相依主索赔与副索赔风险模型的有限时破产概率的渐近性 (1).pdf
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1、第 卷第期华中师范大学学报(自然科学版)V o l N o 年月J OUR NA LO FC E N T R A LCH I NANO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t S c i)A u g 收稿日期:基金项目:江苏省“高层次人才培养工程”项目通信联系人 E m a i l:b e e w k y v i p c o mD O I:/j c n k i 文章编号:()A s y m p t o t i c so f f i n i t e t i m e r u i np r o b a b i l i t yo far i s km o d e lw i t hd
2、 e p e n d e n tm a i n c l a i m sa n db y c l a i m s GUOX i a o j u a n,WANGK a i y o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,S u z h o uU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,S u z h o u ,J i a n g s u,C h i n a)A b s t r a c t:Ar i s km o d e lw i t hm a i
3、 n c l a i m sa n db y c l a i m s i sc o n s i d e r e di nt h ep a p e r T h er i s km o d e lw i t hac o n s t a n tf o r c eo f i n t e r e s ta n daB r o w n i a np e r t u r b a t i o na r es t u d i e d Wh e nt h em a i n c l a i m sa n db y c l a i m sa r ep a i r w i s eq u a s i a s y m p
4、t o t i c a l l y i n d e p e n d e n tw i t hd o m i n a t e d l yv a r y i n gt a i l s,t h ea s y m p t o t i c so ff i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t yh a v eb e e no b t a i n e d K e yw o r d s:f i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t y;m a i n c l a i m s;b y c l a i m s;a s y
5、 m p t o t i c s I n t r o d u c t i o n R i s km o d e lI n i n s u r a n c ep r a c t i c e,s o m ec l a i m sm a yo c c u ra f t e r t h e i mm e d i a t ec l a i m s T h e i mm e d i a t ec l a i m sa r ec a l l e dm a i nc l a i m sa n de v e r ym a i nc l a i m m a yc a u s eab y c l a i mo c
6、c u r r i n ga f t e r ap e r i o do f d e l a y W es u p p o s et h em a i nc l a i m sXi,ia n db y c l a i m sYi,i a r e t w o s e q u e n c e s o fn o n n e g a t i v ea n di d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o mv a r i a b l e s(r v s)w i t hc o mm o nd i s t r i b u t i o n sFa
7、n dG,r e s p e c t i v e l y T h e m a i n c l a i m sa r r i v a lp r o c e s sN(t),ti sac o u n t i n gp r o c e s sw i t hi n t e r a r r i v a l t i m e si,is a t i s f y i n gE(N()a n dE(N(t)f o ra l l t;w h i l et h ed e l a y t i m e s o f b y c l a i m sTi,i a r en o n n e g a t i v e(b u tp
8、 o s s i b l yd e g e n e r a t ea t)a n di d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d r v s w i t h c o mm o nd i s t r i b u t i o nHC(t)i s t h e t o t a l a m o u n t o fp r e m i u m sa c c u m u l a t e du pt o t i m et,w h i c h i sa n o n n e g a t i v e a n d n o n d e c r e a s i n g s t o
9、c h a s t i cp r o c e s sw i t hC()a n dC(t)a l m o s ts u r e l y(a s)f o ra l l t T h ed i f f u s i o np r o c e s sB(t),t a sap e r t u r b e dt e r mi sas t a n d a r dB r o w n i a nm o t i o nw i t hv o l a t i l i t yp a r a m e t e r L e tiikk,i b et h ea r r i v a l t i m e so fs u c c e
10、s s i v em a i nc l a i m s,rb et h ec o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s ta n dx b et h ei n s u r e rs i n i t i a l r e s e r v e T h u s,t h e s u r p l u sp r o c e s s i se x p r e s s e da sUr(t)xer tt er(ts)dC(s)iXier(ti)itiYier(tiTi)iTitt er(ts)dB(s)()A n dt h ed i s c o u n t e da g g
11、r e g a t ec l a i m su pt ot i m et i sDr(t)iXier iitiYier(iTi)iTit,()w h e r e Ai st h e i n d i c a t o r f u n c t i o no fa ne v e n tAT h er u i np r o b a b i l i t yw i t h i naf i n i t et i m et i sd e f i n e da sr(x,t)P(Ur(s)f o r s o m e st|Ur()x)()T h i sp a p e rw i l l i n v e s t i
12、g a t e t h e a s y m p t o t i c so ft h e f i n i t e t i m e r u i np r o b a b i l i t yr(x,t)f o rta sx I nt h i sp a p e r,w ea s s u m et h a tXi,Yi,i,i,i,Ti,i,C(t),ta n d第期郭晓娟等:相依主索赔与副索赔风险模型的有限时破产概率的渐近性 B(t),ta r e i n d e p e n d e n t a n d f o r a n y t,C(t)t er sdC(s)a s()A t t h ee n do
13、 f t h i ss u b s e c t i o n,w es t a t es o m en o t i o n s I f t h e r e i sn os p e c i a l s t a t e m e n t,a l l l i m i tr e l a t i o n s h i p s i nt h i sp a p e ra r ef o rx F o rt w on o n n e g a t i v ef u n c t i o n sa(x)a n db(x),w ew r i t ea(x)o()b(x)i f l i m s u pa(x)/b(x);w r
14、 i t ea(x)b(x)i fl i m s u pa(x)/b(x);w r i t ea(x)b(x)i f l i m i n fa(x)/b(x);w r i t ea(x)b(x)i f l i ma(x)/b(x)L e txym i nx,ya n dxy m a xx,y F o rap r o p e rd i s t r i b u t i o nVo n(,),l e tV(x)V(x)b e t h e t a i lo fVf o rx(,)A sT a n g,w ed e f i n et:E(N(t)t:P(t)a n dti n ft:E(N(t)i n
15、ft:P(t)C l e a r l y,t,i fP(t);(t,i fP(t)M a i nr e s u l t sT h i sp a p e rw i l l c o n s i d e r t h em a i nc l a i m sa n db y c l a i m sa r eh e a v y t a i l e d I nt h ef o l l o w i n g w ew i l l i n t r o d u c e s o m e h e a v y t a i l e d d i s t r i b u t i o nc l a s s e s F o rd
16、e t a i l e dd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ft h e s ed i s t r i b u t i o nc l a s s e s,o n e c a ns e eB i n g h a me ta l,E m b r e c h t se t a la n ds oo n S a yt h a t a d i s t r i b u t i o nVo n(,)b e l o n g s t o t h eh e a v y t a i l e dc l a s s,d e n o t e db yVK,i f
17、 f o ra n ys,es ud V(u)S a yt h a t a d i s t r i b u t i o nVo n(,)b e l o n g s t ot h el o n g t a i l e dc l a s s,d e n o t e db yVS,i f f o ra n yy,V(xy)V(x)Ad i s t r i b u t i o nVo n,)i ss a i dt ob e l o n gt ot h e s u b e x p o n e n t i a l c l a s s,d e n o t e db yVS,i fV(x)f o ra l l
18、xa n dVn(x)nV(x)h o l d s f o rs o m e(o re q u i v a l e n t l yf o ra l l)n,w h e r eVnd e n o t e st h en f o l dc o n v o l u t i o no fVw i t h i t s e l f S a yt h a t ad i s t r i b u t i o nVo n(,)b e l o n g st ot h ec l a s sS,i fV(x)xSS a yt h a t ad i s t r i b u t i o nVo n(,)b e l o n
19、g st ot h ed o m i n a t e d l y v a r y i n g t a i l e dc l a s s,d e n o t e db yVD,i f f o ra n y y,l i m s u pxV(x y)V(x)I t i sw e l lk n o w nt h a tLDSLF o rad i s t r i b u t i o nVo n(,),w ed e f i n et h a tJVl i myl o gV(y)l o gy,w h e r eV(y)l i m i n fxV(x y)V(x),yL e tLVl i myV(y)B yt
20、 h ed e f i n i t i o n s,w ek n o wt h e f o l l o w i n ge q u i v a l e n t s t a t e m e n t s:i)VD;i i)JV;i i i)LVF o r t h er i s km o d e l(),F ue ta ls u p p o s e dt h a t t h em a i n c l a i m sa n db y c l a i m sa r eas e q u e n c eo fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t
21、hd o m i n a t e d l yv a r y i n gt a i l s,a s y m p t o t i c so ft h er u i np r o b a b i l i t yw e r e i n v e s t i g a t e d F ua n dL is u p p o s e dt h a t t h es u r p l u sw a s i n v e s t e d t oap o r t f o l i oo f o n e r i s k f r e ea s s e ta n do n er i s k ya s s e tw i t hd
22、e p e n d e n tm a i n c l a i m sa n db y c l a i m s F o rt h ea b o v er e s u l t,L ic o n s i d e r e do t h e rd e p e n d e n c es t r u c t u r e si nw h i c he a c hp a i rr a n d o mv a r i a b l e sw e r eq u a s i a s y m p t o t i c a l l y i n d e p e n d e n t o rh a d t h e s t r u c
23、 t u r eo fb i v a r i a t er e g u l a rv a r i a t i o n U n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h e d i s t r i b u t i o n s o f m a i n c l a i m s a n d b y c l a i m s b e l o n g e d t o t h er e g u l a r l y v a r y i n g t a i l e dd i s t r i b u t i o nc l a s s,a na s y m p t o t i c e
24、 s t i m a t i o no f t h ei n f i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t y w a so b t a i n e d G a oa n dL i uc o n s t r u c t e dan e wi n s u r a n c e r i s km o d e lt h a t w a s a l s o p e r t u r b e d b y d i f f u s i o n w i t h ac o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s t w h i c hi
25、 n v o l v e d m a i nc l a i m s a n d b y c l a i m s T h e y o b t a i n e d s o m ea s y m p t o t i c r e s u l t s f o r t h e f i n i t e t i m e r u i np r o b a b i l i t ya n dt h et a i lp r o b a b i l i t yo fd i s c o u n t e da g g r e g a t ec l a i m s G a oe ta lc o n s i d e r e d
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