xn，n=2，3，从而有肄n=2移（xn-xn-1）是一个收敛的级数，因此收稿日期：2023-01-06基金项目：湖南省社会科学成果评审委员会课题（XSP22YBC054）作者简介：杨 雄（1977-），男，湖南邵阳人，娄底职业技术学院副教授。文章编号：1008-0171（2023）04-0058-05第 41 卷 第 4 期佛山科学技术学院学报（自然科学版）Vol.41 No.42023 年 7 月Journal of Foshan University（Natural Sciences Edition）Jul.2023x寅肄第 4 期lim xn存在，设 lim xn=A，在递推公式的两边取极限可得 A=a+bA，解得 A=a+4b+a2姨2，即 lim xn=a+4b+a2姨2。例 1 设 a跃0，x1跃0，xn+1=a+xn1+xn，n=1，2，3，求 lim xn。解 由 xn+1=a+xn1+xn圯xn+1+1=2+a-1xn+1，若设 bn+1=xn+1+1，bn=xn+1，则有 bn+1=2+a-1bn，根据命题 1 可得lim bn=2+4（a-1）+22姨2=1+a姨，又因 lim bn=lim（xn+1）=lim xn+1，所以 lim xn=a姨。命题 2（Fibonacci 数列）设 a0=a1跃0，an+2=an+1+an，n=0，1，2，则有liman+1an=5姨+12。证明 设 bn=an+1an，则有 b0=1，bn=1+1bn-1，n=1，2，由命题 1 可知 liman+1an=lim bn=5姨+12。例 2 设 x1=1，xn+1=11+xn，试求极限 lim xn。解 设 xn+1=anan+1，xn=an-1an，x1=1，a0=a1=1，则有anan+1=11+an-1an，即 an+1=an+an-1，所以根据命题 2 有lim xn=limanan+1=25姨+1=5姨-12。2线性递推关系 an+2=pan+1+qan相关命题及其证明命题 3 设 a0跃0，a1跃0，an+2=pan+1+qan，n=0，1，2，其中 p，q 是两个正数，则有通项公式an+1=rn+1（a1-sa0）-sn+1（a1-ra0）r-s，n=1，2，（1）其中，r=p+p2+4q姨2，s=p-p2+4q姨2，于是 liman+1an=p+p2+4q姨2。证明 设方程 x2-px-q=0，根据题设条件可解得方程的两根为r=p+p2+4q姨2，s=p-p2+4q姨2，根据根与系数的关系可知 r+s=p，rs=-q，代入等式 an+2=pan+1+qan中，则有an+2=（r+s）an+1-rsan，n=0，1，2，移项整理可得 an+2-ran+1=s（an+1-ran），n=0，1，2，于是有 an+2-ran+1=sn+1（a1-ra0），同理 an+2-san+1=rn+1（a1-sa0），以 上 两 式 相 减 可 得（s-r）an+1=sn+1（a1-ra0）-rn+1（a1-sa0），上 式 两 端 同 除（s-r）可 得 an+1=rn+1（a1-sa0）-sn+1（a1-ra0）r-s，n=1，2，由上式可求出 liman+1an=p+p2+4q姨2。命题 4 设 a0跃0，a1跃0，an+2=pan+1+qan，n=0，1，2，其中 p，q 是两个正数且满足 p+q=1。那么，当 n 趋近无穷时，an 有极限且lim an=a1+（1-p）a02-p。n寅肄n寅肄x寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄杨 雄等：线性递推关系数列极限的求法59佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷证明 由题设可知，p2+4q姨=p2+4（1-p）姨=2-p，进而有r=p+p2+4q姨2=p+（2-p）2=1，s=p-p2+4q姨2=p-（2-p）2=p-1，由式（1）可得an+1=（a1-sa0）-（p-1）n+1（a1-ra0）2-p，因此lim an=a1-sa02-p=a1+（1-p）a02-p。例 3 设 x0=a跃0，x1=b跃0，xn=12（xn-1+xn-2）（n逸2），求 lim xn。解法 1 2 因为 xn-xn-1=-12（xn-1+xn-2），n=2，3，求积可得ni=2仪（xi-xi-1）=ni=2仪-12（xi-1-xi-2）=n-1i=1仪-12（xi-xi-1），化简整理得xn-xn-1=（-12）n-1（x1-x0）=（-12）n-1（b-a），累加求和可得xn-x0=（b-a）1-（-12）n1-（-12），即xn=23（b-a）1-（-12）n+a，所以有 lim xn=13（a+2b）。解法2 应用命题 4 的结论求解。因为有 x0跃0，x1跃0，p=12，p+q=1 满足命题 4 的条件，所以lim an=a1+（1-p）a02-p=b+（1-12）a2-12=13（a+2b）。3分式线性递推数列极限的求法定义 1 3 称由 x1及递推关系式 xn+1=axn+bcxn+d（n=1，2，）生成的数列 xn 为分式线性递推数列，其中初始值 x1屹-dc，系数 a，b，c，d 为常数，且 ab-cd屹0，c屹0。命题 5 分式线性递推数列极限 lim xn=（a+b-2d）+4bc+（a-d）2姨2c。证明 因为xn+1=axn+bcxn+d=acxn+baxn+dc=ac（xn+dc）+（ba-dc）xn+dc=ac（1+ba-dcxn+dc）=ac+bc-adc2xn+dc，n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄60第 4 期所以xn+1+dc=a+dc+bc-adc2xn+dc。若设 bn+1=xn+1+dc，bn=xn+dc，则有 bn+1=a+dc+bc-adc2bn。所以根据命题 1 可得lim bn=a+dc+4bc-adc2+（a+dc）2姨2=（a+b）+4bc+（a-d）2姨2c，又因为 lim bn=lim（xn+dc）=lim xn+dc，所以 lim xn=lim bn-dc，故lim xn=（a+b-2d）+4bc+（a-d）2姨2c。例 4 4 设 x1跃0，xn+1=3（1+xn）3+xn（n=1，2，），求极限 lim xn。解 由定义可知 a=3，b=3，c=1，d=3，由命题 5，则有lim xn=（a+b-2d）+4bc+（a-d）2姨2c=（3+3-2 3）+4 3 1+（3-3）2姨2 1=3姨。4线性递推关系数列极限的其他求法单调有界数列必有极限，因此这也是求解数列极限的一种方法。例 5 设 a跃0，x0跃a姨，xn=12（xn-1+axn-1），n=1，2，求 lim xn。解法 1 因为有 xn=12（xn-1+axn-1）=a姨2（xn-1a姨+a姨xn-1）逸a姨，n=1，2，进而得到xn+1xn=12（1+axn2）臆1圯xn-1臆xn。所以数列 xn 单调递减且有下界，极限存在。设 lim xn=A，则 A逸a姨跃0，则有 A=12（A+aA）圯A2越a圯A越a姨，即 lim xn=a姨。解法 2 因为 xn=12（xn-1+axn-1），所以xn-a姨xn+a姨=12（xn-1+axn-1）-a姨12（xn-1+axn-1）+a姨越（xn-1-a姨）2（xn-1+a姨）2越越x0-a姨x0+a姨蓸蔀2n，n=1，2，。设 r=x0-a姨x0+a姨，则有 0约r约1，进而从xn-a姨xn+a姨=r2n解得 xn-a姨=2r2n1-r2na姨，等式两端取极限 lim（xn-a姨）=lim2r2n1-r2na姨蓸蔀=0，故 lim xn=a姨。5结语数列的极限的求解方法很多，如利用极限定义、利用各种运算法则和技巧、利用斯笃兹定理等，都能求解数列的极限。其实数列极限问题往往不是孤立的，一个数列极限的计算有时可能要用到几种方n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄n寅肄杨 雄等：线性递推关系数列极限的求法61佛山科学技术学院学报（自然科学版）第 41 卷First,we discuss the limit of the general term ratio of Fibonacci sequence,and extend it to the limit ofthe general term ratio of general linear recurrence relation.Then,according to condition p+q=1 and the limit ofthe general term ratio,we can obtain the limit formula of sequence with general linear recurrence relation.Wecan directly use this limit formula to solve some limit problems.Finally,the solution of the limit of fractionallinear relation sequence is discussed,and it is found that the formula of the limit can also be derived.And whendiscussing the solution methods of the limit of various linear recursion relations,it gives specific cases to analyzethe limit,which provides reference for limit learning and teaching.sequence limit;linear recurrence relation;solve limitA method for calculating the limit of linearrecursive relation sequence（Department of Public Courses,Loudi Vocational and Technical College,Loudi 417000,China）YANG Xiong,YUAN Xinquan法，因此在学习求解极限时，要培养综合运用极限求解的能力，不能将知识割列得太碎。本文探讨具有线性递推关系数列极限的求法，为数列极限的求解拓宽思路，当然具有线性递推关系的数列极限求解方法很多，如矩阵理论、换元法、柯西收敛定理及有限覆盖定理等，这些都值得研究。参考文献：1舒阳春.高等数学中的若干问题解析 M.北京:科学出版社,2015:20.2孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）M.武汉:华中科技大学出版社,2003:45-46.3石岩.关于分式递推数列的若干研究 D.广州:华南师范大学,20104李颖,周敏,倪谷炎.基于特征值理论求分式线性递推数列极限 J.大学数学,2014,30（5）:74-77.62