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第1 2卷 第2期2023年6月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.2J u n.2 0 2 3教学与竞赛卫星通信传输最优方案研究闫晨曦,李 鹏,唐世伟,田 恬(陕西工业职业技术学院 机械工程学院,陕西 咸阳 7 1 2 0 0 0)摘 要:给出2 0 2 2年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛D题“气象报文信息卫星通讯传输”的求解方法.基于信息传输率最大化原则和各站点对称性原则,给出了气象报文信息共享的最少传输次数公式和最多传输队伍个数公式,通过建立传输模型对其进行证明,并对题目中的实例问题进行求解,得出相应的传输方案及传输期望.关键词:最大化原则;对称性原则;传输模型;期望中图分类号:O 2 9 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5-3 0 7 0(2 0 2 3)0 2-0 0 9 0-0 9 D O I:1 0.1 9 9 4 3/j.2 0 9 5-3 0 7 0.j mm i a.2 0 2 3.0 2.0 9收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 2通讯作者:闫晨曦,E-m a i l:1 7 2 7 8 4 2 6 8 7q q.c o m引用格式:闫晨曦,李鹏,唐世伟,等.卫星通信传输最优方案研究J.数学建模及其应用,2 0 2 3,1 2(2):9 0-9 8.YAN CH X,L I P,T AN G S H W,e t a l.S a t e l l i t e c o mm u n i c a t i o n t r a n s m i s s i o n o f m e t e o r o l o g i c a l m e s s a g e i n f o r m a t i o n(i n C h i n e s e)J.M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,1 2(2):9 0-9 8.0 引言随着时代的进步发展,社会对自然资源的开采,伴随而来的自然灾害对社会的经济、军事、政治等生产活动都会造成巨大的影响.我国气象事业蓬勃发展,利用卫星通信监测气象的实时变化已逐渐代替传统地面无线通讯传输方式,其全天候无盲区短报文通信功能1-3,能够实现无人区、弱信号、地理环境恶劣等地区的气象信息采集和回传,为灾害预防、紧急救援等提供气象保障服务.1 问题背景1.1 背景知识与问题发生自然灾害时地面通信系统极易出现瘫痪情况,这时就需要通过卫星通信传输设备进行实时气象数据采集4.为了获得更加完整准确的地面气象观测信息,就需要气象分队设立主站和副站收集气象信息.一个气象分队设立一个主站和两个副站就可以保证收集到该区域较为完整的气象信息,其中主站配备车载卫星通讯设备,副站配备便携卫星通讯设备.由于主副站所使用的设备不同,则其传输和接收的成功率也有所不同.为保证各气象分队可以高效地分享较为完整的气象信息,需要根据队伍个数或限定时间给出最佳的传输方案,以保障救援任务的顺利进行.1.2 参数与要求传输距离:所有观测站之间只能点到点通讯,且不受空间距离影响.传输成功率:周边电磁环境使得便携卫星通讯设备发送和接收消息的成功率均为8 0%,且副站不知道本站所发消息是否被成功接收,但车载卫星通讯设备发送和接收消息的成功率均为1 0 0%.传输内容要求:收发的主要内容是气象报文信息,一条气象报文(含站点编号)包含1 0 0个字符,每条消息最多包含1 5 8个字符,且同一条气象信息分割成上下两段分别传输.09第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3传输设备参数:每部通讯设备每次只能发送1条消息,发送两条消息的时间间隔不能小于1分钟.收发信道相互独立,可同时接收任意条消息.收发消息的时间非常短,可忽略.2 最优传输方案模型的建立与求解2.1 最优传输方案设计思路计算出各站点需要传输的信息总数,除以发送最大信息数,即可得到理论最少传输次数.这样就得到了队伍个数N和传输次数K之间的关系式.经过恒等变形,也可得出固定时间内的理论最多传输队伍个数.接着,通过建立一般传输模型证明可以取到上述理论值,并给出具体问题的传输方案,计算出相应的传输期望.2.2 最少传输次数的数学模型2.2.1 最少传输次数公式对于N个主站,每个主站所需的信息个数均为N-1.又因为第一次发送信息时,各站点只掌握自己的报文信息,因此第一次每个站点只能发送自己的信息给其他站点.则第一次发送信息结束后各站点均已掌握2条信息,此时各主站所需的信息数为N-2.则第二次发送信息开始,N个主站所需发送的信息总数为N(N-2).由信息传输率最大化原则,每次发送的信息个数均按最大值1.5N计算,可得传输完所有信息所需的时间K应满足以下条件,化简整理可得K(N-2)/1.5+1,(1)这样,就可以得到理论最少传输次数Km i n=(N-2)/1.5+1.2.2.2 最少次数传输方案模型本节通过给出N个主站间的传输方案模型,证明可以取到理论最少传输次数Km i n=(N-2)/1.5+1,过程如下.令N分别取3m+2,3m+3和3m+4,m1,就可取到N5的所有自然数.1)当N=3m+2(m1)时 S t e p 1:第i个主站向第i+1个主站发送自己获取的信息,12,ii+1,(i=1,2,N-1),N1,此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况分别为1:(JN,J1),N:(JN-1,JN).S t e p 2:第i个主站向第i+2个主站发送自己的完整信息和第i-1个主站的前半段信息,13,ii+2,(i=1,2,N-2),N-11,N2.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-2(1),JN-1,JN,J1),N:(JN-3(1),JN-2,JN-1,JN).S t e p 3:第i个主站向第i+3个主站发送自己的后半段信息和第i-1个主站的所有信息,14,ii+3,(i=1,2,N-3),N-21,N-12,N3.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-3,JN-2,JN-1,JN,J1),N:(JN-4,JN-3,JN-2,JN-1,JN).递推可得,当传输2m+1次时,每个主站掌握的信息总数为3m+2,掌握的信息为:1:(J2,JN-1,JN,J1),N:(J1,J2,JN-2,JN-1,JN).由以上递推可知,每个主站都共享了所有主站的全部信息,传输任务完成.将N=3m+2(m1)代入(N-2)/1.5+1中可得N-2 /1.5+1=2m+1,刚好等于此传输方案的传输次数.证明在N=3m+2(m1)时,传输次数K可以取到最小值Km i n=(N-2)/1.5+1.2)当N=3m+3(m1)时S t e p 1:第i个主站向第i+1个主站发送自己获取的信息,12,ii+1,(i=1,2,N-1),N1.19教学与竞赛卫星通信传输最优方案研究2 0 2 3年6月此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况分别为1:(JN,J1),N:(JN-1,JN).S t e p 2:第i个主站向第i+2个主站发送自己的完整信息和第i-1个主站的前半段信息,13,ii+2,(i=1,2,N-2),N-11,N2.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-2(1),JN-1,JN,J1),N:(JN-3(1),JN-2,JN-1,JN).S t e p 3:第i个主站向第i+3个主站发送自己的后半段信息和第i-1个主站的所有信息,14,ii+3,(i=1,2,N-3),N-21,N-12,N3.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-3,JN-2,JN-1,JN,J1),N:(JN-4,JN-3,JN-2,JN-1,JN).递推可得,当传输2m+1次时,每个主站掌握的信息总数为3m+2,掌握的信息如下:1:(J3,J4,JN-1,JN,J1),N:(J2,J3,JN-2,JN-1,JN).此时,每个主站尚有1个主站的信息未知,因此还需传输1次使得所有主站共享信息,故传输次数应为2m+2.将N=3m+3(m 1)代入(N-2)/1.5+1中得(N-2)/1.5+1=2m+2.说明在N=3m+3(m1)时,此传输方案可令传输次数K取到最小值Km i n=(N-2)/1.5+1.3)当N=3m+4(m1)时S t e p 1:第i个主站向第i+1个主站发送自己获取的信息,12,ii+1,(i=1,2,N-1),N1.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况分别为1:(JN,J1),N:(JN-1,JN).S t e p 2:第i个主站向第i+2个主站发送自己的完整信息和第i-1个主站的前半段信息,13,ii+2,(i=1,2,N-2),N-11,N2.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-2(1),JN-1,JN,J1),N:(JN-3(1),JN-2,JN-1,JN).S t e p 3:第i个主站向第i+3个主站发送自己的后半段信息和第i-1个主站的所有信息,14,ii+3,(i=1,2,N-3),N-21,N-12,N3.此时,从第1到第N个主站掌握的信息情况为:1:(JN-3,JN-2,JN-1,JN,J1),N:(JN-4,JN-3,JN-2,JN-1,JN).递推可得,当传输2m+1次时,每个主站掌握的信息总数为3m+2,掌握的信息如下:1:(J4,J5,JN-1,JN,J1),N:(J3,J4,JN-2,JN-1,JN).此时,每个主站尚有2个主站的信息未知,因此还需至少传输2次使得所有主站共享信息,故此传输方案的传输次数为2m+3.将N=3m+4(m 1)代入(N-2)/1.5+1得N-2 /1.5+1=2m+3.说明当N=3m+4(m 1)时,此传输方案可令传输次数K取到最小值Km i n=(N-2)/1.5+1.综上所述,当主站个数N 5时,上述传输方案均可取到最少传输次数Km i n=(N-2)/1.5+15-9.2.2.3 算法可利用如下算法,实现上述传输方案.S t e p 1:输入N,计算Km i n=(N-2)/1.5+1,a=N m o d 3;S t e p 2:判断a=2是否成立,若成立,m=(N-a)/3,若不成立则到S t e p 6;S t e p 3:令j=1,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,N),如112,NN1;S t e p 4:第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,如j=1时,1 1,N(1)3,NN,N-1(1)2;29第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3S t e p 5:第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息,判断j=m是否成立,若成立,则结束,若不成立则j=j+1,回到S t e p 4,如j=1时,1 1(2),N4,NN(2),N-13;S t e p 6:判断a=0是否成立,若成立,m=N-3 /3,若不成立则到S t e p 1 1;S t e p 7:令j=1,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,N);S t e p 8:第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息;S t e p 9:第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息;判断j=m是否成立,若成立,j=j+1,若不成立j=j+1,回到S t e p 8;S t e p 1 0:第i+1主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息,结束;S t e p 1 1:m=(N-4)/3,令j=1,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,N);S t e p 1 2:第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息;S t e p 1 3:第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息,判断j=m是否成立,若成立,j=j+1,若不成立,则j=j+1,回到S t e p 1 2;S t e p 1 4:第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息,结束1 0-1 2.2.2.4 实例计算取问题1中的N=9,由公式(1),计算得到最少传输次数Km i n=6,=0,m=2,由算法得到主站间具体气象报文传输方案如表1.表1 主站气象报文的传输方方案表(N=9,K=6)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)11211,24159,8(1)1,2,3,4,5,9,8(1)12322,34261,9(1)2,3,4,5,6,1,9(1)13433,44372,1(1)3,4,5,6,7,2,1(1)14544,54483,2(1)4,5,6,7,8,3,2(1)15655,64594,3(1)5,6,7,8,9,4,3(1)16766,74615,4(1)6,7,8,9,1,5,4(1)17877,84726,5(1)7,8,9,1,2,6,5(1)18988,94837,6(1)8,9,1,2,3,7,6(1)19191,94948,7(1)9,1,2,3,4,8,7(1)2131,9(1)2,3,1,9(1)5168,9(2)1,2,3,4,5,6,9(1),9(2),82242,1(1)3,4,2,1(1)5279,1(2)2,3,4,5,6,7,1(1),1(2),92353,2(1)4,5,3,2(1)5381,2(2)3,4,5,6,7,8,2(1),2(2),12464,3(1)5,6,4,3(1)5492,3(2)4,5,6,7,8,9,3(1),3(2),22575,4(1)6,7,5,4(1)5513,4(2)5,6,7,8,9,1,4(1),4(2),32686,5(1)7,8,6,5(1)5624,5(2)6,7,8,9,1,2,5(1),5(2),42797,6(1)8,9,7,6(1)5735,6(2)7,8,9,1,2,3,6(1),6(2),52818,7(1)9,1,8,7(1)5846,7(2)8,9,1,2,3,4,7(1),7(2),62929,8(1)1,2,9,8(1)5957,8(2)9,1,2,3,4,5,8(1),8(2),73149,1(2)3,4,2,1(1),1(2),96178193251,2(2)4,5,3,2(1),2(2),16289193362,3(2)4,5,6,3(1),3(2),263911939教学与竞赛卫星通信传输最优方案研究2 0 2 3年6月续表1传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)此轮后接收站点已有信息所属站点序号(含信息完整性)3473,4(2)5,6,7,4(1),4(2),36412193584,5(2)6,7,8,5(1),5(2),46523193695,6(2)7,8,9,6(1),6(2),56634193716,7(2)8,9,1,7(1),7(2),66745193827,8(2)9,1,2,8(1),8(2),76856193938,9(2)1,2,3,9(1),9(2),8696719注:1(1),2(1),9(1)表示每个主站信息的上半段;1(2),2(2),9(2)表示每个主站信息的下半段.2.3 最多传输队伍个数的数学模型2.3.1 最多传输队伍个数公式为了提高气象信息的地理密度,还需副站的气象报文信息对主站信息加以补充,但需满足每个主站成功接收任一分队至少1个副站报文信息的概率大于等于0.9的条件.经分析可知,当同一队伍的2个副站同时向某一主站传输信息时,该主站成功接收至少1个副站报文信息的概率为P=1-1-0.8 2=0.9 6(2)满足题目传输条件.由此,为保证发送信息的成功率,每次传输均需保证同一队伍的2个副站同时向一个主站传输信息.此时,可将同一队伍的2个副站看作一个整体,每次他们的最大发送信息数看作1.在主副站同时发送信息的情况下,从第2次发信息开始,每个主站所需获取的信息数为2N-3(此时有N支分队,各主站总共需要接收2 N条气象信息;又因为在第一次发信息时,各主站收到1条主站信息和1条副站信息再加上自己已知的1条信息,因此在第二次发消息开始时已知3条信息,所以可得出2N-3).因此,每次各分队最大发送信息数为1+1.5=2.5,可得K关于N的表达式为K(2N-3)/2.5+1.(3)经恒等变形,即可得出N关于K的表达式为N(5K+1)/4.(4)这样,就得到了理论最多传输队伍个数Nm a x=(5K+1)/4.2.3.2 最多传输队伍个数公式证明本节证明固定传输次数K,可以取到理论最多传输队伍个数Nm a x=(5K+1)/4.证明过程如下.取5K+1=4n,4n+1,4n+2,4n+3,则可遍历所有自然数.1)5K+1=4n的情形当5K+1=4n时,假设站点个数可取到N=n,只需证明N=n个站点使用的发送次数等于K,即可说明该方案满足要求,且站点个数可取到N=n.由于5K=4n-1的个位数只能为0或5,但4n-1为奇数,所以4n的个位数是6,又因为只有个位数是4或9的数与4相乘时,个位数才为6,所以n可表示为5m-1的形式.由此,假设传输完主站信息的次数为K1,则有:K1=(n-2)/1.5+1=m/3+3m-1.(5)i 当m=3a时,有K1=1 0a-1,N=1 5a-1,K=1 2a-1.在K1次报文信息传输之后,剩余5a个副站信息未知,此时主站和副站每次按最大传输个数2.5,共享副站信息,则需2a次即可完成传输.此时传输次数为K1+2a=1 2a-1=K,与计算出的K值相同,故可以取到最大值Nm a x=(5K+1)/4.i i 当m=3a+1时,有K1=1 0a+3,则N=n=1 5a+4,K=1 2a+3.49第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3在K1次报文信息传输之后,副站传输了1 0a+3个副站信息,主站在第K1次有空余信息位置,可传输1个副站信息,故还剩余5a个副站信息不知,则再需2a次即可完成传输.此时传输次数为K1+2a=1 2a+3=K,与上述计算出的K值相同,故可以取到最大值Nm a x=(5K+1)/4.i i i 当m=3a+2时,有K1=1 0a+6,则N=n=1 5a+9=3(5a+2)+3,K=1 2a+7.在K1+1次报文信息传输之后,副站传输1 0a+7个副站信息,主站在第K1和K1+1共传输2个副站信息,故剩余5a不知,则再需2a次即可完成传输.此时传输次数为K1+1+2a=1 2a+7=K,与上述计算出的K值相同,故可以取到最大值Nm a x=(5K+1)/4.其他3种情况证明过程类似.故,当K值固定时,可以取到最大值Nm a x=(5K+1)/4.2.3.3 最多队伍个数传输方案模型最多队伍个数的传输方案思路是:主站间先共享所有主站信息,同时副站将自己的信息按序依次共享给各主站.当主站间信息共享完成后,再开始共享副站信息.其中,主站间的传输方案与最少传输次数模型相同,又由上述证明过程可知,不论N取何值时,均可在主站共享信息结束后,剩余5a个副站信息未知,因此给出此时的传输方案.假设在k次报文信息传输之后,刚好剩余5a个副站信息未知,再需2a次即可完成传输.此时主站和副站每次按最大传输个数2.5共享副站信息,也就是说,每2次可传输5个副站.则令j=1,传输过程如下.S t e p 1:第i副站向第i+k+5j-5和i+k+5j-4主站发送自己的信息;第i主站向第i+k+5j-4主站发送第i-1、i-2和i-3副站的信息.此时,从第1到第N个主站掌握的副站信息情况为:1:(FN-k-5j+2,FN,F1),N:(FN-k-5j+1,FN-1,FN).S t e p 2:判断j=a是否成立,若成立则传输结束;若不成立则j=j+1,返回S t e p 1.2.3.4 算法本文展示5K+1=4n时传输方案实现的算法,其他3种情况类似,不再赘述.S t e p 1:输入K,Nm a x=(5K+1)/4,b=(5K+1)m o d 4,若b=0,m1=(Nm a x+1)/5,否则到S t e p 1 0;S t e p 2:若m1 m o d 3=0,到S t e p 3(1);否则到S t e p 5.S t e p 3(1):a=m1/3,k1=1 0a-1,m2=(Nm a x-2)/3,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,Nm a x);第i副站向第i主站发送i副站的信息,到S t e p 3(2).S t e p 3(2):第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,第i副站向第i+2j-1主站发送i副站的信息,如j=1时,主:1 1,N(1)3,NN,N-1(1)2;副:112,NN1.S t e p 3(3):第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息,第i副站向第i+2j主站发送i副站的信息,判断j=m2是否成立,若成立k=1,否则j=j+1,回到S t e p 3(2).如j=1时,主:1 1(2),N4,NN(2),N-13;副:113,NN2.S t e p 4(1):第i主站向第i+k1+5k-4主站发送i-1副站的信息和i-2副站的前半段信息,第i副站向第i+k1+5k-5主站发送i副站的信息,到S t e p 4(2).S t e p 4(2):第i主站向第i+k1+5k-4主站发送i-3副站的信息和i-2副站的后半段信息,第i副站向第i+k1+5k-4主站发送i副站的信息,判断k=a是否成立,若成立则结束;否则k=k+1,到S t e p 4(1).S t e p 5:若m1 m o d 3=1,到S t e p 6(1);否则到S t e p 8(1).S t e p 6(1):a=(m1-1)/3,k1=1 0a+3,m2=(Nm a x-4)/3,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,Nm a x);第i副站向第i主站发送i副站的信息.S t e p 6(2):第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,第i副站向59教学与竞赛卫星通信传输最优方案研究2 0 2 3年6月第i+2j-1主站发送i副站的信息,到S t e p 6(3).S t e p 6(3):第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息,第i副站向第i+2j主站发送i副站的信息;判断j=m2是否成立,若成立,k=0,j=j+1,到S t e p 6(4);若不成立则j=j+1,回到S t e p 6(2).S t e p 6(4):第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,第i副站向第i+2j-1主站发送i副站的信息,到S t e p 6(5).S t e p 6(5):第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i副站的信息,第i副站向第i+2j主站发送i副站的信息,判断k=a是否成立,若成立则结束;否则k=k+1,到S t e p 7(1).S t e p 7(1):第i主站向第i+k1+5k-4主站发送i-1副站的信息和i-2副站的前半段信息,第i副站向第i+k1+5k-5主站发送i副站的信息,到S t e p 7(2).S t e p 7(2):第i主站向第i+k1+5k-4主站发送i-3副站的信息和i-2副站的后半段信息,第i副站向第i+k1+5k-4主站发送i副站的信息,判断k=a是否成立,若成立则结束;否则k=k+1,到S t e p 7(1).S t e p 8(1):a=(m1-2)/3,k1=1 0a+6,m2=(Nm a x-3)/3,第i主站向第i+1主站发送i主站的信息(i=1,2,Nm a x);第i副站向第i主站发送i副站的信息,到S t e p 8(2).S t e p 8(2):第i主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i-1主站的前半段信息,第i副站向第i+2j-1主站发送i副站的信息,到S t e p 8(3).S t e p 8(3):第i主站向第i+3j主站发送i主站的后半段信息和i-1主站的信息,第i副站向第i+2j主站发送i副站的信息;判断j=m2是否成立,若成立,k=0,j=j+1,到S t e p 8(4);若不成立则j=j+1,回到S t e p 8(2).S t e p 8(4):第i+1主站向第i+3j-1主站发送i主站的信息和i副站的前半段信息,第i副站向第i+2j-1主站发送i副站的信息,到S t e p 8(5).S t e p 8(5):第i+1主站向第i+3j-1主站发送i+1副站的信息和i副站的后半段信息,第i副站向第i+2j主站发送i副站的信息,判断k=a是否成立,若成立则结束;否则k=k+1,到S t e p 9(1).S t e p 9(1):第i主站向第i+k1+5k-3主站发送i-1副站的信息和i-2副站的前半段信息,第i副站向第i+k1+5k-4主站发送i副站的信息,到S t e p 9(2).S t e p 9(2):第i主站向第i+k1+5k-3主站发送i-3副站的信息和i-2副站的后半段信息,第i副站向第i+k1+5k-3主站发送i副站的信息,判断k=a是否成立,若成立则结束;否则回到S t e p 9(1).S t e p 1 0:若b=1,m1=Nm a x/5,则参考、进行算法步骤续写.2.3.5 最多队伍个数传输期望在具体的传输方案中,可以计算成功接收每分队至少1个副站气象报文的主站数量期望值和任一主站接收副站数量的期望值.1)由题意知,有1个主站成功接收每分队至少1个副站气象报文的概率P=0.9 6N.那么可知 E=NP,(6)即可计算出成功接收每分队至少1个副站气象报文主站数量的期望值1 3.2)P1表示由副站传给主站信息时,主站成功接收1个副站信息的概率为P1=0.8,P2表示由主站传给主站副站的信息时,成功接收1个副站信息的概率P2=0.9 6.并且因为主站间传输副站信息时,只能选择两个副站其中的1个站点信息去传输.由此,当主站间传输了i次副站信息,副站传输N-i次副站信息,所有主站最多只能接收2N-i个副站信息.由期望计算公式1 4-1 5E=P12(N-i)+P2i,(7)即可计算出任一主站接收副站数量的期望值.式(7)中,i表示副站信息传输次数,i的值由队伍个数或传输时间决定.2.3.6 实例计算取问题2,固定K=7时,由公式(5),得最多队伍个数N1m a x,再依据上述传输方案和算法,计算69第1 2卷 第2期数学建模及其应用V o l.1 2 N o.2 J u n.2 0 2 3得副站气象报文传输方案,如表2所示,表中“/”表示两个数据任选其一.表2 副站气象报文的传输方案(K=7,N=9)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)传输轮数序号发送站点序号接收站点序号发送信息所属站点序号(含信息完整性)11 a,1 b11 a,1 b52 a,2 b62 a,2 b12 a,2 b22 a,2 b53 a,3 b73 a,3 b13 a,3 b33 a,3 b54 a,4 b84 a,4 b14 a,4 b44 a,4 b55 a,5 b95 a,5 b15 a,5 b55 a,5 b65 a,5 b15 a,5 b16 a,6 b66 a,6 b66 a,6 b26 a,6 b17 a,7 b77 a,7 b67 a,7 b37 a,7 b18 a,8 b88 a,8 b68 a,8 b48 a,8 b19 a,9 b99 a,9 b69 a,9 b59 a,9 b29 a,9 b19 a,9 b61 a,1 b61 a,1 b21 a,1 b21 a,1 b62 a,2 b72 a,2 b22 a,2 b32 a,2 b63 a,3 b83 a,3 b23 a,3 b43 a,3 b64 a,4 b94 a,4 b24 a,4 b54 a,4 b6392 a(1)/2 b(1)25 a,5 b65 a,5 b6413 a(1)/3 b(1)26 a,6 b76 a,6 b6524 a(1)/4 b(1)27 a,7 b87 a,7 b6635 a(1)/5 b(1)28 a,8 b98 a,8 b6746 a(1)/6 b(1)38 a,8 b18 a,8 b6857 a(1)/7 b(1)39 a,9 b29 a,9 b6968 a(1)/8 b(1)31 a,1 b31 a,1 b6179 a(1)/9 b(1)32 a,2 b42 a,2 b6281 a(1)/1 b(1)33 a,3 b53 a,3 b74 a,4 b14 a,4 b34 a,4 b64 a,4 b75 a,5 b25 a,5 b35 a,5 b75 a,5 b76 a,6 b36 a,6 b36 a,6 b86 a,6 b77 a,7 b47 a,7 b37 a,7 b97 a,7 b78 a,8 b58 a,8 b47 a,7 b17 a,7 b79 a,9 b69 a,9 b48 a,8 b28 a,8 b71 a,1 b71 a,1 b49 a,9 b39 a,9 b72 a,2 b82 a,2 b41 a,1 b41 a,1 b73 a,3 b93 a,3 b42 a,2 b52 a,2 b7392 a(2)/2 b(2),1 a/1 b43 a,3 b63 a,3 b7413 a(2)/3 b(2),2 a/2 b44 a,4 b74 a,4 b7524 a(2)/4 b(2),3 a/3 b45 a,5 b85 a,5 b7635 a(2)/5 b(2),4 a/4 b46 a,6 b96 a,6 b7746 a(2)/6 b(2),5 a/5 b56 a,6 b16 a,6 b7857 a(2)/7 b(2),6 a/6 b57 a,7 b27 a,7 b7968 a(2)/8 b(2),7 a/7 b58 a,8 b38 a,8 b7179 a(2)/9 b(2),8 a/8 b59 a,9 b49 a,9 b7281 a(2)/1 b(2),9 a/9 b51 a,1 b51 a,1 b79教学与竞赛卫星通信传输最优方案研究2 0 2 3年6月 根据期望计算公式(7)和(8),得到成功接收每分队至少1个副站气象报文主站数量的期望值为6.2 3 2 5,任一主站接收副站数量的期望值为1 3.1 2.3 结论本文基于信息传输率最大化原则和各站点对称性原则,介绍了气象报文信息共享最优传输方案的设计思路,通过研究传输次数K与队伍个数N的关系,建立了满足任意队伍数量最短传输时间模型和固定时间内传输最多队伍数量模型,并对可以取到最值进行了理论证明.最终,利用给出的算法实现了具体问题的传输模型和期望.文中模型普适性强,可解决类似多种问题.参考文献1 刘玲瑞,田万荣,林立,等.北斗卫星通信技术在新疆山区水文气象监测中的应用J.水利规划与设计,2 0 1 4,1:2 6-2 9.2 胡润东,徐松颖,姜林,等.基于北斗短报文模块的航标遥控遥测系统设计J.中国水运,2 0 2 2,2:6 7-6 9.3 宋溱,庞波波,翁艳云,等.北斗短报文在全球海上遇险与安全通信领域的应用与展望J.中国航海,2 0 2 2,4 5(4):6 5-6 9+7 7.4 全国大学生数学建模组委会.2 0 2 2“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛赛题E B/O L.2 0 2 2-0 9-1 5.h t t p:/w w w.m c m.e d u.c n/h t m l_c n/n o d e/5 2 6 7 f e 3 e 6 a 5 1 2 b e c 7 9 3 d 7 1 f 2 b 2 0 6 1 4 9 7.h t m l.5 陈东彦,李冬梅,王树忠.数学建模M.北京:科学出版社,2 0 0 7.6 方道元,韦明俊.数学建模:方法导引与案例分析M.杭州:浙江大学出版社,2 0 1 1.7 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.4版.北京:高等教育出版社,2 0 1 1.8 李大潜.中国大学生数学建模竞赛M.北京:高等教育出版社,1 9 9 8.9 薛毅.数学建模M.北京:机械工业出版社,2 0 1 7.1 0C o r m e n T H,L e i s e r s o n C E,R i v e s t R L,e t a l.算法导论M.3版.殷建平,徐云,王刚,等译.北京:机械工业出版社,2 0 0 9.1 1 郑莉,董渊,张瑞丰.C+语言程序设计M.3版.北京:清华大学出版社,2 0 0 3.1 2 谭浩强.C程序设计M.5版.北京:清华大学出版社,2 0 1 7.1 3 同济大学数学系.概率论与数理统计M.北京:人民邮电出版社,2 0 1 7.1 4 盛骤.概率论与数理统计M.3版.北京:高等教育出版社,2 0 0 1.1 5 李莉.统计学原理与应用M.南京:南京大学出版社,2 0 1 9.S a t e l l i t e C o mm u n i c a t i o n T r a n s m i s s i o n o f M e t e o r o l o g i c a l M e s s a g e I n f o r m a t i o nYAN C h e n x i,L I P e n g,T ANG S h i w e i,T I AN T i a n(C o l l e g e o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g,S h a a n x i P o l y t e c h n i c I n s t i t u t e,X i a n y a n g,S h a a n x i 7 1 2 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,g i v e s t h e s o l u t i o n m e t h o d o f M e t e o r o l o g i c a l M e s s a g e I n f o r m a t i o n S a t e l l i t e C o mm u n i c a t i o n T r a n s m i s s i o n,t h e P r o b l e m D o f 2 0 2 2 C UMCM.B a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f m a x i m i z i n g i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o n r a t e a n d t h e p r i n c i p l e o f s y mm e t r y o f e a c h s t a t i o n,t h e f o r m u l a o f t h e m i n i m u m n u m b e r o f t r a n s m i s s i