物理学中的“降维打击”.pdf
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1、物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3物理学中的“降维打击”郑 华1 王新刚1 朱励霖2(1陕西师范大学物理学与信息技术学院,陕西 西安 7 1 0 1 1 9;2四川大学物理学院,四川 成都 6 1 0 0 6 4)摘 要 维度是物理学习和研究中的一个重要概念。在处理复杂物理问题时,通常采用降维的方法对问题进行简化,进而在低维空间中对简化后的问题进行分析和求解。然而在面对具体物理问题时,有时候增加系统的维度反而会使问题的分析变得更加直观和简单。本文以几个具体的物理问题为例,展示如何通过提升系统的维度来有效解决低维中遇到的一些困难。本文旨在强调“降维打击”思想在物理教学中的
2、意义,目的在于培养学生的发散思维能力。关键词 降维打击;高斯积分;矩阵行列式;谐振子;生成函数S O L V I N G P H Y S I C A L P R O B L E M S I N H I G H E R D I M E N S I O N A L S P A C EZ H E N G H u a1 WA N G X i n g a n g1 Z h u L i l i n1(1 S c h o o l o f P h y s i c s a n d I n f o r m a t i o n T e c h n o l o g y,S h a a n x i N o r m a
3、l U n i v e r s i t y,X i a n,S h a a n x i 7 1 0 1 1 9;2 D e p a r t m e n t o f P h y s i c s,S i c h u a n U n i v e r s i t y,C h e n g d u,S i c h u a n 6 1 0 0 6 4)A b s t r a c t D i m e n s i o n i s a n i m p o r t a n t c o n c e p t i n p h y s i c s l e a r n i n g a n d r e s e a r c h.
4、I n d e a l i n g w i t h c o m p l i c a t e d p h y s i c a l p r o b l e m s,d i m e n s i o n a l i t y r e d u c t i o n m e t h o d s a r e o f t e n u s e d t o s i m p l i f y t h e p r o b l e m,s o a s t o a n a l y z e a n d s o l v e t h e s i m p l i f i e d p r o b l e m i n a l o w d
5、i m e n s i o n a l s p a c e.H o w e v e r,w h e n f a c e d w i t h s p e c i f i c p h y s i c a l p r o b l e m s,s o m e t i m e s i n c r e a s i n g t h e d i m e n s i o n s o f t h e s y s t e m c a n m a k e t h e p r o b l e m b e c o m e m o r e i n t u i t i v e a n d s i m p l e r.T h
6、i s p a p e r t a k e s s e v-e r a l s p e c i f i c p h y s i c a l p r o b l e m s a s e x a m p l e s s u c h a s G a u s s i a n i n t e g r a l,d e t e r m i n a n t c a l c u l a-t i o n,n o r m a l i z i n g t h e e i g e n s t a t e s o f t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r i n q u a
7、n t u m m e c h a n i c s,a n d g e n e r-a t i n g f u n c t i o n s o f s p e c i a l f u n c t i o n s,t o d e m o n s t r a t e h o w t o e f f e c t i v e l y s o l v e t h e d i f f i c u l t i e s e n-c o u n t e r e d i n l o w d i m e n s i o n a l t e a c h i n g b y i m p r o v i n g t h
8、e d i m e n s i o n s o f t h e s y s t e m.T h e p u r-p o s e o f t h i s p a p e r i s t o e m p h a s i z e t h e s i g n i f i c a n c e o f t h e c o n c e p t o f“d i m e n s i o n r e d u c e d s t r a t e-g y”i n p h y s i c s t e a c h i n g,a n d c u l t i v a t e s t u d e n t s d i v e
9、r g e n t t h i n k i n g a b i l i t i e s.K e y w o r d s d i m e n s i o n r e d u c e d s t r a t e g y;G a u s s i a n i n t e g r a l;d e t e r m i n a n t o f a m a t r i x;h a r m o n-i c o s c i l l a t o r;g e n e r a t i n g f u n c t i o n收稿日期:2 0 2 2-0 7-2 9基金项目:国家自然科学基金(1 1 9 0 5 1 2 0
10、)与中央高校基本科研业务费专项(G K 2 0 2 2 0 2 0 0 3)资助。通讯作者:郑华,男,研究员,主要从事粒子物理与原子核物理理论研究,z h e n g h s n n u.e d u.c n。引文格式:郑华,王新刚,朱励霖.物理学中的“降维打击”J.物理与工程,2 0 2 3,3 3(3):4 6-4 8,6 3.C i t e t h i s a r t i c l e:Z HE N G H,WAN G X G,Z HU L L.S o l v i n g p h y s i c a l p r o b l e m s i n h i g h e r d i m e n s
11、i o n a l s p a c eJ.P h y s i c s a n d E n g i n e e r i n g,2 0 2 3,3 3(3):4 6-4 8,6 3.(i n C h i n e s e)科幻作家刘慈欣的代表作 三体 一书中,“降维打击”是指外星人将太阳系由三维空间降至二维空间的一种攻击方式。三体 小说和与之相应的影视作品让“降维打击”这一名词被大家所熟知。这一概念也被人们在生活中使用,表明碾压式的优势。在教学过程中,如果能将具体问题与64物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3这种时髦且大家耳熟能详的概念结合,势必能引起学生的兴趣与共振,助力课
12、堂教学。分析力学比牛顿力学优越的地方之一是引入了抽象的广义坐标的概念,并与系统自由度相对应。实际是一种抽象维度的概念。在物理学中,有很多问题实例涉及维度的概念,由于有些老师在授课中只是具体问题具体分析,同时学生局限于对知识深度的认知,学生未能理解这一类问题的联系或对这类问题形成比较清晰的认识。本文的目的就是通过具体实例凝练出物理学中“降维打击”这一概念,培养学生的发散思维能力,同时在物理学教育同行中起到抛砖引玉的作用。一般而言,在处理复杂物理问题时,为简化问题,人们都是把高维问题向低维转化,即降维,使得问题能得到解决,例如物理学中的质点近似、抓主要矛盾忽略次要矛盾等思想。但对有些具体问题时,处
13、理方式却恰好相反,是将问题向高维度转化从而使低维问题得解。虽然听上去有些奇怪,但逻辑上是完全可行的,高维比低维包含更多的信息,有可能将在低维上看不清或解决不了的问题给出答案。这个操作实际是升维,但升维的目的是解决低维的问题。针对上面提及的两种改变维度的做法,笔者认为,“降维打击”这一概念都是适用的。以此为契机,本文将以物理学中常见的几个问题:高斯积分、两个矩阵乘积的行列式等于两个矩阵行列式的乘积、量子力学中一维谐振子波函数的归一化、物理学中常用的特殊函数或多项式的生成函数,展示在同维度的情况下难以解决的问题,可以通过变换一种思维方式,将问题向高维度转化从而使问题能得以解决。在物理学教学中明确提
14、出“降维打击”这一概念,给学生种下发散思维的种子,以期提高学生的创新、思辨等能力。1 高斯积分在文献1 中,作者对物理学中常用的高斯及类高 斯 型 积 分 进 行 了 详 述。作 者 也 正 是 在 文献1 中开始提及在当前维度下如果解决不了问题时,可以发散性的将问题向高维转化的这种想法。此为本文中强调的物理学中“降维打击”这一概念的萌芽。物理学中非常重要的高斯积分为I=+-e-x2dx(1)高斯积分的问题是式(1)无法利用牛顿莱布尼兹公式求出原函数对积分进行计算。当然可以选择如M a t h e m a t i c a软件对式(1)进行积分给出结果。另外也可以选择通过构造的方法来完成解析积分
15、。在教学训练过程中,我们推荐后者。先计算式(1)平方的积分,这样就可以将式(1)中的一维积分转换为二维积分,从而得以求解。具体过程如下 I2=+-e-x2dx+-e-y2dy=2 0d0e-r2rdr=(2)式(2)的过程是将二维笛卡尔坐标中的积分变为极坐标下积分。对式(2)中r2进行变量代换,立刻得 到 一 个 可 以 解 析 计 算 的 指 数 函 数 积 分。因此I=(3)整个计算过程的关键是将高斯积分转化成二维积分,即对问题进行升维,借助高维的优势(此具体问题是能解析积分),完成对低维问题的求解。高斯积分仅仅是积分类问题中的一个特例,更典型的是利用留数定理去计算一维实函数积分,这一过程
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