高考数学重要知识点分类归纳总结(文科).pdf

高考数学知识点归纳总结(文科)第一章集合与函数概念1.1.1集合 的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，火表示实数集.+(3)集合与元素间的关系对象与集合的关系是,或者任，两者必居其一.(4)集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合描述法：%1无具有的性质,其中为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合 叫做空集(0).1.1.21集合间的基本关系(7)已知集合A有5 2 D个元素，则它有2个谈，它有2 1个真子集，它有2,一1个非空子集,(6)子集、真子怎最集合相等名称记号意义性质示意图子集AB（或BA）A中的任一元素都属 于BA=A07A若A=B且B=则A=C若A=B且B=则A=5或真子集AUbw（或 Bn A）wA G B,且B中至少有一元素不属于A(1)0u A(A为非空子集)若Au 5且5u C,则Au C集合相等A=BA中的任一元素都属 于B,B中的任一元素 都属于AA=B B=A1/511.1.31集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集xIxeA,且xB 1 1-F(2)AQ0=0(3)aqba aqbb43并隼AJBxl xs A,或(1)A|JA=A(2)AU。=A补集C A uX G Bx x A(3)ajba a)jbbi aD(C a)=0 2aU(C a)=uu uC(aQb)=(C A)U(C B)u u uc(aub)=(c A)n(c B)u u u1i【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集1 x 0)x-a x a(a 0)xl x qax+b c(c 0)把+看成一个整体，化成l xl 4(。0)型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式A=万2 4acA0A=0A 0)的图象4/1/.F0/上*2一元二次方程依2+bx+c=0(a 0)的根_-b yjb?-4ac1.2 2a(其中 0(a 0)的解集xl x x r.bx -2aR依2+bx+c 0)的解集x X xx 1 200E1.22函数及其表示1.2.1函数的概念（1）函数的概念设A、5是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数无，在集合B中都有唯一确定的数/（x）和它对应，那么这样的对应（包括集合A,B以及A到5的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作/：A B.函数的三要素：定义域、值域和对应法则.只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且满足 VxV 的实数元的集合叫做闭区间，记做凡切；满足的实数x的集合叫做开区间，记做（,0）；满足或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做。，刀，（。，勿；满足的实数元的集合分别记做。，+8），（。，+00），（8，勿，（8，）.注意：对于集合汽1。%6与区间（。涉），前者可以大于或等于匕，而后者必须a0,从而确定函数的值域或最值.不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.1.2.2函数 的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念设A、5是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素，在集合5中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A,B以及A到5的对应法则/)叫做集合A到5的映射，记作f给定一个集合A到集合5的映射，且asA/sB.如果元素和元素对应，那么我们把元素 叫做元素的象，元素叫做元素的原象.H.32函数的基本性质 1.3.1单调性与最大(小)值(1)函数的单调性定义及判定方法在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为函数的 性质定义图象判定方法函数的 单调性如果对于属于定义域I内某 个区间上的任意两个自变量 的值X、X,当xx时，都 1 2 1 -2有f(x)f(x)，.那么就说 1.2 f(x)在这个区间上是诚申亵.y1fOOy=f(x)(1)利用定义(2)利用已知函数的 单调性(3)利用函数图象(在 某个区间图象下降为减)(4)利用复合函数0 x x X1 2增函数，减函数减去一个增函数为减函数.对于复合函数y=/g(x),令=g(x),若y=/3)为增，=g(x)为增，则 y=/g(x)为增；若y=/Q)为减，=g(x)为减，则y=/g(x)为增；若=/()为增，=g(x)为减，则y=为减；若y=/Q)为减，=g(x)为增，贝酎y=fl gM为减.(2)打“函数/(冗)=%+2(。)的图象与性质X/x)=x4-(0)X/分别在(00，、6,+8)上为增函数，分别在J 7,o)、(0,，7上为减函数.(3)最大(小)值定义一般地，设函数y=/(兄)的定义域为/,如果存在实数“满足：(1)对于任意的九/,都有/(x)VM；-5*(2)存在使得/(%o)=M.那么，我们称M是函数/(X)的最大值，记作f(%)=M.max一般地，设函数y=/(兄)的定义域为/,如果存在实数机满足：(1)对于任意的龙/,都有/(无)机；(2)存在二/,使得/(,)=根.那么，我们称根是函数/(x)的最小值，记作f(x)=根.max1.3.2奇偶性(4)函数的奇偶性定义及判定方法-访将的-性质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义域内(1)利用定义(要先任意一个X,都有“：个y(a,f(a)判断定义域是否关于工，那么函数f(x)叫做奇_一.ZT.原点对称)理藜.17o a x(2)利用图象(图象(-a,f(-a)关于原点对称)函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内y(1)利用定义(要先任意一个x,都有f(y判断定义域是否关于刈壬，那么函数f(x)叫做(-a,f(-，)-(a,f(a)原点对称)偶明算(2)利用图象(图象-a oa x关于y轴对称)若函数/(X)为奇函数，且在犬二处有定义，则/(0)=。.奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或 奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.k补充知识函数的图象(1)作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性)；画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、塞函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象.平移变换y=/(%)，左移二个单位 y=f(x+/z)。0,右移刃个单位y=/(%)一Q。，匕移上个单位T y=f(x)+k左0,下移左I个单位伸缩变换y=fM 咽申 y=/(3%)31,缩y=/青丝常-=4fAl,伸对称变换y=/(X).附 y=-f(X)y=/(x)y 轴 y=/(-X)y=/(x)原点 y=-f(-x)y=/(%)直线y。y=f-i(x)V=f(x)-去掉y轴左功图象-y=f(x I)7 八 保留洋由右边图象，并作其关于坤由对称图象,I Jy=f(x)-保留工轴上方图象 y=|/I/7 将X轴下方图象翻折上去,7(2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(I)12.指数函数2.1.11指数与指数塞的运算(1)根式的概念如果=，氏，元尺，1,且N,那么无叫做的次方根.当几是奇数时，+的次方根用符号漏表示；当儿是偶数时，正数的正的次方根用符号混表示，负的几次方根用符号一向表示；0的几次方根是0；负数没有次方根.式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.当为奇数时，为任意实数；当 为偶数时，42.根式的性质：(m)n=a；当为奇数时，M=a；当为偶数时，CL(2 0)dan=a=-a(a 6m,nwN，且1).o的正分黝旨数+幕等于0._ hl 1 m I 1正数的负分数指数幕的意义是：6Z-=(_)=J(_)m(a Q.m.n g N，且1).o a ya+的负分物旨数幕没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3)分数指数募的运算性质r.qs=ar+s a 0,r,5 g 7?)=方(O,r,seR)(ab)r=arbr(aO,bO,r w R)（4）指数函数2.1.2指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数y=且a W1）叫做指数函数图象a0a1(x 0)ax=1(%=0)ax 1(x 0)ax 0)cix 1(x 0)ax 1(x 0,且a W1）,则X叫做以为底N的对数，记作x=l o g N,其中叫做底数,aN叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：=l o g N=N（a 0,a w 1,N 0）.a（2）几个重要的对数恒等式l o g 1=0,l o g a=1,l o g ab=b.a a a（3）常用对数与自然对数常用对数：IgN,即l o gN；自然对数：InN,即l o g N（其中e=2.71828）.10 e(4)对数的运算性质如果4 0,Q W1,M 0,N 0,那么加法：l o g+l o g N=l o g(MN)a a a数乘：nl o g M=l o g Mn(nR)a a减法：l o g Af-l o g N=l o g a a a Jy Ql og“N=Nnl o g Mn=l o g M(b 0,n R)成 b al o g N换底公式：l o g N=l-30,且6。1)a l o g ab(5)对数函数【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称对数函数定义函数y=io g M 且q。1)叫做对数函数 a图象a0 0(x 1)al o g x=0(x=1)al o g x 0(0 x 1)a1。1101101j x 1)aj x=0(x=l)aj x 0(0 x ,则募函数的图象过原点，并且在0,+8）上为增函数.如果a 轴.q奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当a=一（其中2互P质，p和qs Z）,若p为奇数为奇数时，则丁=无，是奇函数，若P为奇数为偶数时，则丁=%是偶函数，若p为偶数学为奇数时，则y=%，是非奇非偶函数.图象特征：幕函数y=xa，x（0，0）,当a l时，若犬 1,其图象在直线y=x上方，当a l时，若犬1,其图象在直线）%下方.k补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：/（x）=依2+法+c（aw0）顶点式：/（x）=a（x 力）2+左（。0）两根式：f（x）=a（x-xx-xa 0）（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求/（X）更方便.（3）二次函数图象的性质b二次函数f（x）=ax2+bx+c（a w 0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为冗=一丁，顶点坐标是 2ab 4ac-b2一石，4 一,b b b当时，抛物线开口向上，函数在（一，一 丁上递减，在彳一，+00）上递增，当了 二 一丁时,2a 2a 2a力/、Aac-b2 b n r bJ.W=-；当。时，抛物线开口向下，函数在（一，一 丁上递增，在一 丁，+00）上mm 4a 2a 2a4qc Z72递减，当4时，心二4q二次函数/W=依2+法+C（W 0）当A=匕2 4qc。时，图象与X轴有两个交点M(x,O)M(x,O),M=l x-x=1 1 2 2 1 2 1 2 I（4）一元二次方程以2+笈+。=0（。0）根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程依2+乐+。=0（。0）的两实根为,兄2,且q Vr.令/（x）=GC2+/zx+c,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：x=-3判别式：端点函数值符号.kVx Wx=1 2x Wx k=1 2k x Wx k=112 2有且仅有一个根X(或X?)满足4时(开口向上)b.,b r/b、b若一丁夕，则2a 2a 2a 2am=f(q)b“/b j b、b若一诟则m=p）若五”则八一五）若一工乂,则M=f(q)一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数=/（%）（犬。），把使/（%）=。成立的实数了叫做函数 y=/（x）（x）的零点。2、函数零点的意义：函数y=/（九）的零点就是方程/（无）=o实数根，亦即函数y=/（x）的 图象与X轴交点的横坐标。即：方程/（%）二 有实数根=函数y=/（、）的图象与轴有交点=函数y=/（%）有零点.3、函数零点的求法：求函数=/（%）的零点：（代数法）求方程/（%）二的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数）=/（九）的图象联系起来，并利 用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数 y=ax2+。o）.1）A 0,方程a%2+x+c=有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次 函数有两个零点.2）A=0,方程am%+c=有两相等实根（二重根），二次函数的图象与1轴有一个交 点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3）A accb J强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 一般取在两直 线中的一条上；兀两条异面直线所成的角0$(0,);2当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a，b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a a来表示02.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示:2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。2、判断两平面平行的方法有三种：(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a a C 3 材 ba G 0二 b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：a 0 a Cl a a#b8 G Y 二 b)作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L_L a,直 线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。LPa2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2、二面角的记法：二面角a-1-B或a-AB-B3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线1与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线1向上方向之间所成 的角a叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时，规定a二0。.2、倾斜角a的取值范围：0 WaV1 80。.当直线1与x轴垂直时，a二90。.3、直线的斜率：一条直线的倾斜角a（a W9 0。）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k二 tan a当直线1与x轴平行或重合时，a二0。，k=tan0 二0;当直线1与X轴垂直时a二90。，k不存在.由此可知，一条直线1的倾斜角a 一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式：给定两点Pl（xl,yl）,P2（x2,y2）,xl Wx2,用两点的坐标来表示直线P1 P2的斜率：斜率公式：k=y2-yl/x2-xl3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平|=/x2-X2+G-y 行，即L I O B=匕注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即 如果kl=k2,那么一定有L1 L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒 数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线,经过点勺（弋0）,且斜率为 y-丁0=左（工-2）2、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为左，且与y轴的交点为（力）y=kx+b3.2.2 直线的两点式方程I、直线的两点式方程：已知两点（X）T（x）其中（x产产yj 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2y-yl/y-y2=x-xl/x-x22、直线的截距式方程：已知直线，与X轴的交点为A（a，）,与 y 轴的交点为B（，b）,其中 a w Q,b w 03.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关事，）的二元一次方的+为+c=0（A,B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直 1 线交点坐标LI：O 如=.豆 Oki%=-1 3x+4y-2二0 LI 2 x+y+2二03x+4y-2=0解：解方程组3“八 得x=-2,y=22 x+2 y+2=0所以L1与L2的交点坐标为M（-2,2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1 点到直线距离公式:点/七八）到直线/：A%+By+c=的距离为：d=K+吗+qJ A2+522、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和12的一般式方程为1：Ax+By+q=,IC-C II：Ax+By+C=0,则/与/的距离为d 一六)2 2 1 2 JA2+B2第四章 圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：（X）2+（丁 一）2 二r2圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程2、点“（,，八）与圆（X 一）2+（丁 一切2 二厂2的关系的判断方法:（1）（七一。）2+（4一切2r2,点在圆外（2）（土一”）2+（%一切2）2,点在圆上（3）（七一。）2+（4一切2厂2,点在圆内4.1.2圆的一般方程1、圆的一般方程：x2+yi+Dx+Ey+F=02、圆的一般方程的特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线/：ox+y+c=。，圆C：12+）；2+瓜+4+尸=0,圆的半径为厂，圆心（一弓，一：|到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d 一时，直线/与圆。相离；（2）当4 二-时，直线/与圆。相切；（3）当d 一时，直线/与圆。相交;4.2.2圆与圆的位置关系两圆的位置关系.设两圆的连心线长为/,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:（1）当/时，圆G与圆。2相离；（2）当/=+/2时，圆G与圆。2外切;（3）当I1。卜+-2时，圆4与圆。2相交;（4）当/二1一弓|时，圆4与圆。2内切；（5）当/匕时，圆q与圆。2内含;4.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤:第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组（犬,y，z）,X、y、z分别是P、Q、R在X、Z轴上的坐标2、有序实数组（犬，,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（犬,，Z）来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中 的坐标，记武九，%）,%叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，Z叫做 点M的竖坐标。4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P到点P）（%2广2”2）之间的距离公式冷勺二斤亨不6尸尸7X高中数学必修3知识点第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或 步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念：(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。一输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符 号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断 框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执 行B框所指定的操作。2、条件结构:BI条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同 时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这 就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复 结构，循环结构可细分为两类:（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完 毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成 立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环当型循环结构直到型循环结构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含 条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次 数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句（1）输入语句的一般格式INPUT 提示内容”；变量!图形计算器 格式INPUT 提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是 指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量 或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号隔 开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式PRINT 提示内容”；表达式图形计算器 格式Disp”提示内容力变量（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句（1）赋值语句的一般格式变量=表达式图形计算器 格式表达式变量（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的称作赋值号，与数学中的 等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2二X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A二B”“B二A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）赋值号“二”与数学中的等号意义不同。1.2.2条件语句1、条件语句的一般格式有两种：（1）I F-TH E NE LSE语句；（2）I FTH E N语句。2、I FTH E NE LSE语 句I FTH E NE LSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF图1 图2分析：在I F-TH E N-E LSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；E ND I F表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对I F后的条件进行判断，如果条件符合，则执行TH E N后面的语句1；若条件不符合，则执行E LSE后面的语 句2 o 3、I FTH E N 语句I FTH E N语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。IF 条件THEN语句END IF（图 3）注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作 不满足时，结束程序；E ND I F表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对I F后的条件进行判断，如果 条件符合就执行TH E N后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。1 2.3循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当 型（WH I LE型）和直到型（UNTI L型）两种语句结构。即WH I LE语句和UNTI L语句。1、WH I LE 语句（1）WH I LE语句的一般格式是WHILE 条件循环体WEND对应的程序框图是（2）当计算机遇到WH I LE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WH I LE与WE ND之间的循环 体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符 合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WE ND语句后，接着执行WE ND之后的语句。因此，当型 循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTI L 语句（1）UNTI L语句的一般格式是对应的程序框图是循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTI L语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WH I LE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTI L语句中，是当条件不满足时执行循环1.3.1辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：S R R（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商。和一个余数。；（2）：若0=0,则n为m,n的最大R R S R R R公约数；若。0,则用除数n除以余数。得到一个商1和一个余数1；（3）：若1=0,则1为m,R R R S Rn的最大公约数；若1 W0,贝用除数。除以余数1得到一个商2和一个余数2；依次计R R算直至，=0,此时所得到的n-1即为所求的最大公约数。2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数 的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：（1）:任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）:以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得 的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：（略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转 相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=a xn+a xn-i+a x+a 求值问题 n n-1 1 0f(x)=a xn+a xn-i+.+a x+a=(a xn-i+a xn-2+.+a)x+a=(a xn-2+a xn-3+a)x+a)x+a n n-1 1 0 n n-1 1 0 n n-1 2 10二.二(a x+a)x+a)x+.+a)x+an n-l n-2 1 0求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即V=a x+a 1 n n-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v=v x+a v=v x+a.v=v x+a2 1 n-2 3 2 n_3 n n_l 0这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与 已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一 个位置，将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单，可以举例说明)2、冒泡排序基本思想：依次比较相邻的两个数，把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前，小数放后.然后比较第2个数和第3个数.直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数.由于在排序过程中总是大数往前，小数往后,相当气泡上升，所以叫冒泡排序.1.3.3进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称 为基数，基数为n,即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：a a.a a(0 a k,0 a a,a k),n n-1 1 0(%)n n-1 1 0 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如1 1 1 0 0 1表示二进制数,34表示5进制数(2)(5)第二章 统计2.1.1简单随机抽样1.总体和样本在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体x的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：巧,5，小研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.2.简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独 立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之 间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3.简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保 证程度。4.抽签法:（1）给调查对象