外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计.pdf

Mathemit数学物理学报2023,43A(4):1133-1148Cientiahttp:/外区域上非稳恒 Navier-Stokes 流的加权模估计张庆华（南通大学理学院江苏南通2 2 6 0 1 9)摘要：该文研究外区域上3维非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计首先构造一个向量场去点乘Navier-Stokes方程的两边，从而将Navier-Stokes流表示为一个积分方程的强解；然后对积分方程的各项进行估计利用初始条件 cuo ELr(2)，u o EL(2)，其中luoll3充分小，指数0 3,13且maxr,号 0.在情形0 2下，该文的初始条件要比文献弱，对指数q的限制也比文献宽松.关键词：外区域；Navier-Stokes流；加权模估计.MR(2010）主题分类：35Q30;76D05文章编号：1 0 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-1 1 33-1 65中图分类号：O175.24文献标识码：A1引言围绕着一个刚体流动的不可压非稳恒粘滞流体可以表述为一个3维Navier-Stokes方程初、边值问题的强解，即Otu-vu+(u.V)u+Vp=0,t 0,a E2,.u=0,t 0,E2;u(t,a)=0,t 0,E a2,(u(t,)0,as acl-oo;u(0,)=uo(),E 2.这里CR3是刚体的外部区域，其边界a2假设是光滑的uo(）表示流体的初始速度，u(t,a)表示流体在时刻t0点 E处的速度，而 p(c,t)则表示流体的内压为方便起见，我们总假设刚体包含在单位球中，即B1(O)，而空间的坐标原点则含于中我们还假设流体的粘滞指数V=1，这可以通过无量纲化的方式得到.在过去的二十多年中，Navier-Stkoes方程初、边值问题（1.1）强解的存在唯一性及其渐近行为得到广泛的研究Kato16,Giga-Miyakama7 以及Iwashita15 在不同的空间区域上研究了具有小初值（即 lullL(2)充分小)强解的整体存在性与唯一性，He-Miyakamal,Han8-9,Zhang-Zhu21等研究了外区域上Navier-Stkoes 流的L9-模按时间衰减的现象，并对衰减指数进行了估计.收稿日期：2 0 2 2-0 5-1 0；修订日期：2 0 2 3-0 4-2 4E-mail:(1.1)1134Navier-Stkoes流的加权模估计一直受到学者的关注在该问题中，对边界上流体内压的加权L模的估计是一直是难以处理的通过构造一个合适的向量场并用它点乘方程(1.1)的两端，He-Xin14 在导出的积分方程中成功的移除了内压这一项，并得到了如下的估计(1+al2)u E L(0,0;L9(2)for =和(1+al2)u E L(0,0;L9(2)for 1-这里流体的初始速度uo落在空间Li(2)nL%(2）中，其范数 Iluolla充分小，还满足（1+a|2)%uo E L%(2)或者(1 +a|2)uo E L9(2).Bae-Jin2,3 对于 n=2,3 将该估计进行了推广，Bae-Roh4 针对 n=3 的情形做了进一步的改进，并推得这里0 n,县1 rn.初始速度满足uoL(2)nL(2),并具有小范数 Iluolln，而且 aluo ELr(2).不久后，Bae-Roh5 将上面的假设修正为：q-各若0 1以及=3,并且2 uo(2)。其中(1,若0 1,n=2,3,2,若 1 2,n=3,若 1 2,n=2,及2 0.这里 1 0,max(r,3)0.初始条件为 uo L(2)L(2)Dl-t,其中号,1b2满足+=4.另外还需要|3(1-)uoLr(2).这一结果反映了流体在权重为|a|3(1-）的L空间中按时间衰减的规律.本文继续研究外区域上3维Navier-Stokes 流的加权模估计。将文献 2-5,1 4所使用的技术稍作改进后，我们将推出如下的估计这里，0 3,uo L()并具有很小的范数，还需要|aluo Lr(),其中33r3-rq8,Q+1233r=,max3-r(-1)3-)333q8,Q-13-数学物理学报33_37q80733 0.3Vol.43A若0 1,3_q8,若1 2,若2 3.No.4本文将文献 5 的初始条件：luoL(2)若0 1,la|2o L(2)若1 2都减弱为%（9）。由于0 是一个外区域，文献 同对了的限制与本文一致。文六，因此本文在情形2 2。3中对4的限制较为宽松，关于0 1 尽管下限mx（%，）！比1 市强一些，上限！在本文中已经含弃了，进一步的，文献 2-司中的估计只能刻画流体在t时的渐近行为，本文的估计对t与t0时流体的状态都进行了描述.关于半空间上不可压黏滞流体的加权模估计，可以参考文献 1 0，1 3,2 0 等.张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计11352准备知识与主要结论首先对函数空间及 Navier-Stokes 的强解进行简要的回顾给定 1 q 8o，我们将上数值型或向量型幂可积函数空间统统记为La(2),其范数为I/l=（Ja l f(a)d a)或lll=（Ja l u i(a)d a)，对于正整数 k，阶Sobolev空间记为Whk.(2),，其范数为Illk,g=，l a l l a，这里f表示的阶弱导数，其中=（1,2,an）N n。对lalk于上给定的非负可测函数 w,定义加权 L空间为L%(2):=uELio。(2):w u EL 9(2).记 C8(2):=uEC(R):V=0),并用 L%(2)表示 C8(2)在 L9(2)中的完备化子空间Helmholtz 投影Pg：L 9(2)L%(2)是定义在 L(2)上的有界线性算子，对任意的uE L%(2)，满足 Pqu=u（见文献 1 8).将算子 Id-P的值域记为G(2),则有Helmholtz分解L9(2)=L%(2)田 G9(2),并且 G9(2)可以刻画为G9(2)=Vp E L9(2):p E Lioc(2).进一步的，若 1 0,使得对任意的VpEGq(2),有Il/ll*CIIVpll:这里Q*=-,是的 Sobolev共轭指数(参考文献 1 9).给定向量场 uo ELn(2),我们称向量值函数u=u(,t)是Navier-Stokes方程(1.1)的强解，或称 u为具有初始速度 uo 的 Navier-Stokes 流，若 u属于函数空间 C(0,o);L(2)nC1(0,00);L(2)n C(0,0);D(An),满足初始条件 u(0)=uo,并在空间 L(2)中满足抽象积分方程这里 Ag=-Pa为外区域上的 Stokes 算子，其定义域为 D(Aa)=Lg(2)n W(2)nW2,9(2)利用Helmholtz分解（2.1）以及Navier-Stokes方程强解正则性的经典理论，容易看出相应于 Navier-Stokes 流 u，一定存在一个梯度场 Vp E C(0,oo);Ln(2)，使得函数对(u,Vp）在时空区域2（0,+oo）内处处满足Navier-Stokes方程（1.1).下面的引理涉及Navier-Stokes流的整体存在唯一性以及L9模估计（参考文献 6，1 1,15).引理2.1 存在充分小的正数 no0,使得当 uo E Ln(2)满足Ilulln no时，Navier-Stokes 方程(1.1)在整个区间 0,o)上存在唯一的强解 u.若还有 uo E Lr(2),其中 1 r n,(2.1)(2.2)du+1136则该强解还满足下面的估计若rq8;若rqn.下面的定理刻画了3维空间的外区域上Navier-Stokes 流在加权L9空间中的渐近行为.定理 2.1 假设1,oL(2)并且|aoL(2),这里1:还假设IluollL(2)no，且u是由引理2.1 确定的Navier-Stokes方程初、边值问题（1.1)的强解。则对每二个max(号,),存在小正数 0 0,使得当 IlulL(2)n时，总有(2.5)注2.1 从估计式（2.5）中我们既可以看出流体的加权L9模在初始时刻t=0的奇性，又可以看出它随时间增加而不断衰减的特性这是本文所导出的估计式的共同特征.定理2 2 假设1 0 32.1 8（），且有2 5m以及laluoEL(0),其中max(;).假设u是由引理 2.1 确定的(1.1)式的强解。则存在0 0,使得当 lul%(2)n时，有Ilu()l C(1+t%)t-号(+-),t 0.定理 2.3 假设 2 3,1以及.假设=Lg(2)以及la|auo ELr(2)，并满足IluollLg(2)no.若u是Navier-Stokes方程（1.1)相应的强解。则存在 0 0,使得对于 luoll g(2),总有(2.7)注2.2 显然本文对指数,r,q取值范围的限制要比文献 1 4 宽松与文献 5 所使用的条件：auoLr(2)若0 1,以及|2 uoLr()若1 2相比，这里的条件a|uoE Lr(2)也要弱一些.本文对指数的限制也比文献 5 弱.实际上，在情形0 0 与 R2,令 hr(a)=lal(1-()p(/R).显然，hR C(R3),并在 的边界上取值为0.简单的计算可知，对每一个k=0,1,2,，都存在常数C=C(k)0,使得IVkhr(a)/Clala-k.引入两个向量场v(c,t)=N*(hrV u(t)(a)与wi(a,t)=(N*G(t)(c)ei.这里e=（0,1,0）是第讠个坐标轴上的单位向量，N(）=（4元|al)-1是牛顿势函数的积分核，G(a,t)=(4元t)-=exp【-）是高斯积分核，并记G(t)：=G(，,t).数学物理学报Il()l l ull-(+-),0 0,I u()l ull-(+-),0,Il/(+)l C(1+t)-(+-),t 0.Ila/(t)la C(1+t)t-(-),t 0.Vol.43A(2.3)(2.4)(2.6)No.4容易验证V (c,t)=hr(a)u(a,t)+VN*(VhR u(t)()-V N*(VhR u(t)(a),以及V V w(,t)=G(,t)ei+VrOr;(N*G(t)(c)=:Vi(c,t).直接计算可知除了IVi(t)Il1与II2wi(t)1外，下列不等式成立max(/4G()/,I/h i(+),I/2+w()/Ct-(-+),0.其中1 r8,kEN.假设 Iluoll3 no 使得以 uo 为初值的 Navier-Stokes 流 u是整体存在的。对每一个t0以及0 t，用下面的向量场H;(a,y,t-T)=Vy hr(y)Vy w(-y,t-T)去点乘Navier-Stokes方程（1.1）的两边，并在区间 0,t2 实施分部积分，得at-su(y,t-S).H;(c,y,d)dy0Juo(y)H;(,y,t)dy+与文献 2 类似，再定义两个辅助函数3Ri(e,-)=2 Zoykk=1+VAhr(y)Vy w(-y,t-T)与R(a,y,t-T)=2(Vhr(y)V)Vi(c-y,t-T)+h r(y)Vi(a -y,t -T),则积分方程(3.2)变为u(y,t-S)H;(a,y,d)dyJ22t-u(y,T)Rg(a,y,t-T)dydt+Jj=1 Joat-8JoJ注意到lim6=0+J2=limhr(y)Vy w(-y,)Vy u(y,t-)dy6=0+J2=_limw(-y,i)i(y,t-)dy8=0+Jo=lim(G()*N)*i(t-)(a)ei8-0+=(V v)ei=hr(c)ui(a,t)+Rg(a,t),张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计=hr(y)Vi(-y,t-T)+Vhr(y)Vy w(-y,t-T),u(y,T)+,H;(a,y,t -T)d y d T +(u.V)u(y,T)H;(a,y,t-T)dydT=O.JoJ-hR(y)(u-V)u(y,T)H;(,y,t-T)dydr.u(y,t-).H;(a,y,d)dy1137(3.1)Jrt-8wi(-y,t-T)oykuo(y)H;(c,y,t)dyJ(3.2)(3.3)1138这里i=Vhr(y)Vu,以及Rg(,t)=于是在方程（3.3)两边都令0,则得下列等式hr(ar)u;(ar,t)=-Ri(r,t)+6=:-Rg(c,t)+I;(a,t).k=1定理2.1 的证明情形 1 max(号,3 qq,这里8,为方便起见，首先令0 1,其中min(3(1-=),2-3(=-),1-),0 1,81(min(3(1-),-3(=-)1,在下面的讨论中，我们将选取指数Qo=，r o=3r3+eT，301,q1Q8,ro,01,T1T2=1,2以及 Q2=2-,3=3-6:3数学物理学报N*(VhR u(t)()-V N*(VhR u(t)(a)ei,2j=1 Jouo(y)-hr(y)Vi(-y,t)dyuo(y)Vhr(y)V wi(-y,t)dy(u.V)u(y,T)-hr(y)Vi(-y,t-T)dydT2(u V)u(y,T)Vhr(y)Vy w(-y,t-T)dydTJ3-2r3qSo=1,QO,31+3=1,3Vol.43Au(y,T)Ri(a,y,t-T)dydT(3.4)3r若323Q=1.1-1,0 1,q301,=1,No.4由于max(1,3r)0表示一个普适常数，它可能在不同的估计式中去不同的值，但总是与时间t和半径R无关.关于IIi(t)Il与IIi(t)q，我们应用Young不等式，并结合不等式（2.2）与(3.1)，得到IIi(t)lCI/2w(t-T)*/y/-2u(-)l+II w(t-T)|*/a-3 u(+)l dT0C1/2w(-)lal/a-l(+)lg I (-)l l/-31/l/(-)l dTC(t)-号(1-),-号(-1)dT Ct-号(-),以及II3(t)l,C0tC0tC（tJoCt?号(-),这里 d,=表示;的共轭指数.利用分部积分，可将第五项变形为I:(2,t)=2)3k=1/o3t+2hr(y)uk(y,T)u(y,T)Jk=1:=I,i(a,t)+I,2(a,t).这样由估计lu(T)l3C得张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计IVVi(t-T)*/y/-1 u(T)la+IVi(t-T)|*Ily-2 u()Il dTuk(y,T)u(y,T)J1139(3.5)oykhr(y)Vi(-y,t-T)dydr-vi(-y,t-T)dydtoykC(t-T)-号(1-)-号(-)dT Ct号-号(+-1),0并且由于，我们可以选取满足3以及+的指数s,并应用引理2.1推出I,(,)/a /I i(-)l/h()l/()l dT（）1140数学物理学报Vol.43A CIluoll(t-T)-%-(+-)hRu(T)l d（）Clluoll3a,g(t)MIlull a,g(t)t-号(+-),.这里Ma,g(t):=sup,(+-)/h ru(T)la 且 M=CB(00.No.4这样，如果取0 0与 R2无关，故可令 R+8,从而得到Il/(1-)(+)l C(1+t%)t-号(-),t 0.记2 0=E：|l 0.将(3.9）与(3.1 0)这两个估计合在一起，就可以推出估计式(2.5).情形2 1 r号且q 1),并在(2.5)中将Q替换成 Q7，就可以得到IJg,2(t)lCC(t-T)-号(1-)(1 +号)号(-)-号(-1)dTC(1+t%)t-号(1-)与(3.11)?tIIVVi(t-T)lal/ylu(T)l-l/u(T)ledtC()-4(1-)(1+()*)()一-(+一-)C(1+)一(+一-t),(3.12)TE(O,t)1142关于 J(t)l,我们有IlJi(t)lCll/Vwi 0,其中，0 1,01,f(t)是一个非负可测函数，而 g(t)则是非负不减的.容易验证在条件0 0成立，从而有f(t)2g(t)t-.根据这一点，我们认为文献 5引理2 中所用的条件lim t-eT-f(T)dT=0-0JO是可以省去的.定理2.2 的证明情形 1 max(s-(-);3-a)3r31qq.令min(3(1-1),2-3(=-),2-,=1),2,2min 3(1-1),-3(=-),1),并假设0 e2.取S1q9数学物理学报Il,CllVw(Ily-1llq1/u）一号(-)Ct-号(一).(1-q031+3Q=2,3-q,3Vol.43A(3.13)/(t-T)-1+-f()dT(t-T)-1,-dT:sup,P f(T)TE(O,t)=2,12,312,S2=2-8,Q=2,1 2,ro,1 2,r3=-1,=2,r,=2,No.4以及 s3=。，Q 1 0=（+等）-1.将这些指数应用到 Yong 不等式中，可以推出张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计1143+CIIVw(t-T)l l/y/-3lla ll u(T)lq1o dTtC(t T)-(1-)-2(六-)dT+C(t-T)-号(1-)-号(-)dTCt-号(-),以及I(t)lCIIVVi(t-T)lly/-1u(T)l dTt+(3.14)C(t-T)-(1+)-(-)d+Ct-号(+-)JoC(t+t)t-号(*-).与定理2.1 的证明类似，取3 -，可得 Clluoll:/0 MIluoll va,(t)t-2(1-1),其中再次应用Young不等式，可以推得II,(t)l+II,2(t)l /(I i(t-)/+IIV2w(t-T)l/)/y/a-1u(T)llu()ldTC(t-T)-(1+-)-号(-)d C(t+t)t-号(-),0以及II,(t)l C0C(t-T)-(1-)-号(-)dT Ct号-号(+-1).Jo由初始条件可知lyl-1uo ELr4(2),从而有IIi()l CII w()ll/-1 ulla Ct-(1-)C(1+t)-(+-),(3.15)(3.16)00,我们有这一不等式自然衍生出估计式(2.6).情形2 1 r号且qq下,睿易验证 9 1 以及mx(一-元)1 4,这样我们可以在(2.)用 誉换0并推得I/J.,2(t)l,CC(t-T)-号(1-)(1 +)-号(六)-号(-)dT+12C(1+t)t-号(+-t),(3.19)0 max（号，3起-），这样我们取0 3(一号一1),并令 s7=六号以及 q12=(毕+)-(max(%,%-1),就得到张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计IJ;(t)la Cll/vi($)C()(1-t)六）(1+（()(1)q11C(1+t)t-号(+-1).1145q113T11C()-(1-+-)(1+()(C(t+t%)t-号(#-t).以及IR(t)l CIllg/a-1u()lo C(1+t-)t-号(-)C(t+t)t-号(-),这些估计与(3.1 0)式结合在一起，就可推出(2.6)式.情形3 1 r号且q=Q.取与1 满足=，利用内插不等式就可以推出I/a(t)la I/a(,)1-/aa(t)/(1+)-42(+-)-(+-+)=(1+t)-8(-).这样我们就完成了定理2.2 的证明.定理2.3的证明我们仍用（3.4）式去推导所需的估计与前面的证明类似，我们令0 min3(-)-+2,3(1-1),-2,3-).取3if3-3Q13rif3一3以及 Sk=(1+-1)-1.k=1,2.在这些限定下，我们有 max(33-可)0 4Qkmx(一-可;)0 2 g,以及一 号,h=1,2.我们在(2.)与(2.6)两式中分别取3r3权函数为 gl-1与lg-就可以推出Ii(t)lCII/2w(t-)/l/-2()l+/1/2w(-T)l/-2(T)lo dTJot+CIIVw(t-T)lo ll-3 l all u(T)l/e dTJoC(t-T)(1-)(1+)-号(-)dT0t+C(t-T)(1-)(1+-)一2+I2?t(t-T)一-(#-)-(-)dT C(t+t)t-号(+-),+C0-(-212)q1233153Q2=153Qk2)-号(一）dT15if3-Q36r15计3-r(-2)132333r1146以及III2(t)l C数学物理学报I i(t-)l-l/-1 a(+)lea I i(t-T)/y/a-2-(T)l/dtJot+CIVi(t-T)l/y/-1(-)lgo I i(-)l ll/-2(+)lg dTVol.43AC(t-T)-(1-)(1+-)-2(-)dTJo2Q3+C(t-T)-2(1-)(1+)t+C(t-T)-(1-)(1+)-号(-)dT+12t+C(t-T)-号(1-)(1 +-)-号(-)d+12C(t+t)t-(+-)+C(t+t)-(-)max(1)-1,-号（-Q1dT(I i(-T)l/+I/2w(t-T)ls/g/a-1 u()le/()ldT0t+(I i(-T)ln+/2w(t-T)lsi/y/a-1(+)l ll(T)ldT+I2T)-(1-+(1+-%)-号(+-)(t-T)tIIVw(t-T)l/illy/-2(T)ll(T)l dTtdTdT)-(+-)dT（2q9No.4（六一(1)-1）以及六一。这样利用(2.6)式，其中/+(（)2,我们可以推出张庆华：外区域上非稳恒Navier-Stokes流的加权模估计1147IF,2(t)l C+C+12专C(t一)-号(1-)(1 +)2-3(-)dT0+C(ull3/(-T)-Il/u(-)l-dT2C(1+t)t-号(+-)+M|ullva,q(t)t-(+-1).这里函数V,g(t)的定义由(3.1 6)式给出.进一步的，选取由(3.1 7）以及(3.1 8)确定的指数，可以推得以及I Rg()l Il/()l+C(1+)-(-),上面的估计与估计式（3.7）及（3.1 0）结合起来，就可以推出（3.1 9）式以及最终的估计(2.7)式.定理 2.3 得证.1 Arrieta M,Carvalho A N.Abstract parabolic problems with critical nonlinearities and applications toNavier-Stokes and heat equations.Trans Amer Math Soc,2000,352:285-3102 Bae H O,Jin B J.Asymptotic behavior for the Navier-Stokes equations in 2D exterior domains.J FuncAnal,2006,240:508-5293 Bae H O,Jin B J.Temporal and spatial decay rates of Navier-Stokes equations in exterior domains.BullKorean Math Soc,2007,44(3):547-5674 Bae H O,Roh J.Weighted estimates 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selected vector field,an integralequation is derived,from which we prove that l/au(t)l C(1+t)t-(+-)for all t 0under the initial condition e/uo E Lr(2)and uo E L(2)with sufficiently small norm Iluoll3,where 0 3,1 r 3 and maxr,号 q oo meeting some other reasonable constraints.Compare with previous results,our initial condition in case 0 2 and restriction on q isweaker.Key words:exterior domain;Navier-Stokes flow;weighted estimate.MR(2010)Subject Classification:35Q30;76D05