图形运动的“想象性”及其课程价值.pdf

第 卷第期 年月 ，学科研究图形运动的“想象性”及其课程价值郜舒竹，冯林摘要：数学课程内容中的“图形运动”，在教科书呈现以及实际教学中，偏重运动现象观察和运动方式的识别，与图形认识与测量形成相互分离的状态。运用认知语言学相关理论分析发现，图形运动具有认知过程中的想象性特征。在此基础上，得到图形运动的课程价值至少应当包括三个方面：认知过程中的思维方法；表征客观对象或现象的直观模型；统整课程内容的思想观念。凡此都是以视觉“看”的过程为基础的，因此在教科书呈现与实际教学中，应当重视视觉“看”的认知活动，进而形成推理和想象，充分发挥图形运动的课程价值。关键词：图形运动；想象性运动；课程价值中图分类号：文献标志码：文章编号：（）作者简介：郜舒竹，首都师范大学初等教育学院教授、博士生导师（北京 ）；冯林，首都师范大学教育学院博士研究生（北京 ）。“图形运动”是义务教育数学课程标准（年版）规定的课程内容，在小学阶段特指的运动方式分别是平移、对称和旋转。在教科书呈现和实际教学中，通常把图形运动的认知活动定位于运动现象的描述和运动方式的辨别，与“图形的认识与测量”处于相互分离的状态。事实上，数学中所说的图形运动，其课程价值不仅是对现实中运动现象的表征，也是认知过程中的思维形式与方法。数学课程内容中的图形实质是数学的语言，具有表征现实世界对象或现象的模型作用，同时具有非现实的想象性。正是这样的想象性使得图形运动超越了外在的现实，成为认知主体内在的思维形式和方法，蕴含着丰富的课程价值和育人功能。一、想象性运动“想象性运动（）”也叫“虚拟运动”，是认知语言学通过语言现象研究认知规律的术语。美国纽约州立大学布法罗分校的认知语言学家伦纳德塔尔米（）通过对不同语言的比较研究，发现两类共通的语言现象。一是倾向于对现实的“真实（）”描述，二是倾向于对现实“非真实（）”的表达，分别称为“现实的（）”和“想象的（）”。在此基础上，伦纳德塔尔米发现，在描述“运动（）”的语言现象中，将真实的静态表述为非真实的动态的现象十分普遍。比如，英文中的语句“”（这条路快速上升接近顶端）。其中的动词“（上升）”表达人或物逐渐升高的运动，“上升”的主语是“道路（）”，道路是静止的，因此句中的“上升”是想象的运动，是虚拟了道路上的运动对象（汽车等），想象这个对象快速上升的运动过程，将静态的道路动态化了。像这样将静止的对象或现象想象成为运动的语言现象，伦纳德塔尔米称为“想象性运动”。想象性运动的语言现象在汉语中同样普遍，比如，人教版义务教育课程标准实验教科书语文四年级上册课文长城中的一句话“远看长城，它像一条长龙，在崇山峻岭之间蜿蜒盘旋”。其中的动词“盘旋”，就具有想象性运动的特征，把静止的长城想象为运动的“长龙”，不仅是修辞意义的转喻，也反映出人类共同的认知规律，是人认知过程中“动态倾向性（）”的表现。这种动态倾向性也反映在数学语言中，比如“射线”这一术语，其中“射”表达类似于“射击”中子弹的运动形式。射线的说法虚拟了运动对象，想象这一对象从一点出发，沿着固定的方向不停地平移运动，并产生轨迹的过程。这样虚拟的运动对象以及不停平移运动的轨迹，就成为射线这一词语所表征的图形。相当于用“射击”过程中类似子弹的具象运动，隐喻“射线”这样抽象的概念。按照认知语言学的观点，语言现象反映的是人的认知规律，认知是语言的基础，语言是认知的窗口。如果把数学课程内容中的图形视为数学的语言，那么图形运动就可以看作数学中的语言现象，这样的现象同样与人的认知密不可分。想象性运动以及认知动态倾向性同样反映在图形运动的认知上，具体表现为三个方面：一是认知过程中的思维方法；二是表征客观对象或现象的直观模型；三是统整课程内容的思想观念。二、图形运动与思维方法“图形运动”的说法可以追溯到古希腊欧几里得的几何原本中关于图形全等的定义：某图形通过运动能够与另一图形重合，就说这两个图形全等，其中的运动保持图形形状和大小不变，因此也叫“刚性运动（）”。图形运动进入中小学数学课程，应当始于德国数学家菲利克斯克莱因（）年的爱尔兰根纲领，他把图形运动视为对应关系，命名为“变换（）”。变换的思维方法可以应用于图形性质的发现与证明，同时可以拓展欧式空间的认识，用变换中的“不变量（）”思想形成了对不同空间的几何具有种属关系的结构化认识。无论是几何原本中所说的图形运动，还是菲利克斯克莱因所说的变换，都具有非现实的特征，是思维中发生的。图形运动中的“运动”，是把静态的图形及其关系想象为运动的对象及其过程，这样的思维形式与语言学中的想象性运动类似，是认知动态倾向性的表现，可以成为直观感知并证明图形性质的思维方法。国际数学心理学会（）第一任主席伊芙莱姆菲茨拜因（），为了说明图形及其运动的非现实性以及作为思维方法的作用，用“等腰三角形两底角相等”这一性质的证明为例：对一个等腰三角形犃犅犆（见图），已知其中两腰长度相等（犃犅犃犆），如何证明犅和犆相等？图等腰三角形这一性质是欧几里得几何原本第一卷的命题，其中的证明是纯演绎的，而且备受争议。伊芙莱姆菲茨拜因描述的证明过程依赖图形运动的想象：第一步将三角形犃犅犆“分离”出来，第二步将分离出来的三角形“翻转”成三角形犃犆犅（见图），第三步放回与原来三角形犃犅犆“重合”。完全重合的状态就证明了犅犆。（）（）（）图“翻转”过程类似于这种用图形运动发现并证明图形性质的方法并不罕见，日本著名数学家菊池大麓在其所著的几何小教科书中就用同样的方法证明平行线的相关性质和定理。伊芙莱姆菲茨拜因认为，证明过程中语言描述的“分离、翻转、重合”三个动作都是非现实的，人不可能将 一个现实的物体“分离”出来，“翻转”后放回与原来物体完全“重合”。这些运动是在思维的“理想世界（）”中想象出来的，是“理想的存在（）”。这种将静止的对象动态化的表达，与伦纳德塔尔米所说的想象性运动的意义基本一致。因此，图形作为数学的语言，与文字语言类似，同时具有现实与想象的双重属性，既可以是外在于观察者，表达现实的存在，也可能是倾向于非现实，是思维中的想象。图形及其运动的想象性，使得图形运动具有了直观感知与推理过程中作为方法的作用。凡是方法都有差异与多样的特点，对于“等腰三角形两底角相等”这一性质的直观感知和证明，还可以采用“对折重合”的想象性运动作为思维方法（见图）。（）（）（）图“对折重合”过程对折重合反映出等腰三角形轴对称的性质。用静态的眼光看轴对称图形，对称轴将整个图形分为两个部分，这两个部分都是静止的存在，并没有发生运动，是现实的静止，就像人的躯体或建筑物等具有轴对称性的实体，对折重合的运动是不可能真实发生的，因此，用对折重合描述轴对称的性质，是人依据类似于“折纸”的具身经验对轴对称性质的隐喻理解。因此，在数学课程内容中，把图形轴对称的性质叫作图形运动，是语言意义的想象性运动。画在纸上的图形是静止的，是观察图形的人虚拟了整个图形的某个局部作为运动对象，想象这个局部绕一条线段（对称轴）“折”的运动方式，是观察者对静态对象动态化的想象，是思维中的“模拟（）”。诸如平移、旋转等图形运动与对称类似，都具有这种想象性的特征，正是这样的想象性，使得图形运动具有了发现并证明图形性质思维方法的课程价值。三、图形运动与现实运动的契合图形运动的想象性，并不意味着图形运动是纯粹唯心的，图形的形与量与现实中物理意义运动的相关属性具有高度契合的关系，因此，图形运动的课程价值还体现在表征现实对象和现象的直观模型。下面以日常熟悉的“扫地”活动为例进行说明。如果把扫地视为笤帚在地面的运动过程，其中至少牵涉笤帚的宽窄、运动距离以及扫过地面面积三个连续量。不难发现，扫过地面面积大小与笤帚宽窄以及运动距离直接相关，笤帚的宽窄与平移的距离成为扫过地面面积的制约因素。这与图形中长方形面积由长和宽的长度制约，就成为一致、契合的关系。像这样用图形表征扫地过程的方法曾经出现在美国加利福尼亚州立数学教科书中，被命名为“扫地法（）”，在数学课程与教学研究中也叫“动态度量（，简写为）”。一方面把图形视为表征现实运动的模型，另一方面运用运动中的距离、速度和时间之间的关系认识平面图形的面积，将“面”视为“线”运动过程中所产生的轨迹，这样的轨迹在现实的扫地过程中可以感知到，而在图形中就是想象的。古希腊数学家帕普斯（）所著的数学汇编中出现的旋转体表面积和体积的度量就采用了类似的方法。相对于静态的眼光，动态度量不是将平面图形的区域看作面积单位填充的“容器”，而是运动路径中轨迹的生成与积累。因此，对于几何中的连续量，就有静态和动态两种不同的隐喻方式。静态度量应用的是与“内外、出入、空满”相关的“容器图式（）”，动态度量应用的是与“起点、路径、终点”相关的“路径图式（）”。“容器”与“路径”都与人日常熟悉的具身活动相关。按照具身认知的理论，数学中许多抽象内容都是依赖这样的意象图式进行隐喻的。世纪，法国哲学家、科学家尼克尔奥里斯姆（）在研究将运动的快慢量化的时候，用长方形模型表达匀速运动各个量之 间 的 关 系。长 方 形 的“横 向 线 段（）”表示运动经过的时间，“纵向线段（）”表示运动的快慢程度，也就是速度。因此，运动距离就可以用时间与速度所构成 的长方形面积表示（见图）。图长方形表征运动在长方形模型中，运动的距离、时间和速度之间的关系就转化为长方形长、宽和面积的关系了。尼克尔奥里斯姆是将几何图形作为研究运动的模型，动态度量是反过来的过程，利用运动中的基本关系“速度时间路程”对几何图形的度量进行研究。如果说扫地的过程是现实、具身的运动，那么动态度量过程中图形运动是思维中想象出来的。这样的想象，实现了运动的物理意义与度量的几何意义的契合，使得图形运动成为现实运动表征的直观模型。世纪意大利科学家伽利略也是运用类似方法，用三角形作为表征现实中自由落体运动的模型。凡此都依赖图形运动与现实运动相关性质的契合，图形运动与现实运动成为相互参照的关系，使图形运动不仅成为表征现实运动的直观模型，而且能够显现出图形测量相关公式的一致性。四、图形运动与公式统整 世纪伟大的科学家、数学家、哲学家牛顿发明的“流数法（）”是微积分诞生的标志。论及流数法的基本原理，牛顿在其名著流数法与无穷级数的序言中说：“可以把数学中的量看作是连续的运动积累出来的。”面积作为几何中的连续量，可以视为运动线段的长度积累出来的。因此，对平面区域的面积至少可以有两种看法：一种是“容器”中面积单位的填充和堆砌；另一种是运动“路径”中轨迹的生成和积累。用这种动态生成和积累的眼光，可以对不同图形面积公式形成一致性的认识，使得图形运动的想象性具有了统整课程内容的课程价值。下面以平行四边形、梯形和圆形的面积公式为例进行说明。沿用前面扫地的过程看，如果笤帚平移不是沿着垂直于线段犃犅向右的方向，而是倾斜地向右下方平移，那么笤帚扫过地面就形成平行四边形（见图）。图扫地形成平行四边形其中平行四边形面积由运动线段犃 犅 的长度和平移运动的距离决定，这个平移运动的距离是起始位置犃犅与运动线段犃 犅 两条平行线间的垂直距离，也就是平行四边形的高。因此，平行四边形的面积与长方形类似，可以视为运动线段长度与运动距离的乘积。对长方形（包括正方形）和平行四边形及其面积可以形成统一的认识，都看成一条线段沿着一个确定的方向平移运动生成并积累的轨迹，面积的大小都是运动线段的长度与运动距离的乘积。下面看梯形的情况（见图）。图梯形面积梯形与长方形及平行四边形的差异在于运动线段犃 犅 从起始位置犃犅出发，向右运动过程中，其长度在连续、均匀地变化（减少），梯形的面积同样可以看作由运动线段犃 犅 的长度以及平移运动的距离所确定的，其中运动距离仍然是起始位置和终止位置之间的垂直距离，即梯形的高的长度，而运动线段犃 犅 的长度可以用变化的算术平均值替代，由于运动过程中的变化是均匀的，所以这个平均值就等于最大值与最小值的算术平均值，也就是犃犅犆犇。这样就可以 关于这样的认识，历史上存在着诸多争论，争论的焦点在于线是否存在面积。这个问题与“不可分量（）”和“无穷小量（）”的理解有关。鉴于这些内容已经超出本文主题，在此不展开讨论。得到梯形面积公式是上底与下底长度的平均值与高的乘积。如果把三角形视为上底长度为的梯形，那么梯形和三角形可以统一看作长度均匀变化的线段沿着一个确定的方向运动留下的轨迹，其面积与长方形及平行四边形面积可统整为一致的认识，都是运动线段长度与运动距离的乘积，其中运动线段长度是起始位置的长度与终止位置长度的平均值，运动距离指的是平行线间的垂直距离。这一方法同样可以应用于圆面积公式，固定笤帚一个端点使之旋转一周，那么笤帚扫过的图形就成为圆面，笤帚宽度是圆半径犚（见图）。图运动形成圆由于运动半径上不同的点旋转运动的距离（弧长）不同，仿照前面梯形的方法取其平均值，最长的运动距离是半径为犚的圆周长 犚，最短的运动距离是，平均值为 犚犚。因此圆的面积就是运动线段的长度犚与运动距离的平均值犚的乘积，也就是犚犚犚。因此圆的面积同样可以视为运动线段长度与运动距离的乘积。类似的想象性运动还可以是圆周的缩放，同样可以得到圆面积公式。图形的想象性运动将不同图形面积公式统整为“运动线段长度与运动距离的乘积”，是把面积想象为运动线段长度无限积累而成的。这样的认识在我国明代徐光启与利玛窦（）合作翻译的几何原本中就有体现 “凡论几何先从一点起，自点引之为线，线展为面，面积为体”，用想象性运动“引、展、积”描述了点与线、线与面、面与体之间的因果关系，形象地描绘出“点动成线、线动成面、面动成体”的思想观念。因此，图形运动的想象性不仅是认识图形及其性质的思维方法，而且是图形测量的认知方式，这样的认知方式实现了不同面积公式思想观念上的一致，从一个局部实现了课程内容的统整。我国 世纪的数学教育家许莼舫曾经说过：“初学的人往往把几何图形看成静止的、固定的，而不容易体会到表面上是静止、固定的几何图形，也可以代表运动的观念。”因此，数学课程与教学应当把培养这种运动的观念作为目标，落实到教科书呈现与日常教学中。五、教科书呈现：重视视觉的“看”综上，图形运动的课程价值可以概括为三个方面，即认知过程中的思维方法、表征客观对象或现象的直观模型以及统整课程内容的思想观念，凡此都是以图形运动的想象性为基础的。想象性使图形运动具有了主观性，是运用视觉“看”的过程，将不存在的图形想象为存在，将静止的图形想象为运动，因此，图形运动的想象性是以视觉看的过程为基础的。如果把视觉看的过程与结果叫作“眼光（）”，其中既有“视觉感知（）”获取信息的过程，也有“视觉推理（）”加工信息与想象生成的思维活动。因此，图形运动的想象性可以认为是通过视觉的观察，形成推理与想象的过程和能力。荷兰数学教育期刊数学教育研究 年发表了一篇关于图形面积认知能力的研究报告，研究发现下面的问题存在普遍的认知困难：两个相同的正方形有一个共同的顶点，二者之间有两个阴影三角形。这两个三角形的面积相等吗？（见图）。图阴影三角形面积比较面对这样的问题，依赖公式的记忆和程序化的运算都是无能为力的。如果运用视觉感知与推理，结合图形的想象性运动，问题就变得简单明了。想象下面小三角形成为运动对象，沿着逆时针（或顺时针）方向旋转 度，就将两个阴影三角形拼接成为一个大三角形（见下页图）。（）（）（）图三角形逆时针旋转过程这时两个阴影三角形面积相等就显而易见了。尽管这样视觉感知和推理的过程是依赖直观，并非严格的逻辑证明。按照范希尔夫妇几何认知阶段理论，这样的直观感知是几何课程内容学习过程中不可逾越的认知阶段，是需要通过不断的经历进而不断提升的认知能力。这一问题的认知困难反映出数学课程与教学中重视公式和计算，忽视图形之间关系的视觉感知和推理。学生更多经历的是应用公式“算出答案”的活动，缺少利用视觉感知和推理“看出关系”的活动。因此，在教科书呈现与实际教学中，应当系统地安排指向视觉感知和推理能力的认知活动，让学生有更多的机会经历对于图形及其运动的感知、推理和想象，充分发挥图形运动的课程价值及其育人功能。参考文献：钟书能语言中虚拟移位的认知研究华南理工大学学报（社会科学版），（）：，：李雪英汉语言表达中“想象性运动”的认知阐释西南政法大学学报，（）：郜舒竹，于桓数学课程内容的抽象性及其隐喻思维分析课程教材教法，（）：赵艳芳认知语言学概论上海：上海外语教育出版社，：，（）：，（）：，（）：，（）：欧几里得几何原本兰纪正，朱恩宽，译西安：陕西科学技术出版社，：菊池大麓几何小教科书仇毅，译上海：群艺书社，光绪三十四年：，（）：，（）：，：，：，（）：郜舒竹，徐春华对旋转体体积的再认知数学通报，（）：，U ：，：，（）：，（）：，（）：，：郜舒竹小学数学这样教：第版上海：华东师范大学出版社，：白尚恕再论几何原本之名称北京师范大学学报（自然科学版），（）：许莼舫轨迹北京：中国青年出版社，：，（）：，（）：，（）：，（）：（责任编辑：王维花）犉 犻 犮 狋 犻 狏 犲犃 狋 狋 狉 犻 犫 狌 狋 犲狅 犳犌 狉 犪 狆 犺犕狅 狋 犻 狅 狀犪 狀 犱犐 狋 狊犆 狌 狉 狉 犻 犮 狌 犾 狌犿犞 犪 犾 狌 犲 ，犃犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：，“”，犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊：；檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪殏殏殏殏中小学教材教学 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