大学物理-振动和波.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第十五章 机械振动,基本内容：,谐振动的特征,谐振动的描述,谐振动的合成,机械振动：,物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。,机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单的机械振动是周期性的直线振动,简谐振动。,任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的。,15.1,简谐振动的特点,A,位置,A,：小球所受合力为零的位置，称为,振动系统的平衡位置,。,将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是,简谐振动,。,一、,谐振动中的理想模型,弹簧振子,如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。,m,k,X,0,以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力,F,与小球离开平衡位置的位移,x,有以下关系：,二、谐振动的特点：,1,、动力学特征：,从,动力学观点,，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。,动力学特征：质点所受得力大小与位移成正比，方向相反。,K,是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。,回复力,2,、运动学特征：,令,积分得：,从,运动学观点,，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。,运动学特征：物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数。,3,、能量特征：,其中,能量特征：,谐振动的机械能等于,x,为,A,时的弹性势能，或速度最大时（平衡位置）的动能。振动过程中动能和势能相互转换，,机械能守恒。,一个周期内的平均动能与平均势能：,例,6.,谐振子在相位为,其动能为,求其机械能。,解：,1,、方程中各参量的物理意义,x,:,表示,t,时刻质点离开平衡位置的位移。,A,:,质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值,振幅。,15.2,简谐振动的描述,一、谐振动的代数描述法,：,又,比较知,称为圆频率,仅决定于振动系统的力学性质。,t+,:,称位相或相位或周相，是表示任意,t,时刻振动物体动状态的参量。,:,称为初位相，是表示,t=0,时刻振动物体状态的参量。,2,、位移、速度 加速度,v,的位相超前,x,/2,其中,是加速度的幅值,a,与,x,的位相相反,a,t,v,x,a,x,v,0,问题：,是描述,t=0,时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（,t=0,时的位置及速度：,x,0,v,0,),，如何求解相对应的？,（,1,）、已知,t=0,振动物体的状态,x(0),v(0),求,可得：,A,与,由系统的初始条件,x(0),v(0),决定,（,2,）已知,t=0,振动物体的状态,x(0),及,A,时求,最终确定初位相,的值,m,k,X,0,例,1,：如图所示，将小球拉至,A,释放，小球作谐振动。如果已知,k,，以小球运动至,A/2,处，且向,x,负方向运动作为计时的起点，求小球的振动方程。,解：问题归结于求,t=0,小球向,x,负方向运动，因而,v,0 =+60,0,例,2,如图所示,弹簧处于原长,当子弹射入后,求系统的振动方程。,m,1,k,X,0,v,m,2,解：,t=0,x(0)=0,v(0)=v,例,3,垂直悬挂的弹簧下端系一质量为,m,的小球，弹簧伸长量为,b,。求证：放手后小球作简谐振动，并写出,振动方程。,b,自然长度,mg,平衡位置,F,取平衡位置为坐标原点，静平衡受力分析如图,kb-mg=0,证明：,则有：,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,F=mg,-,k,(,b+x,),=,-,kx,小球作谐振动,=,k,m,g,b,=,A=b,=,由,mg-kb,=0,得：,由题知：,t=0,时，,x,0,=-,b,，,v,0,=0,则可得：,所以运动方程为：,二、谐振动的图线描述法,t,x,0,t,1,A,两类问题：,1,、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线,2,、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1,、旋转矢量,A,M,x,0,P,（,t+,）,x,旋转矢量的长度,：,振幅,A,旋转矢量旋转的角速度,：,旋转矢量旋转的方向为逆时针方向,旋转矢量与参考方向,x,的夹角,：,振动周相,圆频率,M,点在,x,轴上投影,P,点的运动,规律为,振动方程,：,M,P,x,A,注意：旋转矢量在第1象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,注意：旋转矢量在第2象限速度,v,0,M,P,x,A,M,P,x,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,注意：旋转矢量在第4象限速度,v,0,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,M,P,A,则称振动,2,超前,振动,1,，,振动,1,滞后,振动,2,若周相差,=,2,-,1,0,A,1,A,2,0,A,2,A,1,0,A,A,2,2,1,1,0,x,2,、用旋转矢量分析位相与振动的关系,若周相差,=,0,，则称两振动,同步,若周相差,=,，则称两振动,反相,A,2,x,x,A,A,2,1.0,0,t,t,=1,时,x,1,=0,d,1,0,v,=,d,x,t,例,4,一谐振动的振动曲线如图所示，,求,、,以及振动方程,。,x,A,3,t,=,0,时,0,x,=,A,2,0,0,v,=,3,1,=,2,解：,1,=,t,1,+,=,5,6,x,=,A,cos(,5,6,t,3,),本题,的另一种求法,:,3,x,A,t=0,2,A,t=1,2,+,3,2,=,T,1,T,=,12,5,=,5,6,15.3,简谐振动的合成,一、同方向、同频率两个谐振动的合成,1,、利用三角函数公式合成,令,则可得：,其中：,2,、利用旋转矢量合成,x,A,1,A,2,A,结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相同。,讨论：合振动的加强与减弱,1,2,A,A,合振动加强,1,合振动减弱,A,A,2,相位相反,1,2,=,A,A,A,、,+,（,1,）若,=,2k,1,2,(,k,=0,1,2,.,、,+,),1,2,=,A,A,A,+,相位相同,、,+,(,k,=0,1,2,.,、,+,),（,2,）若,(2k+1),1,2,=,一般情形：二分振动既不同相位也不反相位，合振动振幅在,A,1,+A,2,与,|A,1,-A,2,|,之间。,二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成,一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。,一种特殊情况,拍现象,1,2,拍频,=,1,2,2,1,x,x,=,=,A,A,cos,cos,2,t,t,2,x,=,x,x,+,1,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,=,2,A,cos,2,(,(,),),2,cos,t,t,2,+,2,t,t,t,x,x,1,2,x,=,2,0.25s,0.75s,0.50s,=,=,2,16,18,1,利用旋转矢量分析，作出李萨如图形（观察演示）,三、相互垂直的同频率的两个谐振动的合成,例,5,已知,求：合振动的振幅及初相位，并写出合振动的表达式。,解：,例,6,一物体沿,x,轴作简谐振动，振幅为,0.12m,周期为,2s,，当,t=0,时位移为,0.06m,，且向,x,轴正方向运动，求（,1,）振动表达式；,（,2,）,t=0.5s,时，物体的位置、速度和加速度；,（,3,）从,x=-0.06m,且向,x,轴负方向运动到返回平衡位置所需的时间,解,:,（,1,）,由于物体此时向,x,正向运动，,故,（,2,）,（,3,）注意相位与状态相对应。,质点沿,x,轴负向运动，,设 时，,x=-0.06m.,故,质点返回平衡位置的相位为 ，设该时刻为,。,所以,第十六章 波动学基础,波动是振动的传播过程，也是动量和能量传播的过程。,机械波：机械振动在媒质中的传播过程。,电磁波：交变电磁场在空间的传播过程。,基本内容：,机械波的产生与传播,机械波的几个特征量,波动方程,波的叠加原理,（特例）波的干涉。,各类波的本质不同，但都伴有能量的传播，都能产生反射、折射、干涉和衍射等现象，且有相似的数学描述。,16.1,机械波的产生与传播,1,、,波源,2,、,弹性媒质,横波：,质点的振动方向和波的传播方向垂直,纵波：,质点的振动方向和波的传播方向平行,二、机械波的分类,一、产生机械波的条件,特点：具有波峰和波谷,（如绳子上的波）,特点：具有疏密相间的区域,（如声波）,横波的波动,波的传播方向,x,y,振,动,方,向,特点：具有波峰和波谷,纵波的波动,波的传播方向,质点振动方向,疏,密,疏,密,疏,特点：具有疏密相间的区域,三、波的形成和传播（以横波为例）,1,、过程分析：由于媒质内各质点间存在相互作用力，故当一个质点振动后，在媒质内部的弹性力作用下，将带动其周围其它的质点也相继振动起来,如此依次带动，振动状态由近及远地传播开去,形成机械波。,（静止）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至,4,）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,（振动状态传至,7,）,（振动状态传至,10),（振动状态传至,13,）,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,2.,结论,（,1,）各质点仅在自己的平衡位置附近振动，并不,随波前进。,（,2,）,振动状态,以一定的速度传播,波速。（注意,波速不是质点的振动速度）,（,3,）波的周期与质点的振动周期相同。,沿波的传播方向，各质点的相位依次落后。,（,4,）波形在空间移动,行波。,四、波的几何描述,同相面（波面）：,由振动周相相同的点所组成的面。,波阵面（波前,),：,某时刻波动所到达的点所组成的面。,波线（波法线）：,表示波的传播方向的线。在各向同性介,质中与波面法线相同。,在各向同性媒质中波线和波阵面垂直,平面波,波,线,波,阵,面,球面波,波阵,面,波,线,平面波：,球面波：,波阵面为一球面。,波阵面为一平面。,横波波速,s,F,F,G,切变弹性模量,密度（单位体积质量）,波长,在同一条波线上,周相差为,2,的两,质点间的距离。,周期,传播一个波长距离所用的时间。,频率,在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。,波速,波在单位时间内所传播的距离。,16.2,机械波的几个特征量,频率,和,周期,只决定于波源，和媒质无关。,纵波波速,流体（气体、液体）,固体,Y:,杨氏弹性模量,V,V,P,P,B:,容变弹性模量,波速是与媒质有关的一个物理量,任意点（,B,点）的振动方程为：,参考点,O,点的振动方程为：,u,y,x,x,o,B,y,表示在波线上任意一点（距原点为,x,处）质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波的波动方程。,16.3,波动方程,一、平面简谐波的波动方程,质点的振动速度：,平面简谐波的波动方程为,:,其中减号表示波向,x,轴正向传播，加号表示波向,x,轴负向传播,表示在,t,1,时刻的波形,y,t,o,3,、,t,与,x,都发生变化,t,=,t,1,时,y,x,o,表示,x,1,处质点的振动方程,二、波动方程的物理意义,1,、,x,=,x,1,（常数）,2,、,t,=,t,1,（常数）,t,=,t,1,+t,时,y,y,1,x,ut,x,y,t,x,表示在,t,1,时刻,x,处的位移,y,1,，,在经过,t,时间后，同样的位移发生在,x,处，波向前传播了,ut,的距离，即某一固定周相传播了,ut,的距离。,y,1,=,令,y,x,x,=,+,u,t,得：,可以证明三维的波动方程为：,其中,为,质点的位移,从上两式可得波动方程：,三、波动方程的一般形式,例,1,、,已知波源在原点的平面简谐波的方程为,式中,A,、,B,、,C,为正值恒量。,试求：,（,1,）波的振幅、波速、频率、周期与波长；,（,3,）任何时刻，在波传播方向上相距为,D,的两点的周相差。,（,2,）写出传播方向上距离波源,l,处一点的振动方程；,解：（,1,）波动方程的标准形式,波的振幅为,A,波速,频率,波长,（,2,）,（,3,）,例,2,以,P,点在平衡位置向正方向运动作为计时零点，写出波动方程。,y,x,P,o,u,d,解：,p,=,2,y,p,=,A,A,A,cos,cos,cos,d,d,t,t,t,),),),(,(,(,2,2,2,y,=,=,o,+,+,u,u,y,x,u,例,3,波速,u,=400m/s,t,=0 s,时刻的波形如图所示。写出波动方程。,u,y,(m),p,4,5,3,2,o,x,(m),2,3,=,=,0,p,t,=,=,=,A,y,v,0,0,0,(o,点,),2,2,0,=,y,v,0,0,t,0,(p,点,),=,0,0,得：,得：,2,p,=,0,d,0,p,=,2,d,=,=,2,2,3,5,(,),3,4(m),y,(m),2,3,=,=,0,p,u,p,4,5,3,2,o,x,(m),d,y,=,=,2,200,2,u,=,=,=,2,400,4,0,4,cos,),(,200,3,t,S,1,=,4(m),(,),例,4,一横波在弦上传播，其方程是,式中,x,、,y,以米计，,t,与秒计。,（,1,）求波长、周期、波速；,（,2,）画出,t=0,0.0025s,0.005s,时弦的形状。,解：（,1,）方法一：,与标准方程相比较,波长,周期,T=0.01S,波速,方法二、,依各量的物理意义求解,（,2,）方法一：根据各时刻的波形方程逐一画出波形。,方法二：只画出,t=0,的波形，然后采用移动波形的方法。,0.4,0.2,y,x,o,例,5,、一平面简谐波在空间以速度,u,传播，已知,p,点的振,就下面四种选定的坐标系，写出各自的波函数。,动方程为,o,p,y,x,u,u,x,y,o,p,u,x,y,o,p,l,o,p,y,x,u,l,例,6,、,沿,x,轴,负向,传播的平面简谐波在,t=2s,时的波形曲线如图，设波速,u,=0.5m/s,求原点,0,的振动表达式。,t=0,x,0,y,0.5,-1,1,2,t=2s,解：由图知,t=0,原点,0:,例,7,、,一平面简谐波沿,x,轴正向传播，其振幅和圆频率为,A,、,波速为,u,，设,t=0,时的波形曲线如图。,（,1,）写出该波的波函数；,（,2,）求距,0,点为,（,3,）求距,0,点为,处的质点的振动表达式；,处的质点在,t=0,时的振动速度。,y,x,0,u,解：（,1,）,t=0,时，,0,点的相位，即初相位,故波函数,（,2,）,（,3,）,16.4,波的能量 能流密度,一、能量密度,p,d,E,d,E,=,可以证明：,k,d,m,d,V,取体积元,d,V,，,体元内质量为,d,V,d,m,=,d,E,d,E,=,2,k,+,d,E,p,=,d,E,k,能量密度,:,平均能量密度：,能流,P,:,单位时间通过某一面积的波能。,P=S w u,二、能流密度,平均能流,P,:,能流在一个周期内的平均值。,u,u,S,波的强度,I,（能流度）,:,通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流。,w,1,2,2,2,u,I,=,u,=,A,总结：,波是能量传播的一种形式。,波真正传播的是振动、波形和能量。波形传,播是现象，振动传播是本质，能量传播是量度。,t+,t,u,t,u,t,t+,t,t,时刻波阵面,t,时刻波阵面,16.5,惠更斯原理,一、惠更斯原理,波动所到达的媒质中各点，都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,用惠更斯原理解释折射定律,sin,sin,i,r,=,CB,AB,AD,AB,=,u,u,1,1,2,2,=,u,2,u,=,=,n,n,1,n,1,2,t,t,i,u,u,t,1,2,t,r,n,n,1,2,C,B,A,D,i,r,u,t,1,2,二、惠更斯原理的应用,沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加,两水波的叠加,16.6,波的叠加原理,一、波的叠加原理,1,、,波的独立传播原理,:,有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。,2,、,波的叠加原理,:,在几列波相遇的区域内,媒质质点同时参与这几列波所引起振动，其位移为各波单独存在时在该点所引起振动的合振动。,二、波的干涉,相干波源：,若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两波源为,相干波源,。,波源,cos,=,+,t,y,2,2,2,A,),(,S,t,=,y,1,1,1,A,cos,),(,+,S,1,r,*,2,s,r,1,1,y,*,2,2,s,P,y,.,P,点,r,r,=,2,2,2,1,1,(,),y,t,2,+,r,=,2,2,2,2,cos,),A,(,+,t,=,y,2,1,1,A,cos,),(,1,1,r,干涉加强,(A,最大,),条件：,干涉减弱,(A,最小,),条件：,=,2k,k=0,1,2,+,+,+,2k,=,(,1,),k=0,1,2,1,1,1,A,cos,cos,sin,sin,=,+,2,r,r,(,),),),(,(,(,2,1,1,tg,2,2,2,A,A,A,2,2,1,r,r,),+,2,2,2,2,A,A,A,A,cos,=,2,+,+,2,2,2,1,1,A,),2,2,2,1,=,r,r,(,1,2,波程差,r,r,1,=,+,k,干涉加强,r,2,(,),波程差,r,1,+,2k,2,=,+,1,干涉减弱,=,1,2,若：,则有：,+,+,2k,(,1,),=,=,r,r,),(,2,1,2,r,r,=,),(,2,1,2k,+,=,2,r,r,),2,2,2,1,=,(,1,问题：,对于相干光波，干涉条件如何？,两波的波动方程分别为：,y,y,2,2,A,A,+,x,x,t,t,T,T,cos,cos,2,1,=,=,),),(,(,驻波,：一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成的波。,A,A,x,cos,=,振幅,2,2,y,2,2,A,+,t,T,cos,2,1,=,y,y,=,x,cos,2,三、驻波,x,A,A,cos,=,振幅：,2,2,波腹位置：,波节位置：,2k+1,2k+1,=,(,),),(,x,x,=,2,2,4,2,2k,x,x,=,=,2k,2,4,相邻两波节（或波腹）的距离,:,x,x,k+1,k,=,2,驻波的特点：,1.,有波节、波腹；,2.,波节两侧质点的振动周相相反，相邻两波节之间的质点振动周相相同。,3.,波的强度为零，不发生能量由近及远的传播。是一种特殊的振动状态。,波节,波腹,四、半波损失,u,u,2,2,1,1,若,媒质,1,媒质,1,u,1,1,u,2,2,媒质,2,称媒质,1,为,波疏媒质；,媒质,2,为,波密媒质。,1.,绳子波在固定端反射,入射波,反射波,叠加后的波形,墙,体,),波,密,媒,质,(,y,y,在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变，称为,半波损失,。,入射波,反射波,叠加后的波形,y,y,自,由,端,2.,绳子波在自由端反射,在反射端形成波腹在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失,。,y,=,A,cos,t,它向墙面方向传播经反射后形成驻波。求：驻波方程、波节及波腹的位置。,考虑到半波损失后,P,点的振动方程：,y,d,cos,=,+,p,(,),u,t,A,y,y,cos,cos,=,=,d,p,(,(,),),u,u,t,t,入射波,入,A,A,x,d,y,墙,面,p,入射波,o,x,例,8,设波源（在原点,O,）的振动方程为：,墙,面,d,y,x,p,(,叠加点,),m,入射波,反,射,波,o,考虑到半波损失后,P,点的振动方程：,d,u,cos,y,=,+,p,(,),t,A,反射波在叠加点,(m,点,),的振动方程：,cos,2,d,u,t,A,=,+,(,),x,y,cos,d,d,u,u,t,A,=,+,),(,反,x,驻波方程：,=,x,d,),波腹：,2,(,+,2,2k,2,+,d,(,2k,x,=,4,),1,x,y,y,y,cos,cos,t,2,=,=,+,+,+,(,(,),x,入,反,2,2,d,d,2,2,),A,cos,=,(,),u,t,A,+,cos,2,d,u,t,A,+,(,),x,